Το τελευταίο θεώρημα του Fermat (2ο μέρος)

Posted on 19/04/2013

1


Η συνέχεια του άρθρου με τίτλο:  «Το τελευταίο θεώρημα του Fermat«. Διαβάστε το πρώτο μέρος ΕΔΩ: https://physicsgg.me/2013/04/12

(….) Μπορούμε να εννοήσουμε τη γενική ιδέα που κρύβει η εικασία του Taniyama, θεωρώντας μια πολύ ειδική περίπτωση. Υπάρχει μια ιδιαίτερη στενή σχέση μεταξύ της εξίσωσης του Πυθαγόρα
a2 + b2 = c2,
του κύκλου μοναδιαίας ακτίνας και των τριγωνομετρικών συναρτήσεων του ημιτόνου και του συνημιτόνου. Μπορούμε να συναγάγουμε την αναφερόμενη σχέση ως εξής:
Γράφουμε την εξίσωση του Πυθαγόρα στη μορφή
(a/c)2 + (b/c)2 = 1
oπότε μπορούμε να την ερμηνεύσουμε λέγοντας ότι το σημείο (x,y) με x = (a/c) και y= (b/c), βρίσκεται πάνω στον μοναδιαίο κύκλο με εξίσωση
x2 + y2 = 1.
H θεωρία των τριγωνομετρικών συναρτήσεων παρέχει τότε έναν κομψό και απλό τρόπο παραμετροποίησης του κύκλου, έτσι ώστε να τον παραστήσουμε μέσω μιας μόνο βοηθητικής μεταβλητής. Η θεμελιώδης σχέση που συνδέει το ημίτονο και το συνημίτονο οποιασδήποτε γωνίας Α είναι:
συν2Α + ημ2Α = 1.
Τούτο σημαίνει πως αν θέσουμε x=συνΑ και y=ημΑ, τότε το σημείο με συντεταγμένες (x,y) βρίσκεται πάνω στον μοναδιαίο κύκλο. Για να συνοψίσουμε: η επίλυση της πυθαγόρειας εξίσωσης στο σύνολο των ακέραιων αριθμών ισοδυναμεί με την εύρεση μιας γωνίας Α, τέτοιας ώστε το συνΑ και το ημΑ να είναι ρητοί αριθμοί (αντίστοιχα ίσοι με a/c και b/c). Επειδή οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις έχουν πολλών ειδών καλές ιδιότητες, τούτη η ιδέα είναι η βάση μιας πραγματικά γόνιμης θεωρίας για την εξίσωση του Πυθαγόρα.
Η εικασία του Taniyama δηλώνει ότι η ίδια τακτική μπορεί να ακολουθηθεί αν ο κύκλος αντικατασταθεί από μια ελλειπτική καμπύλη, αλλά με χρήση συναρτήσεων πιο εκλεπτυσμένων από τις τριγωνομετρικές, των ονομαζομένων “modular” συναρτήσεων. Ειδικότερα δηλώνει ότι κάθε ελλειπτική καμπύλη είναι δυνατόν να παραμετροποιηθεί μέσω κατάλληλων modular συναρτήσεων, όπως ακριβώς συμβαίνει για τον κύκλο μέσω του ημιτόνου και του συνημιτόνου.

Η ελλειπτική καμπύλη του Frey

Μεταξύ των ετών 1970 – 1975 o Υves Hellegouarch δημοσίευσε μια σειρά εργασιών που αφορούσαν τη σύνδεση των καμπυλών Fermat
xn + yn = zn
και των ελλειπτικών καμπυλών• χρησιμοποίησε δε τις εργασίες αυτές για να συναγάγει θεωρήματα για τις ελλειπτικές καμπύλες, από γνωστά επιμέρους συμπεράσματα πάνω στο τελευταίο θεώρημα του Fermat.

O Jean-Pierre Serre πρότεινε τη χρήση της ιδέας με την αντίστροφη πορεία, δηλαδή την αναζήτηση ιδιοτήτων των ελλειπτικών καμπυλών για απόδειξη αποτελεσμάτων σχετικών με το τελευταίο θεώρημα του Fermat. Bρήκε στοιχεία που έδειχναν ότι η συγκεκριμένη αυτή γραμμή προσέγγισης είχε τη δυνατότητα να λύσει το πρόβλημα• κι έτσι οι ειδικοί άρχισαν να πιστεύουν πως το τελευταίο θεώρημα του Fermat βρισκόταν στην πορεία για να αποκαλύψει τα μυστικά του. Θα χρειαζόταν όμως μεγάλος τεχνικός αγώνας.

