Η πυραυλική εξίσωση του Τσιολκόφσκι

Posted on 15/08/2019

0


Ένας από τους πρώτους οραματιστές των διαστημικών ταξιδιών υπήρξε ο Ρώσος Κονσταντίν Τσιολκόφσκι (Konstantin Tsiolkovsky 1857-1935). Ο Τσιολκόφσκι, εμπνευσμένος από τα μυθιστορήματα επιστημονικής φαντασίας του Ιουλίου Βερν, ανακάλυψε μόνος του τα μαθηματικά, την φυσική και την μηχανική των πυραύλων.

Το 1903 δημοσίευσε την διάσημη πυραυλική του εξίσωση, που δείχνει ότι η σχέση της μεταβολής της ταχύτητας ενός πυραύλου και των καυσίμων που απαιτούνται γι αυτή τη μεταβολή είναι εκθετική. Θα νόμιζε κανείς ότι για να διπλασιαστεί η ταχύτητα ενός πυραύλου απλά θα πρέπει να διπλασιάσει την κατανάλωση των καυσίμων. Όμως, στην πραγματικότητα, η ποσότητα των καυσίμων που απαιτείται για να αυξηθεί η ταχύτητα του πυραύλου, αυξάνεται εκθετικά με την μεταβολή της ταχύτητας.

Σχέδια του Κονσταντίν Τσιολκόφσκι

Με λίγα λόγια για να κινηθεί ο πύραυλος όλο και πιο γρήγορα, απαιτούνται τεράστιες ποσότητες καυσίμων. Η εκθετική σχέση κατέστησε σαφές ότι για να αποδράσουμε από τη Γη χρειάζονται τεράστιες ποσότητες καυσίμων.
Χάρη σ’ αυτή την εξίσωση ο Τσιολκόφσκι μπόρεσε για πρώτη φορά να εκτιμήσει πόσα καύσιμα απαιτούνταν για ένα ταξίδι στη Σελήνη, πολύ πριν γίνει πραγματικότητα το όραμά του.
Η πυραυλική εξίσωση του Τσιολκόφκι στην απλούστερή της μορφή, συνήθως γράφεται ως \Delta V = - u_{\sigma \chi} \ln \frac{m}{m_{0}}  ή
όπου
ΔV η μεταβολή της ταχύτητας του πυραύλου στο χρονικό διάστημα Δt
m0 η μάζα του πυραύλου την χρονική στιγμή t=t0
m η μάζα του πυραύλου την χρονική στιγμή t=t0+Δt
uσχ η σχετική ταχύτητα με την οποία εκτοξεύεται η μάζα Δm του καυσίμου ως προς τον πύραυλο

Άσκηση: Αποδείξτε την πυραυλική εξίσωση του Τσιοκόλφσκι, αγνοώντας τις εξωτερικές δυνάμεις, εφαρμόζοντας την αρχή διατήρησης της ορμής.
Λύση:
Aρχή Διατήρησης Ορμής
\vec{P}_{t}=\vec{P}_{t+ \Delta t} \Rightarrow (m + \Delta m) \vec{V}=m(\vec{V} + \Delta \vec{V}) + \Delta m \, \vec{u}_{\kappa \alpha \upsilon \sigma}, όπου \vec{u}_{\kappa \alpha \upsilon \sigma} = \vec{V} + \Delta \vec{V} +\vec{u}_{\sigma \chi} η ταχύτητα με την οποία εκτοξεύεται η μάζα Δm του καυσίμου ως προς το έδαφος. Αντικαθιστώντας και κάνοντας τις απλοποιήσεις παίρνουμε:
0=m \Delta \vec{V} + \Delta m \, \vec{u}_{\sigma \chi}. Για Δt→0, ισχύει Δm=–dm, οπότε: 0=m \, d \vec{V} - d m \, \vec{u}_{\sigma \chi}
Τελικά, θεωρώντας θετική φορά προς τα αριστερά:
dV= - \frac{dm}{m} \vec{u}_{\sigma \chi} ή V-V_{0} = \Delta V = - u_{\sigma \chi} \ln \frac{m}{m_{0}}.

Ο Τσιολκόφσκι που θεωρείται ο πατέρας της διαστημικής εξερεύνησης και της αστροναυτικής, πίστευε ότι ο αποικισμός του διαστήματος θα οδηγήσει στην τελειοποίηση της ανθρωπότητας, ακόμη και στην αθανασία.
Σε μια εποχή όπου η μεγαλύτερη ταχύτητα που μπορούσε να αναπτύξει κανείς ήταν 24 km/h χρησιμοποιώντας ένα άλογο, ο Τσιολκόφσκι σχεδίαζε πυραύλους που θα διεύφευγαν στον διάστημα και έκανε τα πιο τρελά όνειρα για την εποχή του: να πατήσει τα πόδια του στην επιφάνεια των αστεροειδών, να σηκώσει στα χέρια του μια πέτρα από τη Σελήνη, να παρατηρήσει από κοντά τον Άρη, να κατεβεί στους δορυφόρους του ή ακόμα και στην επιφάνειά του.
Πίστευε πως ναι μεν η Γη είναι το λίκνο μας, αλλά κανείς δεν μπορεί να ζει για πάντα στο λίκνο!