Η έλλειψη της πλάγιας βολής

Posted on 23/07/2019

1


Η πλάγια βολή για μυστηριώδεις λόγους δεν περιλαμβάνεται στα αναλυτικά προγράμματα της διδακτέας ύλης φυσικής των γενικών λυκείων τα τελευταία 15-20 (;) χρόνια. Η παράλειψη αυτή γίνεται περισσότερο μεταφυσική αν λάβει κανείς υπόψιν το γεγονός ότι η κατακόρυφη και η οριζόντια βολή διδάσκονται κανονικά! Για να ξορκίσουμε το κακό παραθέτουμε μια ενδιαφέρουσα άσκηση που αναφέρεται στην πλάγια βολή:

Μια σημειακή μάζα εκτοξεύεται πολλές φορές από το σημείο Ο(0,0) της επιφάνειας του εδάφους με το ίδιο μέτρο ταχύτητας υ0, αλλά με διαφορετική γωνία θ κάθε φορά ως προς την οριζόντια διεύθυνση (0≤θ≤180ο). Έτσι, η μάζα εκτελεί πλάγιες βολές στο κατακόρυφο επίπεδο xy. Αγνοώντας την αντίσταση του αέρα, να δείξετε ότι οι συντεταγμένες των μέγιστων υψών των βολών βρίσκονται στην έλλειψη:

\frac{x^{2}}{p^{2}} + \frac{(y-p/2)^{2}}{(p/2)^{2}}=1 όπου p=v_{0}^{2}/2g

απάντηση:

Στον οριζόντιο άξονα η κίνηση είναι ευθύγραμμη ομαλή με vx=v0cosθ , x= v0cosθ t
και στον κατακόρυφο άξονα ευθύγραμμη ομαλά επιβραδυνόμενη με vy=v0sinθ-gt και  y= v0sinθ t – ½ gt2
Συνδυάζοντας τις παραπάνω εξισώσεις παίρνουμε για τις συντεταγμένες του μέγιστου ύψους:
y(\theta)=H_{max}= \frac{v_{0}^{2} \sin^{2}\theta}{2g}=p \sin^{2} \theta, όπου p=v_{0}^{2}/2g

αλλά \sin^{2} \theta = \frac {1- \cos 2 \theta }{2}, οπότε

y(\theta) - \frac{p}{2}=-\frac{p}{2} \cos 2 \theta   (1)

Δεδομένου ότι ο χρόνος ανόδου είναι t= \frac{v_{0} \sin \theta}{g}, έχουμε:

x(\theta)=v_{0} \cos \theta \frac{v_{0} \sin \theta}{g}= \frac{v_{0}^{2} \cos \theta \sin \theta}{g}=p \sin2 \theta    (2)

Aπό τις εξισώσεις (1) και (2) προκύπτει εύκολα η εξίσωση της έλλειψης:

\frac{x^{2}}{p^{2}} + \frac{(y-p/2)^{2}}{(p/2)^{2}}=1

(νεώτερη ενημέρωση 25/7/2019)