Το τελευταίο θεώρημα του Fermat

Posted on 12/04/2013

0


wilesO Andrew Wiles , γεννημένος 11 Απρίλη του 1953 (χτες – 11/4/2013 -έγινε 60 ετών), είναι ο μαθηματικός που απέδειξε το τελευταίο θεώρημα του Fermat το 1995, ένα πρόβλημα που παρέμενε άλυτο για πάνω από 350 χρόνια. Μπορεί να βρεθούν απλούστερες αποδείξεις του θεωρήματος (π.χ. Fermat’s Last Theorem and More Can Be Proved More Simply), όμως ο Andrew Wiles θα παραμείνει στην ιστορία ως εκείνος που το απέδειξε πρώτος.

O καθηγητής Andrew Wiles περιέγραψε την επτάχρονη αναζήτηση του «Ιερού Δισκοπότηρου» των μαθηματικών ως εξής:
«Ίσως, ο καλύτερος τρόπος για να περιγράψω την εμπειρία μου στα μαθηματικά είναι να την παρομοιάσω με την εμπειρία του να εισέρχεσαι σε ένα σκοτεινό μέγαρο. Εισέρχεσαι στο πρώτο σκοτεινό, απολύτως σκοτεινό, δωμάτιο.
Σκοντάφτεις δεξιά – αριστερά και πέφτεις επάνω στα έπιπλα. Σιγά σιγά μαθαίνεις που βρίσκεται κάθε έπιπλο. Και τελικά, μετά από περίπου έξι μήνες, βρίσκεις το διακόπτη και ανάβεις το φως. Ξαφνικά, λοιπόν, τα πάντα φωτίζονται και βλέπεις πλέον που βρισκόσουν. Κατόπιν εισέρχεσαι στο επόμενο σκοτεινό δωμάτιο …»

Στη συνέχεια μπορείτε
να δείτε ένα ντοκιμαντέρ διάρκειας πενήντα λεπτών που γυρίστηκε για το BBC από τον Simon Singh το 1996,
και να διαβάσετε ένα πολύ κατατοπιστικό άρθρο που δημοσιεύθηκε στο περιοδικό QUANTUM, Μάρτιος/Απρίλιος 1997, Τόμος 4/Τεύχος 2
και τα δυο σχετικά με την απόδειξη του περίφημου «τελευταίου θεωρήματος του Fermat» από τον Wiles.

Το ντοκιμαντέρ του Simon Singh:

Το άρθρο που ακολουθεί δημοσιεύθηκε στο περιοδικό QUANTUM το 1997 και αποτελεί σύνθεση τμημάτων των άρθρων «Fermat’s Last Theorem and Modern Arithmetic» των K. A. Ribet και B. Hayes (Αmerican Scientist, Μάρτιος/Απρίλιος 1994), «Andrew Wiles: A Math Ehiz Battles 350 – Year – Old Puzzle» της G. Kolata (Math Horizons, Χειμώνας 1993), και τμημάτων του Κεφαλαίου 3 του βιβλίου From Here to Infinity του Ian Stewart (Oxford University Press, 1996) σε μετάφραση του Κώστα Γαβρά, μαθηματικού και του Φάνη Γραμμένου, φυσικού.

Το τελευταίο θεώρημα του Fermat

Στο περιθώριο των Αριθμητικών του Διοφάντου ο Fermat διατύπωσε ένα θεώρημα που το άφησε αναπόδεικτο, λόγω … έλλειψης χώρου. Ο Andrew Wiles συμπλήρωσε αυτό το κενό.
O Eric Temple Bell, o ο μαθηματικός και βιογράφος πολλών μαθηματικών πίστευε ότι το τελευταίο θεώρημα του Fermat θα ήταν ένα από τα ερωτήματα που θα παρέμεναν αναπάντητα, ακόμα και τη μέρα που ο ανθρώπινος πολιτισμός θα αυτοκαταστρεφόταν σ’ έναν πυρηνικό πόλεμο.

Η περίφημη σημείωση του Pierre de Fermat βρίσκεται στην έκδοση των Αριθμητικών του Διοφάντου από τον γιο του Fermat, τον Samuel. Ο Fermat είχε διαβάσει τα Αριθμητικά στην πρώτη σύγχρονη έκδοσή τους – όπως δημοσιεύθηκαν το 1621 από τον Claude-Gaspar Bachet - , όμως το αντίτυπο με τις παρατηρήσεις του δεν έχει ανακαλυφθεί ακόμη. Ο Samuel Fermat, στην έκδοσή του έχει αντιγράψει τη σημείωση και την παραθέτει κάτω από το λατινικό και το ελληνικό κείμενο του Προβλήματος 8 του βιβλίου 2.

Η περίφημη σημείωση του Pierre de Fermat βρίσκεται στην έκδοση των Αριθμητικών του Διοφάντου από τον γιο του Fermat, τον Samuel. Ο Fermat είχε διαβάσει τα Αριθμητικά στην πρώτη σύγχρονη έκδοσή τους – όπως δημοσιεύθηκαν το 1621 από τον Claude-Gaspar Bachet – , όμως το αντίτυπο με τις παρατηρήσεις του δεν έχει ανακαλυφθεί ακόμη. Ο Samuel Fermat, στην έκδοσή του έχει αντιγράψει τη σημείωση και την παραθέτει κάτω από το λατινικό και το ελληνικό κείμενο του Προβλήματος 8 του βιβλίου 2.

Ο Bell διατύπωσε αυτή την πρόβλεψη λίγο πριν από το θάνατό του, το 1960. Αν ζούσε λίγες δεκαετίες ακόμη, θα είχε ιδιαίτερο ενδιαφέρον να δούμε τι θα τον εξέπληττε περισσότερο: το γεγονός ότι η ανθρωπότητα συνεχίζει να επιβιώνει ή το ότι ανακοινώθηκε η απόδειξη του εν λόγω θεωρήματος;
Το ίδιο θεώρημα διατυπώνεται εύκολα. Ο Pierre de Fermat ισχυρίστηκε ότι, εάν a, b και c είναι θετικοί ακέραιοι αριθμοί και αν n είναι ακέραιος μεγαλύτερος του 2, τότε η εξίσωση
an + bn = cn
είναι αδύνατη.
Η απλότητα της διατύπωσης είναι απατηλή: η πρόταση είχε αντισταθεί σε όλες τις απόπειρες απόδειξης για περισσότερο από 350 χρόνια. Και η πρόσφατη απόδειξη, την οποία επινόησε ο Andew Wiles του Πανεπιστημίου του Πρίνστον, απαιτεί για την προσέγγιση του προβλήματος ένα εξαιρετικό οπλοστάσιο μαθηματικών εργαλείων και τεχνικών. Η απόδειξη του Wiles εμπεριέχεται σ’ ένα πυκνό και δύσκολο χειρόγραφο 200 σελίδων, το οποίο ενσωματώνει μέσω παραπομπών μια κατά πολύ μεγαλύτερη ποσότητα μαθηματικού έργου που αναπτύχθηκε τα τελευταία τριάντα ή και περισσότερα χρόνια.
Είναι σημαντικό να καταλάβουμε την πραγματική θέση που κατέχει στα σύγχρονα μαθηματικά το τελευταίο θεώρημα του Fermat: είναι ένα διάσημο αίνιγμα, αλλά μετά δυσκολίας μπορεί να χαρακτηριστεί ως μια πρόταση κεντρικής ή θεμελιώδους σπουδαιότητας.
Η απόδειξη του θεωρήματος δεν σημαίνει ότι θα μας οδηγήσει σε πολλά μαθηματικά συμπεράσματα μεγάλου ενδιαφέροντος. Από την άλλη, η αναζήτηση μιας απόδειξής του έχει συνεισφέρει στην ανάπτυξη μαθηματικών γνώσεων μεγάλης σπουδαιότητας. Ειδικότερα, ο Wiles προσέγγισε το πρόβλημα ξεκινώντας να αποδείξει μιαν άλλη πρόταση, γνωστή ως εικασία των Taniyama – Shimura , από την οποία το τελευταίο θεώρημα του Fermat έπεται ως πόρισμα.
Η εικασία των Taniyama – Shimura είναι βαθύτερη και ενδεχομένως πιο σημαντική από το ίδιο το τελευταίο θεώρημα του Fermat. Ανήκει σ’ ένα πεδίο μαθηματικών που αναπτύσσεται ραγδαία τις τελευταίες τρεις δεκαετίες, χωρίς ωστόσο να προκαλεί μεγάλο ενδιαφέρον στους χώρους πέραν του μαθηματικού επαγγέλματος. Το πεδίο αυτό ονομάζεται «αριθμητική αλγεβρική γεωμετρία» ή «μοντέρνα αριθμητική» προήλθε από την προσπάθεια εφαρμογής μεθόδων των σύγχρονων μαθηματικών στη μελέτη προβλημάτων, γνωστών ως διοφαντικών προβλημάτων, στα οποία ο σκοπός είναι η εύρεση όλων των ακεραίων λύσεων μιας οικογένειας εξισώσεων. Η σύγχρονη αριθμητική διαθέτει αυτή καθ’ εαυτή πλούσια δομή και φαίνεται να συνδέεται, με τον έναν ή τον άλλο τρόπο, με κάθε άλλο κλάδο των μαθηματικών. Είναι αξιοσημείωτο το γεγονός ότι το αφηρημένο οπλοστάσιο αυτού του κλάδου έχει οδηγήσει σε μια νέα κατανόηση του πλέον διάσημου όλων των διοφαντικών προβλημάτων – του τελευταίου θεωρήματος του Fermat.

Σημειώσεις στο περιθώριο

Η ιστορία περί του πως ο Fermat πρότεινε το τελευταίο θεώρημά του είναι γνωστή, αλλά είναι τόσο καλή ώστε δεν μπορούμε παρά να την αναφέρουμε για άλλη μια φορά. O Pierre de Fermat γεννήθηκε στη νότια Γαλλία το 1601 και πέρασε το μεγαλύτερο μέρος της ζωής του στην Τουλούζη, όπου εργάστηκε ως διακεκριμένος νομικός στη δημόσια διοίκηση, υπηρετώντας τον Λουδοβίκο τον ΙΔ’.
Ως μαθηματικός υπήρξε ερασιτέχνης, αλλά με ιδιαίτερα καλές γνωριμίες και επαφές διατηρούσε εκτεταμένη αλληλογραφία με τους Rene Descartes, Blaise Pascal και άλλους φωστήρες της εποχής. Πράγματι, η κύριά μας πηγή γνώσης γύρω από το μαθηματικό του έργο είναι η αλληλογραφία του – καθώς και οι σημειώσεις του στο περιθώρια των βιβλίων.
Γύρω στα 1630, ο Fermat μελέτησε τα Αριθμητικά του Διόφαντου του Αλεξανδρέως, ένα έργο που πιθανότατα γράφτηκε τον 3ο αιώνα μ.Χ. και αναφέρεται σε διάφορα προβλήματα των οποίων οι λύσεις είναι ακέραιοι ή γενικότερα ρητοί αριθμοί. Ο Fermat έγραψε πολυάριθμα σχόλια στο περιθώριο του αντιτύπου των Αριθμητικών που διέθετε. Το σχόλιο που μας αφορά ειδικότερα αναφέρεται στο Πρόβλημα 8 του Βιβλίου 2, όπου ο Διόφαντος θέτει το εξής ζήτημα: « Τον επιταχθέντα τετράγωνον διελείν εις δυο τετραγώνους» (δοθέντος ενός τελείου τετραγώνου, να το αναλύσετε ως άθροισμα δυο τελείων τετραγώνων).
Η σημείωση του Fermat, μεταφρασμένη από τα λατινικά, αναφέρει: «Είναι αδύνατον να αναλύσουμε έναν κύβο σε δυο τέλειους κύβους ή γενικά, κάθε δύναμη μεγαλύτερη της δευτέρας σε δυο δυνάμεις ίδιου βαθμού. Έχω ανακαλύψει μια πραγματικά θαυμάσια απόδειξη, αλλά το περιθώριο αυτό είναι πολύ στενό για να τη χωρέσει».
Ο βασανιστικός υπαινιγμός για μια απόδειξη που κάποτε υπήρξε γνωστή αλλά χάθηκε στη συνέχεια έχει αναμφίβολα συνεισφέρει στη δημοφιλή ρομαντική ιστορία γύρω από το τελευταίο θεώρημα του Femat. Έτσι προέκυψε ο χαρακτηρισμός «τελευταίο», για τον οποίο ο Fermat δεν φέρει καμιά ευθύνη. Ασφαλώς το θεώρημα δεν ήταν το τελευταίο που πρότεινε κατά τη διάρκεια της ζωής του. Έζησε έως το 1865, συνεισφέροντας πολλά ακόμη στα μαθηματικά. Η ονομασία «τελευταίο» εμφανίστηκε τον 18ο ή 19ο αιώνα, και μάλλον στόχευε στην αναγνώριση του θεωρήματος ως της τελευταίας πρότασης του Fermat που θα παρέμενε είτε αυταπόδεικτη είτε χωρίς αντιπαράδειγμα.
Διέθετε πράγματι ο Fermat μια «θαυμάσια» απόδειξη, την οποία θα μπορούσε να είχε γράψει αν το περιθώριο ήταν λίγο μεγαλύτερο; Πρόκειται για ακόμη ένα από εκείνα τα ερωτήματα που έχουν σοβαρή πιθανότητα να διαρκέσουν περισσότερο από τον ανθρώπινο πολιτισμό.
Μια πιθανή απάντηση είναι ότι ο Fermat νόμισε πως είχε καταλήξει σε μια απόδειξη, αργότερα όμως ανακάλυψε σ’ αυτήν κάποια ατέλεια. Σε μεταγενέστερες επιστολές προς συναδέλφους του, ο Fermat παρέπεμψε σε αποδείξεις των ειδικών περιπτώσεων για n=3 και n=4, αλλά τη γενική απόδειξη δεν τη μνημόνευε ποτέ ξανά.

Πρώιμες προσπάθειες

Η ανεύρεση ακέραιων λύσεων της εξίσωσης
an + bn = cn
δεν είναι δύσκολη όταν n=1 καθώς, στην περίπτωση αυτή, η εξίσωση ανάγεται στην απλή μορφή
a + b = c
Επειδή το άθροισμα οποιωνδήποτε δυο ακεραίων είναι επίσης ακέραιος αριθμός, για κάθε a και b υπάρχει πάντοτε ένας c που ικανοποιεί την εξίσωση.
Όταν n=2 (η περίπτωση που εξέτασε ο Διόφαντος), το πρόβλημα γίνεται ελάχιστα δυσκολότερο. Βεβαίως, η εξίσωση
a2 + b2 = c2
είναι ο τύπος του Πυθαγόρα, η οποία συνδέει τις κάθετες πλευρές και την υποτείνουσα ενός ορθογωνίου τριγώνου, και επιδέχεται άπειρες το πλήθος ακέραιες λύσεις – αρχής γενομένης από τη γνωστή
32 + 42 = 52
Αιώνες πριν τον Διόφαντο, ο Ευκλείδης έδωσε μια μέθοδο σχηματισμού όλων των συνόλων τέτοιων πυθαγόρειων τριάδων.
Με δεδομένη την απειρία λύσεων όταν n=1 ή n=2 η πιθανότητα να μην υπάρχει καμιά ακέραιη λύση για όλα τα n≥3 φαίνεται να εκπλήσσει, όμως αυτός είναι ο ισχυρισμός του Fermat.
Ο ίδιος ο Fermat απέδειξε το θεώρημα για την περίπτωση n=4 (και αυτή τη φορά ανέπτυξε την επιχειρηματολογία του σε μια άλλη σημείωση στο περιθώριο).

Ο Pierre de Fermat http://en.wikipedia.org/wiki/Pierre_de_Fermat  (1601 – 1665) υπήρξε διακεκριμένος νομικός, αλλά κέρδισε την αθανασία χάρη σ’ ένα χόμπι του: τα μαθηματικά

Ο Pierre de Fermat http://en.wikipedia.org/wiki/Pierre_de_Fermat (1601 – 1665) υπήρξε διακεκριμένος νομικός, αλλά κέρδισε την αθανασία χάρη σ’ ένα χόμπι του: τα μαθηματικά

Ουσιαστικά, ο Fermat απέδειξε μια ελαφρώς γενικότερη πρόταση, δείχνοντας ότι η εξίσωση
a4 + b4 = c2
δεν επιδέχεται ακέραιες λύσεις• αφού κάθε τέλεια τέταρτη δύναμη είναι επίσης και τέλειο τετράγωνο, το αποτέλεσμα αυτό συνεπάγεται την ορθότητα του αρχικού θεωρήματος για n=4. Για να το διατυπώσουμε διαφορετικά, ο Fermat έδειξε ότι δεν υπάρχουν πυθαγόρειες τριάδες
a2 + b2 = c2
όπου τα ίδια τα a, b να είναι τέλεια τετράγωνα.
Η ιδέα στην οποία βασίζεται η απόδειξη αποτελεί μια τεχνική που επινόησε ο Fermat και ονομάζεται μέθοδος της άπειρης καθόδου. Αφετηρία είναι η υπόθεση ότι υπάρχουν πράγματι ακέραιες λύσεις της εξίσωσης
a4 + b4 = c2.
Ο Fermat ανακάλυψε μια σειρά πράξεων με τις οποίες, δοθείσης μιας οιασδήποτε τέτοιας λύσης, δημιουργείται μία μικρότερή της. Η εφαρμογή της ίδιας ακολουθίας πράξεων στη νέα λύση έχει ως αποτέλεσμα μία ακόμα μικρότερη λύση. Η διαδικασία αυτή μπορεί να συνεχιστεί απεριόριστα, δημιουργώντας μια απειροσειρά από ολοένα μικρότερες λύσεις. Η ύπαρξη όμως μιας τέτοιας σειράς από συνεχώς μικρότερους αριθμούς είναι αδύνατη στο σύνολο των θετικών ακεραίων, το οποίο διαθέτει ένα καλώς ορισμένο κάτω φράγμα (τον αριθμό 1). Ο μόνος τρόπος αποφυγής αυτού του ατόπου είναι η απόρριψη της αρχικής υπόθεσης περί ύπερξης ακέραιης λύσης.
Η περίπτωση n=3 εξετάστηκε από τον Leonard Euler εξετάστηκε, τον μεγάλο ελβετό μαθηματικό του 18ου αιώνα. Και η δική του απόδειξη βασίζεται στην άπειρη κάθοδο, αλλά είναι περισσότερο πεπλεγμένη από την απόδειξη για n=4. Στα χρόνια που ακολούθησαν, αποδείχθηκαν αρκετές ειδικές περιπτώσεις του τελευταίου θεωρήματος του Fermat. Γύρω στα 1820, ο Γάλλος Adrien – Marie Legendre και ο Γερμανός P. G. Lejeune Dirichlet έδωσαν αποδείξεις για την περίπτωση n=5. Ο Dirichlet προσπάθησε να αποδείξει και την περίπτωση n=7, αλλά τελικά το κατόρθωσε μόνο για n=14• η απόδειξη για n=7 επινοήθηκε αργότερα, από τον Γάλλο Gabriel Lame. Τότε, το 1847, διατυπώθηκε μια σημαντική πρόοδος από τον Γερμανό Ernst E. Kummer, ο οποίος έφτασε πολύ κοντά σε μια γενική απόδειξη του θεωρήματος. Το έργο του Kummer αποδείκνυε ότι το τελευταίο θεώρημα του Fermat αληθεύει αληθεύει για άπειρο πλήθος εκθετών, συγκεκριμένα για όλες τις τιμές του n που διαιρούνται από «κανονικούς» πρώτους αριθμούς. Οι τελευταίοι αποτελούν ένα υποσύνολο των πρώτων αριθμών (δηλαδή των θετικών ακεραίων που διαιρούνται μόνο από τον εαυτό τους και τη μονάδα). Οι μόνοι μη κανονικοί πρώτοι, μικρότεροι του 100, είναι οι 37, 59 και 67, αλλά ο Kummer πέτυχε στην πορεία να επινοήσει την απόδειξη και γι’ αυτές τις ειδικές τιμές. Έτσι, το τελευταίο θεώρημα του Fermat είχε αποδειχτεί για όλα τα n<100.
Tα τελευταία χρόνια, μελέτες με τη βοήθεια υπολογιστών είχαν πετύχει μεγάλη ανύψωση του κάτω ορίου κάθε δυνατού αντιπαραδείγματος. Ένα αποτέλεσμα που δημοσιεύθηκε τον Ιούλιο του 1993 (από τους Buhler, Crandall, Ernvall Metsänkylä) δείχνει ότι το τελευταίο θεώρημα του Fermat αληθεύει για όλους τους εκθέτες n<4.000.000, οπότε κάθε ακέραιη λύση της
an + bn = cn
θα έπρεπε να αποτελείται από αστρονομικά μεγάλους ακεραίους. (Αποδεικνύεται ότι η μικρότερη δυνατή τιμή του cn θα ήταν ένας αριθμός με περισσότερα από 26 εκατομμύρια δεκαδικά ψηφία.) Εντούτοις, δεν υπήρξε μαθηματικός που να θεώρησε το θέμα λήξαν μόνο και μόνο επειδή εξαντλήθηκε ένας πεπερασμένος αριθμός περιπτώσεων. Υπάρχει άπειρο πλήθος από τους μη κανονικούς πρώτους αριθμούς του Kummer, συνεπώς όσο και να επεκτεινόταν η κατά περίπτωση ανάλυση, θα ήταν αδύνατον να οδηγήσει σε ολοκληρωμένο αποτέλεσμα.

Η εικασία Taniyama
O δρ. Andrew Wiles είναι ήσυχος και πράος άνθρωπος, μ’ ένα ντροπαλό χαμόγελο. Ωστόσο, βρήκε το κουράγιο να επενδύσει επτά χρόνια εργαζόμενος μυστικά στο πλέον διάσημο μαθηματικό πρόβλημα και αντιμετωπίζοντας μια τρομερή πρόκληση που έφερε σε αμηχανία τους καλύτερους μαθηματικούς επί περισσότερο από 300 χρόνια. Στις 23 Ιουνίου του 1993, και παρ’ όλες τις αντιξοότητες, ο Wiles ήταν σε θέση να αναγγείλει ότι βρήκε τη λύση του προβλήματος. Ήταν ένα επίτευγμα το οποίο, εάν αλήθευε, θα εκτόξευε τον σαραντάχρονο τότε καθηγητή μαθηματικών του Πανεπιστημίου του Πρίνστον στο στρατόπεδο των γιγάντων αυτού του γνωστικού πεδίου: ο Wiles θα έφτανε στον κολοφώνα της δόξας του δημιουργώντας ένα είδος ινδάλματος στην επιστημονική κοινότητα.
Η απόδειξη του Wiles για το τελευταίο θεώρημα του Fermat δεν είναι του είδους που μπορεί να γραφεί σ’ ένα φύλλο χαρτί. Μάλιστα απαιτεί πολύ ειδικές γνώσεις για την πλήρη κατανόησή της. Ωστόσο, οι γενικές γραμμές της απόδειξης είναι κατανοητές, κι έτσι στη συνέχεια θα προσπαθήσουμε να δώσουμε μια ιδέα αυτής της δραματικής εξέλιξης στη θεωρία αριθμών.
Το αποφασιστικό σημείο στην ιστορία μας εμφανίστηκε περίπου πριν μια δεκαετία, το 1985, όταν ο δρ. Gerhard Frey του Πανεπιστημίου της Σάαρλαντ της Γερμανίας ισχυρίστηκε ότι το τελευταίο θεώρημα του Fermat θα προέκυπτε αυτομάτως αν αλήθευε μια άλλη, φαινομενικά άσχετη με αυτό πρόταση, η εικασία του Taniyama (ή εικασία Τaniyama – Shimura – Weil – όνομα που οφείλεται στο γεγονός ότι το 1955 ο Taniyama έθεσε κάποια ερωτήματα τα οποία γενικεύθηκαν και έγιναν ακριβέστερα από τους Shimura και Weil). Η πρόταση αυτή αναφέρεται στις ελλειπτικές καμπύλες, δηλαδή μια κλάση κυβικών εξισώσεων οι οποίες είχαν μελετηθεί σε βάθος από τον ίδιο τον Fermat, αν και όχι σε σχέση με το θεώρημά του ….
(συνεχίζεται ΕΔΩ)

Ετικέτα: ,