Το 1985, σε μια διάλεξη που δόθηκε στο διεθνές κέντρο μαθηματικών ερευνών στο Ομπερβόλφαχ, στον Μέλανα Δρυμό της Γερμανίας, ο Gerhard Frey συγκεκριμενοποίησε την πρόταση του Serre, εισάγοντας μια καμπύλη – γνωστή πλέον με το όνομα ελλειπτική καμπύλη του Frey – σε σχέση με την υποθετική λύση για το τελευταίο θεώρημα του Fermat.
H μορφή που επιλέχθηκε για την εν λόγω καμπύλη ανάγεται στον Hellegouarch, αλλά ο Frey σκόπευε να τη χρησιμοποιήσει με διαφορετικό τρόπο. Υποθέστε ότι υπάρχει μια μη τετριμμένη λύση
Αn + Βn = Cn
για την εξίσωση του Fermat (δηλαδή τα Α, Β, C είναι όλα διάφορα του 0).
Διαλέγουμε αυτή την υποθετική λύση και στο εξής τα Α, Β, C θα συμβολίζουν σταθερούς (αλλά άγνωστους) μη μηδενικούς ακεραίους. Το μόνο γνωστό στοιχείο για τους A, B, C είναι ότι ικανοποιούν τη σχέση
Αn + Βn = Cn
για n≥3, αν και μπορούμε να θέσουμε ένα επιπλέον στοιχείο, υποθέτοντας ότι οι Α, Β και C είναι μεταξύ τους πρώτοι.

modular

Ελλειπτική καμπύλη είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων που ικανοποιούν μια συγκεκριμένη κυβική εξίσωση. Τέτοιου είδους καμπύλες βρίσκονται σε στενή κυβική εξίσωση. Τέτοιου είδους καμπύλες  βρίσκονται σε στενή σύνδεση με το τελευταίο θεώρημα του Fermat. Ειδικότερα, αν υπήρχε ένα αντιπαράδειγμα στο θεώρημα, θα συνεπαγόταν την ύπαρξη μιας ελλειπτικής καμπύλης με κάποιες πολύ ξεχωριστές ιδιότητες. Η καμπύλη που παρουσιάζεται εδώ, ορίζεται από την εξίσωση y2 = x(x-3)(x+32)
www.wolframalpha.com

Τώρα θεωρείστε τη συγκεκριμένη (αλλά άγνωστη και πιθανώς ανύπαρκτη) ελλειπτική καμπύλη, με εξίσωση  y2 = x(x+An)(x-Bn)
Πρόκειται για την ελλειπτική καμπύλη του Frey, και υπάρχει αν και μόνο αν το τελευταίο θεώρημα του Fermat δεν αληθεύει. Έτσι, αρκεί να δείξουμε ότι τούτη η καμπύλη δεν μπορεί να υπάρξει. Ο τρόπος για να επιτύχουμε το σκοπό μας είναι να υποθέσουμε αρχικά ότι η καμπύλη υπάρχει, και στη συνέχεια να καταλήξουμε σε κάποιο αντιφατικό συμπέρασμα.

Ο Frey είχε την ιδέα ότι, αν η καμπύλη του υπήρχε, τότε θα ήταν πραγματικά ένα πολύ παράξενο τέρας. Το 1986 ο Kenneth Ribet επαλήθευσε την ιδέα του Frey δεν είναι δυνατόν να παραμετροποιηθεί μέσω modular συναρτήσεων. Αν λοιπόν η εικασία του Taniyama αληθεύει, τότε ως απόρροια αληθεύει και το τελευταίο θεώρημα του Fermat.

Kάτι τέτοιο αποτελεί ουσιαστικής σημασίας κρίκο στην αλυσίδα Fermat, διότι δείχνει πως το τελευταίο θεώρημα του Fermat δεν είναι απλά ένα απομονωμένο αξιοπερίεργο, αλλά τοποθετείται στην καρδιά της σύγχρονης θεωρίας αριθμών.

Επτά χρόνια προσπαθειών

Από τα παιδικά του χρόνια ακόμη, ο Andrew Wiles επιθυμούσε να αποδείξει το τελευταίο θεώρημα του Fermat. Όταν όμως έγινε επαγγελματίας μαθηματικός, απέκτησε τη γνώμη πως επρόκειτο για ένα απομονωμένο και δύσκολο πρόβλημα – το οποίο θα ήταν όμορφο να αποδειχτεί αλλά όχι αντάξιο της φήμης του. κατόπιν έμαθε για την εργασία του Ribet και μετέβαλε ριζικά την άποψή του, αποφασίζοντας να αφιερώσει όλη του την ερευνητική εργασία για μια απόδειξη.

Γρήγορα αντελήφθη ότι δεν ήταν απαραίτητα η χρήση της εικασίας του Taniyama σε όλη της την έκταση, για μια ειδική περίπτωση, που καλύπτεται από την εικασία, συγκεκριμένα εκέινη που αφορά μια κατηγορία ελλειπτικών καμπυλών γνωστών ως «ημιευσταθών».
Ο Wiles «έσπασε» το πρόβλημα σε έξι κομμάτια, τα οποία έλυσε τμηματικά, μέχρι που τελικά μόνο ένα από αυτά του αντιστεκόταν σθεναρά. Και τότε, μια διάλεξη του Barry Mazur, με τελείως διαφορετικό αντικείμενο, του έδωσε μια ιδέα καθοριστικής σημασίας.
Σε μια εργασία του όγκου 200 σελίδων ο Wiles επιστράτευσε αρκετά ισχυρούς μηχανισμούς ώστε να δείξει πως η εικασία του Taniyama ίσχυε για τις ημιευσταθείς καμπύλες. Κάτι τέτοιο του ήταν αρκετό για να μπορέσει στη συνέχεια να αποδείξει το ακόλουθο θεώρημα:
Έστω Μ και Ν δυο άνισοι, μη μηδενικοί και πρώτοι μεταξύ των ακέραιοι, τέτοιοι ώστε ο αριθμός
Μ Ν (Μ – Ν)
να είναι διαιρετός δια 16. Τότε η ελλειπτική καμπύλη
y2 = x(x+Μ)(x+Ν)
είναι δυνατόν να παραμετρικοποιηθεί μέσω modular συναρτήσεων. Πράγματι, η συνθήκη περί διαιρετότητας δια 16 υποδηλώνει ότι η παραπάνω καμπύλη είναι ημιευσταθής. Έτσι, η περίπτωση της εικασίας του Taniyama, που αφορά τις ημιευσταθείς καμπύλες, εδραιώνει την ύπαρξη της αναγκαίας ιδιότητας.

Ας εφαρμόσουμε τώρα το θεώρημα του Wiles στην καμπύλη του Frey, θέτοντας
Μ=Αn και Ν=-Βn.
Τότε Μ – Ν = Αn + Βn = Cn,
οπότε
ΜΝ(Μ-Ν)=-ΑnΒn Cn,
και αρκεί να δείξουμε ότι το τελευταίο γινόμενο είναι πολλαπλάσιο του 16. Κάτι τέτοιο, όμως, είναι αρκετά απλό.
Τουλάχιστον ένας από τους Α, Β, C πρέπει να είναι άρτιος – αφού αν οι Α και Β είναι περιττοί, τότε ο Cn ως άθροισμα δυο περιττών θα είναι άρτιος, πράγμα που σημαίνει ότι και ο C είναι άρτιος.
Μια κίνηση τακτικής μπορεί να μας διευκολύνει σοβαρά στην περαιτέρω πορεία: να θεωρήσουμε ότι n≥4, αντί του n≥3, μια και η απόδειξη του Euler καλύπτει την περίπτωση όπου n=3.
Παρατηρούμε τώρα ότι η τέταρτη ή οποιαδήποτε υψηλότερη δύναμη ενός άρτιου αριθμού είναι διαιρετή δια 24=16, οπότε και το γινόμενο
nΒn Cn
είναι πολλαπλάσιο του 16.

Επομένως, η καμπύλη του Frey ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του θεωρήματος του Wiles, γεγονός που συνεπάγεται τη δυνατότητα παραμετρικοποίησής της μέσω modular συναρτήσεων. Ο Frey όμως είχε ήδη αποδείξει πως κάτι τέτοιο είναι αδύνατον!

Ιδού λοιπόν, η αντίφαση που εξαρχής αναζητούσαμε. Το ονειρικό οικοδόμημα που κτίσαμε, υποθέτοντας την ύπαρξη μη τετριμμένης λύσης για την εξίσωση του Fermat – με n≥3 – κατέρρευσε. Έτσι αποδεικνύεται ότι μια τέτοια λύση δεν μπορεί να υπάρξει, και συνακολούθως το τελευταίο θεώρημα του Fermat είναι αληθές.

Συνοψίζοντας: η στρατηγική που ακολούθησε ο Wiles δείχνει την ορθότητα της εικασίας του Taniyama για ημιευσταθείς καμπύλες, κάτι που με τη σειρά του δείχνει πως το επιχείρημα του Ribet αποδεικνύει ότι η καμπύλη του Frey δν υπάρχει – και ο Fermat δικαιώνεται.

Ο Wiles είχε ένα ισχυρό οπλοστάσιο τεχνικών στη διάθεσή του, αλλά χρειάστηκαν επτά χρόνια εντατικής εργασίας για να συνθέσει μια απόδειξη. Ωστόσο, μόλις η αποδεικτική του διαδικασία κοινοποιήθηκε, ανέκυψαν ερωτήματα και αμφιβολίες για την ακεραιότητά της.
Τελικά. όμως, ο Mazur εξέφρασε την ομόφωνη παραδοχή του μαθηματικού κόσμου για την ορθότητα της μεθόδου.

Αναστάτωση τον όγδοο χρόνο

Η πλήρης παρουσίαση της εργασίας του Wiles ακολούθησε μιαν ασυνήθη οδό.
Δεν δημοσιεύθηκε ευρέως, αλλά υποβλήθηκε στο εγκυρότερο μαθηματικό περιοδικό, το Inventiones Mathematicae, μέσω του οποίου εστάλη σε έξι ειδικούς κριτές.
Στο μεταξύ, σταχυολογήματα τεχνικών λεπτομερειών της απόδειξης – από ανθρώπους που παρευρίσκονταν στο Ινστιτούτο Newton του Πανεπιστημίου του Καίμπριτζ κατά την ανακοίνωση του Wiles – έγιναν έναυσμα για τα πρώτα σχόλια, απορίες, ακόμη και αστεϊσμούς.

Ο Andrew Wiles: εάν είχατε λύσει ένα πρόβλημα 350 ετών, δεν θα χαμογελούσατε κι εσείς;

Ο Andrew Wiles: εάν είχατε λύσει ένα πρόβλημα 350 ετών, δεν θα χαμογελούσατε κι εσείς;

Ύστερα από μερικές εβδομάδες ενθουσιασμού, άρχισαν να διαρρέουν φήμες για κάποιο πιθανό λάθος. Στις 6 Δεκεμβρίου του 1993, ο Wiles έδωσε το δικό του μήνυμα μέσω ηλεκτρονικού ταχυδρομείου, στο οποίο ανέφερε, σε γενικές γραμμές, τα εξής: «τα όσα προβλήματα προέκυψαν κατά την κρίση της εργασίας, είχαν όλα επιλυθεί εκτός από ένα. Παρά το ότι η κύρια αναγωγή της εικασίας Taniyama στον υπολογισμό της ομάδας Selmer ήταν ορθή, ο τελικός υπολογισμός ενός επακριβούς άνω φράγματος για την εν λόγω ομάδα, στην ημιευσταθή περίπτωση, δεν ήταν ολοκληρωμένος».

Δεν παρέλειψε όμως να εκφράσει την αισιοδοξία του για τη σύντομη διευθέτηση της εναπομένουσας λεπτομέρειας. Παρ’ όλα αυτά, ο χρόνος κυλούσε χωρίς να συμμερίζεται την αισιοδοξία του Wiles.

Δικαίωση τον ένατο χρόνο

Το φθινόπωρο του 1994, πολλοί ειδικοί είχαν αρχίσει να απελπίζονται με την εκκρεμότητα της απόδειξης, εκτιμώντας ότι μια περίοδος τριών ακόμη ετών ήταν απαραίτητη για την κάλυψή της. Στις 26 Οκτωβρίου 1994, ένα μήνυμα από τον Rubin, τον μαθηματικό του Πολιτειακού Πανεπιστημίου του Οχάιο, ήρθε να μεταβάλλει εντελώς την κατάσταση. Το μήνυμα έλεγε τα εξής:
«Σήμερα το πρωί δημοσιεύτηκαν δυο χειρόγραφες εργασίες: οι ελλειπτικές καμπύλες και το τελευταίο θεώρημα του Fermat, από τον Andrew Wiles, και θεωρητικές ιδιότητες των δακτυλίων για ορισμένες άλγεβρες Hecke, από τους Richard Taylor και Αndrew Wiles.
Η πρώτη (εκτενής) αναγγέλλει – μεταξύ άλλων – μια απόδειξη του τελευταίου θεωρήματος του Fermat, στηριζόμενη, για ένα βασικό της βήμα, στην δεύτερη εργασία.
Όπως οι περισσότεροι γνωρίζετε, στην επιχειρηματολογία που παρουσιάστηκε από τον Wiles στις διαλέξεις του στο Καίμπριτζ προέκυψε ένα σοβαρό κενό – συγκεκριμένα η κατασκευή ενός συστήματος Euler.
Έπειτα από ανεπιτυχείς προσπάθειες, ο Wiles επιχείρησε εκ νέου μια διαφορετική προσέγγιση, την οποία, αν και είχε πρωτύτερα δοκιμάσει, την είχε εγκαταλείψει προς χάριν της ιδέας του συστήματος Εuler. Μπόρεσε έτσι να ολοκληρώσει την απόδειξή του, με την υπόθεση ότι ορισμένες άλγεβρες Hecke είναι τοπικές πλήρεις τομές. Η εν λόγω ιδέα, καθώς και οι υπόλοιπες που παρουσιάστηκαν στις διαλέξεις του Καίμπριτζ, αναγράφονται στο πρώτο χειρόγραφο. Οι Taylor και Wiles εδραιώνουν την απαραίτητη ιδιότητα που διαθέτουν οι άλγεβρες Hecke από κοινού στη δεύτερη εργασία».

Ως το 1995 οι δυο ανωτέρω εργασίες είχαν κριθεί, εγκριθεί και γίνει δεκτές για δημοσίευση. Το μυθιστόρημα του Fermat είχε φτάσει στο τέλος του, ή, ακριβέστερα, σε μια νέα αρχή.
Ήδη η απόδειξη απλοποιείται. Η νεώτερη επιχειρηματολογία του Wiles είναι συντομότερη σε έκταση και πολύ απλούστερη από την πρώτη ανολοκλήρωτη προσπάθεια. Λέγεται ότι ο αριθμοθεωρητικός του Πανεπιστημίου της Βόνης Faltings έχει ήδη απλουστεύσει κάποια τμήματά της. Το σημαντικότερο, έχουμε πλέον πρόσβαση σ’ ένα πλήθος από νέες ισχυρές τεχνικές – ειδικότερα, την ημιευσταθή περίπτωση της εικασίας του Taniyama – τις οποίες μπορούμε να εφαρμόσουμε σε άλλα ερωτήματα που αφορούν τις ελλειπτικές καμπύλες και οτιδήποτε συνδέεται με αυτές. Μια νέα δύναμη εμφανίζεται στην καρδιά της θεωρίας αριθμών.

Επίλογος

Διέθετε άραγε ο Fermat μια απόδειξη του θεωρήματός του; Eίναι εντελώς απίθανο να είχε κατά νου κάτι παρόμοιο με την απόδειξη που μας παρέδωσε ο Wiles. Πολλές μαθηματικές έννοιες μεγάλης σπουδαιότητας – όπως οι ελλειπτικές καμπύλες και οι modular συναρτήσεις – ήταν άγνωστες την εποχή του Fermat. H προσέγγιση του Wiles περιλαμβάνει μεγάλο μέρος της μοντέρνας αλγεβρικής θεωρίας αριθμών και της αλγεβρικής γεωμετρίας.
Η οπτική γωνία του 20ου αιώνα θα ήταν εντελώς ακατανόητη για τον 19ο αιώνα, πός μάλλον για τον 17ο.

Κάτι τέτοιο αφήνει δυο ενδεχόμενα. Είτε ο Fermat είχε κάνει λάθος, νομίζοντας πως διέθετε μιαν απόδειξη, ή η ιδέα του ήταν πολύ διαφορετική.

ΠΗΓΗ:  περιοδικό QUANTUM, Μάρτιος/Απρίλιος 1997, Τόμος 4/Τεύχος 2

Ετικέτα: ,