Μια κβαντική επιφοίτηση για την συνάρτηση ζήτα

Οι φυσικοί βρίσκουν μια νέα προσέγγιση στο μαθηματικό πρόβλημα του ενός εκατομμυρίου δολλαρίων

Το πλάτος σκέδασης του Remmen μεταφράζει την συνάρτηση ζ του Riemann στη γλώσσα της κβαντικής θεωρίας πεδίου. Photo Credit: GRANT REMMEN, HARRISON TASOFF

H συνάρτηση ζήτα του Riemann είναι μια φαινομενικά απλή συνάρτηση που προβληματίζει τους μαθηματικούς από τον 19ο αιώνα μέχρι σήμερα. Το πιο διάσημο πρόβλημα, η υπόθεση Riemann, είναι ίσως το μεγαλύτερο άλυτο ερώτημα στα μαθηματικά, με το Clay Mathematics Institute να προσφέρει βραβείο ενός εκατομμυρίου δολαρίων για την απόδειξή του.

Yπόθεση Riemann: «Όλες οι μη τετριμένες ρίζες της συνάρτησης ζ έχουν πραγματικό μέρος ίσο με ½», όπου η συνάρτηση ζ του Riemann ορίζεται από την εξίσωση: \zeta(s) = \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n^{s}}

H συνάρτηση ζ του Riemann είναι η διάσημη και μυστηριώδης μαθηματική συνάρτηση που εμφανίζεται παντού στην θεωρία αριθμών και διερευνάται για πάνω από 150 χρόνια. Ο φυσικός του UC Santa Barbara, Grant Remmen πιστεύει ότι κατάφερε μια νέα προσέγγιση στην διερεύνηση της παράξενης συνάρτησης ζ. Βρήκε μια αναλογία που μεταφέρει πολλές από τις σημαντικές ιδιότητες της συνάρτησης ζ στην κβαντική θεωρία πεδίου. Αυτό σημαίνει ότι οι ερευνητές μπορούν τώρα να αξιοποιήσουν τα εργαλεία από αυτό το πεδίο της φυσικής για να διερευνήσουν την αινιγματική και αναπάντεχα πανταχού παρούσα συνάρτηση ζ. Η εργασία του θα μπορούσε ακόμη να οδηγήσει στην απόδειξη της υπόθεσης Riemann. Ο Remmen παρουσιάζει την προσέγγισή του στο περιοδικό Physical Review Letters (Amplitudes and the Riemann Zeta Function).

«Την άνοιξη του 1972 σε μια τυχαία συζήτηση των Hugh Lowell Montgomery και Freeman John Dyson σε ένα συνέδριο, ο πρώτος ανέφερε ότι εργάζεται πάνω στις διαφορές μεταξύ των μη τετριμένων ριζών της συνάρτησης Riemann και πως είχε καταλήξει σε μια εικασία, ότι η συνάρτηση κατανομής αυτών των διαφορών συνδέονταν με το ολοκλήρωμα 1-(sin πu/πu)2. O Dyson εντυπωσιασμένος του είπε: «Αυτός είναι ο παράγοντας μορφής της συσχέτισης ζεύγους των ιδιοτιμών τυχαίων Ερμιτιανών πινάκων! (…)
Οι μη τετριμένες ρίζες της συνάρτησης ζ του Riemann ήρθαν στο προσκήνιο λόγω των ερευνών που σχετίζονται με την κατανομή των πρώτων αριθμών. Οι ιδιοτιμές ενός τυχαίου Ερμιτιανού έρχονται στο προσκήνιο λόγω των ερευνών που σχετίζονται με τη συμπεριφορά των υποατομικών σωματιδίων που διέπονται από τους νόμους της κβαντικής μηχανικής. Τι σχέση έχει, να πάρει ευχή, η κατανομή των πρώτων αριθμών με τη συμπεριφορά των υποατομικών σωματιδίων;»
John Derbyshire, ‘Υπόθεση Ρίμαν, Η εμμονή με τους πρώτους αριθμούς, εκδόσεις Τραυλος – απόσπασμα’ από το κεφάλαιο ‘Η θεωρία των αριθμών συναντά την κβαντομηχανική’

Μια εξωτερική προοπτική

Ο Remmen συνήθως δεν ασχολείται με την επίλυση των κλασικών μαθηματικών προβλημάτων, αλλά με σημαντικά προβλήματα στην σωματιδιακή φυσική, την κβαντική βαρύτητα, την θεωρία χορδών και τις μαύρες τρύπες. Ο ίδιος πιστεύει ότι η σύγχρονη θεωρία των υψηλών ενεργειών, η φυσική της ελάχιστης και της μέγιστης κλίμακας (αυτός κόσμος ο μικρός ο μέγας), κρύβει τα πιο βαθιά μυστήρια.

Οι περισσότεροι άνθρωποι έχουν ακούσει για την κβαντομηχανική (στοιχειώδη σωματίδια, αρχή της αβεβαιότητας κ.λπ.) και την ειδική σχετικότητα (διαστολή χρόνου, E=mc2, κ.λπ.), αλλά με την κβαντική θεωρία πεδίου, οι φυσικοί κατάφεραν να συνδέσουν την ειδική σχετικότητα και την κβαντική μηχανική και να περιγράψουν την συμπεριφορά των σωματιδίων που κινούνται με ή κοντά στην ταχύτητα του φωτός.

Η κβαντική θεωρία πεδίου δεν είναι ακριβώς μια ενιαία θεωρία. Μοιάζει περισσότερο με μια συλλογή εργαλείων που μπορούν να χρησιμοποιήσουν οι επιστήμονες για να περιγράψουν τις αλληλεπισδράσεις σωματιδίων.

Ο Remmen συνειδητοποίησε ότι μια από τις έννοιες της κβαντικής θεωρίας πεδίου έχει πολλά κοινά χαρακτηριστικά με τη συνάρτηση ζ του Riemann. Ονομάζεται πλάτος σκέδασης και κωδικοποιεί την κβαντομηχανική πιθανότητα τα σωματίδια να αλληλεπιδράσουν μεταξύ τους.

Τα πλάτη σκέδασης εκφράζονται με μιγαδικούς αριθμούς. Αυτοί οι αριθμοί αποτελούνται από έναν πραγματικό αριθμό και έναν φανταστικό αριθμό — που είναι πολλαπλάσιο του √-1 και συμβολίζεται με i. Τα πλάτη σκέδασης έχουν ‘ωραίες’ ιδιότητες στο μιγαδικό επίπεδο. Πρώτον, είναι αναλυτικές συναρτήσεις (μπορούν να εκφραστούν ως σειρές) γύρω από κάθε σημείο εκτός από ένα συγκεκριμένο σύνολο πόλων, οι οποίοι βρίσκονται όλοι κατά μήκος μιας ευθείας. Κάτι εντελώς παρόμοιο με τον τρόπο που συμπεριφέρονται οι ρίζες της συνάρτησης ζ του Riemann, οι οποίες φαίνεται να βρίσκονται όλες σε μια ευθεία. Έτσι, ο Remmen επιχείρησε να ελέγξει αν αυτή η φαινομενική ομοιότητα έκρυβε κάτι αληθινό.

Οι πόλοι του πλάτους σκέδασης αντιστοιχούν στην παραγωγή σωματιδίων, όπου εξαιτίας ενός φυσικού γεγονότος δημιουργείται ένα σωματίδιο με ορμή. Η τιμή του κάθε πόλου αντιστοιχεί στην μάζα του σωματιδίου που δημιουργείται. Ήταν λοιπόν θέμα εύρεσης μιας συνάρτησης που συμπεριφέρεται σαν το πλάτος σκέδασης και της οποίας οι πόλοι είναι αντίστοιχες με τις μη τετριμμένες ρίζες της συνάρτησης ζ.

Παραπλανητικά απλή

Η συνάρτηση ζήτα γενικεύει την αρμονική σειρά:

\frac{1}{1^{x}} + \frac{1}{2^{x}} +  \frac{1}{3^{x}} \dots

Αυτή η σειρά τείνει στο άπειρο όταν x≤1, αλλά συγκλίνει σε έναν πραγματικό αριθμό για κάθε x>1. Το 1859 ο Bernhard Riemann αποφάσισε να εξετάσει τι συμβαίνει όταν το x είναι μιγαδικός αριθμός. Η συνάρτηση, που τώρα ονομάζεται συνάρτηση ζ του Riemann, παίρνει ως τιμή έναν μιγαδικό αριθμό και μας δίνει έναν άλλο.

Δεδομένης της απλότητας της συνάρτησης, θα πρέπει να έχει μερικές καλές ιδιότητες. «Κι όμως, ιδιότητές της καταλήγουν να είναι τρομερά περίπλοκες για να κατανοηθούν», λέει ο Remmen. Για παράδειγμα, πάρτε τις τιμές για τις οποίες συνάρτηση ισούται με μηδέν. Όλοι οι αρνητικοί ζυγοί αριθμοί αντιστοιχούν στο μηδέν, αν και αυτό είναι προφανές – ή «τετριμμένο» όπως λένε οι μαθηματικοί – όταν η συνάρτηση ζήτα γράφεται σε συγκεκριμένες μορφές. Αυτό που έχει μπερδέψει τους μαθηματικούς είναι ότι όλα τα άλλα μη τετριμμένα μηδενικά (ρίζες) φαίνονται να βρίσκονται κατά μήκος μιας γραμμής, έτσι ώστε το καθένα από αυτά να έχει ως πραγματικό μέρος τον αριθμό ½.

Η συνάρτηση ζ μετατρέπει τη γκρίζα γραμμή της προηγούμενης εικόνας σε αυτήν την καμπύλη, έτσι ώστε κάθε ένα από τα κόκκινα σημεία της να αντιστοιχεί στην αρχή (0,0). Photo Credit: GRANT REMMEN, HARRISON TASOFF

Ο Riemann υπέθεσε ότι αυτό το μοτίβο ισχύει για όλες τις μη τετριμμένες ρίζες και αυτή η τάση έχει επιβεβαιωθεί για τα πρώτα λίγα τρισεκατομμύρια από αυτές. Όμως, υπάρχουν εικασίες που ισχύουν για τρισεκατομμύρια παραδείγματα και στη συνέχεια αποτυγχάνουν σε εξαιρετικά μεγάλους αριθμούς. Έτσι, οι μαθηματικοί δεν μπορούν να είναι σίγουροι ότι η υπόθεση είναι αληθής μέχρι να αποδειχθεί.

Αλλά αν η υπόθεση Riemann αληθεύει, θα έχει σημαντικές επιπτώσεις. «Για διάφορους λόγους εμφανίζεται παντού σε θεμελιώδη ερωτήματα στα μαθηματικά», λέει ο Remmen. Τα αξιώματα σε πεδία τόσο διαφορετικά όπως η θεωρία υπολογισμού, η αφηρημένη άλγεβρα και η θεωρία αριθμών εξαρτώνται από την ισχύ της υπόθεσης. Για παράδειγμα, η απόδειξη ότι υπάρχει ακριβής έκφραση για την κατανομή των πρώτων αριθμών.

Μια φυσική αναλογία

Το πλάτος σκέδασης που βρήκε ο Remmen περιγράφει δύο σωματίδια χωρίς μάζα ηρεμίας που αλληλεπιδρούν ανταλλάσσοντας ένα άπειρο σύνολο σωματιδίων με μάζες, ένα κάθε φορά. Η συνάρτηση έχει έναν πόλο – ένα σημείο όπου δεν μπορεί να εκφραστεί ως σειρά – και αντιστοιχεί στη μάζα κάθε ενδιάμεσου σωματιδίου. Οι άπειροι πόλοι ευθυγραμμίζονται όπως οι μη τετριμμένες ρίζες της συνάρτησης ζ του Riemann.

Αυτό που κατασκεύασε ο Remmen είναι η κύρια συνιστώσα της αλληλεπίδρασης. Υπάρχουν απείρως περισσότερες που ο καθεμία αντιπροσωπεύει όλο και μικρότερες πτυχές της αλληλεπίδρασης, που περιγράφουν διαδικασίες με ταυτόχρονη ανταλλαγή πολλών σωματιδίων με μάζα. Αλλά αυτό θα αποτελέσει αντικείμενο μελλοντικής εργασίας.

Σύμφωνα με την υπόθεση Riemann όλες οι μη τετριμένες ρίζες της συνάρτησης ζ έχουν πραγματικό μέρος ίσο με ½. Η ‘μετάφραση’ αυτού στο μοντέλο του Remmen: Όλοι οι πόλοι των πλατών σκέδασης είναι πραγματικοί αριθμοί. Αυτό σημαίνει ότι αν κάποιος μπορεί να αποδείξει ότι η συνάρτησή του περιγράφει μια συνεπή κβαντική θεωρία πεδίου – δηλαδή, μια θεωρία όπου οι μάζες είναι πραγματικοί αριθμοί, όχι φανταστικοί – τότε η υπόθεση Riemann θα αποδειχθεί.

Σύμφωνα με τον Remmen, «Όχι μόνο υπάρχει αυτή η σχέση της φυσικής με την υπόθεση Riemann, αλλά υπάρχει μια ολόκληρη λίστα με άλλα χαρακτηριστικά της συνάρτησης ζ του Riemann που αντιστοιχούν σε φυσικά χαρακτηριστικά του πλάτους σκέδασης». Για παράδειγμα, ό ίδιος έχει ήδη ανακαλύψει μη διαισθητικές μαθηματικές ταυτότητες που σχετίζονται με τη συνάρτηση ζ χρησιμοποιώντας μεθόδους από τη φυσική.

Η εργασία του Remmen ακολουθεί μια παράδοση ερευνητών που ψάχνουν στη φυσική για να ρίξουν φως σε μαθηματικά προβλήματα. Για παράδειγμα, ο φυσικός Gabriele Veneziano έθεσε μια παρόμοια ερώτηση το 1968: εάν η συνάρτηση βήτα Euler θα μπορούσε να ερμηνευτεί ως πλάτος σκέδασης. Πράγματι μπορεί και το πλάτος που κατασκεύασε ο Veneziano ήταν ένα από τα πρώτα πλάτη της θεωρίας χορδών. Ο Remmen ελπίζει να αξιοποιήσει αυτό το πλάτος για να μάθει περισσότερα για τη συνάρτηση ζ.

Κι αυτή η προσέγγιση ανοίγει έναν δρόμο για την πιθανή απόδειξη της υπόθεσης Riemann.

διαβάστε περισσότερα: ‘Quantum Zeta Epiphany – ‘Amplitudes and the Riemann Zeta Function



Κατηγορίες:ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ, ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

Ετικέτες: ,

Σχολιάστε

Εισάγετε τα παρακάτω στοιχεία ή επιλέξτε ένα εικονίδιο για να συνδεθείτε:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

Σύνδεση με %s

Ο ιστότοπος χρησιμοποιεί το Akismet για την εξάλειψη των ανεπιθύμητων σχολίων. Μάθετε πως επεξεργάζονται τα δεδομένα των σχολίων σας.

Αρέσει σε %d bloggers: