Πλάγια βολή: Το “πήγαινε-έλα” των βλημάτων

Κατά τη διάρκεια των μαθημάτων στοιχειώδους φυσικής αντιμετωπίζει κανείς πολλά παραδείγματα κινήσεων τα οποία όταν διερευνώνται λεπτομερώς αποκαλύπτουν μερικές εκπλήξεις. Ένα τέτοιο παράδειγμα είναι η πλάγια βολή ενός σώματος με γωνία εκτόξευσης μεγαλύτερη από μια κρίσιμη τιμή.

Στο σημείο αυτό να εξηγήσουμε ότι όταν λέμε πλάγια βολή εννοούμε την κίνηση που εκτελεί ένα σώμα όταν εκτοξεύεται π.χ. από το έδαφος και η αρχική του ταχύτητα σχηματίζει γωνία θ με την οριζόντια διεύθυνση, ενώ συνήθως θεωρούμε ότι η αντίσταση του αέρα είναι αμελητέα. Όσοι τέλειωσαν το Λύκειο πριν από είκοσι και πλέον χρόνια θα θυμούνται πολύ καλά αυτό το είδος της κίνησης. Ένας ψυχίατρος θα μπορούσε άνετα να μας εξηγήσει, γιατί οι μαθητές από τότε και μέχρι σήμερα, διδάσκονται μόνο την υποπερίπτωσή της, την οριζόντια βολή της οποίας η μελέτη γίνεται με τον ίδιο ακριβώς τρόπο!

Ένα μη αναμενόμενο φαινόμενο που σχετίζεται με την πλάγια βολή στο κενό είναι το εξής: για γωνίες εκτόξευσης μεγαλύτερες από μια καθορισμένη κρίσιμη γωνία, το βλήμα αρχικά απομακρύνεται από το σημείο εκτόξευσης, στη συνέχεια πλησιάζει προς το σημείο εκτόξευσης και μετά απομακρύνεται πάλι. Αντίθετα με την κοινή λογική που μας λέει ότι η απόσταση ενός βλήματος από το σημείο εκτόξευσης συνεχώς αυξάνεται.

Το παρακάτω διάγραμμα είναι από την δημοσίευση του J. S. Walker [«Projectiles: Are they coming or going?»,  Phys. Teach. 33, 282–284 (1995)], όπου εξέτασε αυτό το «πήγαινε-έλα» των βλημάτων, σε βολές χωρίς αντίσταση του αέρα:

Η απόσταση του βλήματος r από το σημείο εκτόξευσης συναρτήσει της οριζόντιας μετατόπισης x για διάφορες γωνίες εκτόξευσης

Είναι φανερό από το παραπάνω σχήμα ότι γενικά το βλήμα συνεχώς απομακρύνεται από το σημείο εκτόξευσης. Όμως, από μια συγκεκριμένη γωνία θκρ φαίνεται ότι το βλήμα ενώ αρχικά απομακρύνεται, μετά πλησιάζει και στη συνέχεια απομακρύνεται πάλι από το σημείο εκτόξευσης.

Το ζητούμενο εδώ είναι να υπολογιστεί η κρίσιμη γωνία θκρ.

Χρησιμοποιώντας τα ίδια επιχειρήματα με την οριζόντια βολή (βλέπε ΕΔΩ), θεωρούμε ότι και η πλάγια βολή είναι μια σύνθετη κίνηση που αποτελείται από δύο απλές κινήσεις, μία ευθύγραμμη ομαλή κίνηση και μία ελεύθερη πτώση.

Έτσι, για ένα σώμα που εκτοξεύεται με αρχική ταχύτητα υ0, η οποία σχηματίζει γωνία θ με την οριζόντια διεύθυνση, θεωρούμε ότι μια χρονική στιγμή t θα βρεθεί στο σημείο Γ της τροχιάς, εκτελώντας δυο ανεξάρτητες κινήσεις: από το σημείο Α έως το σημείο Β ευθύγραμμη ομαλή κίνηση (ΑΒ=υ0t) και από το σημείο Β μέχρι το Γ ελεύθερη πτώση (ΒΓ=½ gt2).

Έτσι, την τυχαία χρονική στιγμή t, η απόσταση r(t) του βλήματος από το σημείο εκτόξευσης, προκύπτει από το νόμο του συνημιτόνων στο τρίγωνο ΑΒΓ:

r(t)=(A \Gamma) = \sqrt{(AB)^{2 }+ (B \Gamma)^{2}-2 (AB)  (B\Gamma) \cos \theta '}

Θέτοντας ΑΒ=υ0t , ΒΓ=½ gt2 και cosθ’=sinθ παίρνουμε:

r(t)=t\sqrt{v_{0}^{2} +g^{2}t^{2}/4 -gv_{0} \sin \theta \,t}

Η κρίσιμη γωνία έχει νόημα εφόσον η παραπάνω συνάρτηση έχει ακρότατο. Έτσι, παραγωγίζοντας ως προς προς τον χρόνο και εξισώνοντας με το μηδέν, μετά από κάποιες πράξεις καταλήγουμε στην εξίσωση:

g^{2}t^{2} -3 g v_{0} \sin \theta  \, t +2v_{0}^{2}=0

Για να υπάρχει ακρότατο θα πρέπει η εξίσωση αυτή να έχει πραγματικές ρίζες, οπότε

\Delta=9g^{2}v_{0}^{2} \sin^{2} \theta - 8g^{2}v_{0}^{2} \geq 0 \Rightarrow  \sin\theta \geq 2\sqrt{2}/3

Aυτό σημαίνει ότι για γωνίες μεγαλύτερες από 70,53ο η απόσταση r(t) εμφανίζει μέγιστο.

Στα επόμενα σχήματα συγκρίνονται οι βολές για δυο διαφορετικές γωνίες εκτόξευσης 65ο και 75ο.

Η απόσταση του βλήματος r=r(t) από το σημείο εκτόξευσης συναρτήσει του χρόνου για τις γωνίες εκτόξευσης 65ο και 75ο
Η απόσταση του βλήματος r=r(x) από το σημείο εκτόξευσης συναρτήσει της οριζόντιας μετατόπισης x για τις γωνίες εκτόξευσης 65ο και 75ο
Οι τροχιές που διαγράφει το βλήμα για δυο διαφορετικές γωνίες εκτόξευσης 65ο και 75ο

Πολύ περισσότερα για τα παραπάνω, ακόμα και στην περίπτωση που υπάρχει αντίσταση του αέρα, μπορείτε διαβάσετε ΕΔΩ: Projectile Motion: The “Coming and Going” Phenomenon

διαβάστε επίσης: Η έλλειψη της πλάγιας βολής



Κατηγορίες:ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ, ΜΗΧΑΝΙΚΗ

Ετικέτες: ,

4 replies

  1. Ίσως είναι αφελής η ερώτησή μου: Μπορούμε να θεωρήσουμε ΑΒ=υο.t ; Κάνει το σώμα ΕΟΚ σ’ αυτή την διεύθυνση; Το βάρος είναι κατακόρυφο, αν το αναλύσουμε μας δίνει μία συνιστώσα στην διεύθυνση ΑΒ.

    • … και μια συνιστώσα στην κάθετη προς την ΑΒ διεύθυνση. Οπότε ευθύγραμμα ομαλά επιβραδυνόμενη (με gsinθ) στην διεύθυνση ΑΒ (αξονας χ) και επιταχυνόμενη (με gcosθ) στην κάθετη σ’ αυτή διεύθυνση (άξονας ψ). Οπότε r(t)=\sqrt{x^{2}+y^{2}} κ.ο.κ

      • Συμφωνώ μαζί σας. Στο άρθρο όμως αλλιώς τα λέει !!!

        • πράγματι «λέει άλλα», διότι είναι ένας διαφορετικός τρόπος λύσης. Εκεί χρησιμοποιείται ο νόμος των συνημιτόνων και όχι το πυθαγόρειο θεώρημα όπως στο σχόλιο.
          Όπως άλλα λέει και ο τρίτος τρόπος που περιγράφεται στο άρθρο Projectile Motion: The “Coming and Going” Phenomenon

Σχολιάστε

Εισάγετε τα παρακάτω στοιχεία ή επιλέξτε ένα εικονίδιο για να συνδεθείτε:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

Φωτογραφία Google

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Google. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

Σύνδεση με %s

Ο ιστότοπος χρησιμοποιεί το Akismet για την εξάλειψη των ανεπιθύμητων σχολίων. Μάθετε πως επεξεργάζονται τα δεδομένα των σχολίων σας.

Αρέσει σε %d bloggers: