Για σχεδόν 80 χρόνια, οι μαθηματικοί μελετούν ένα φαινομενικά απλό ερώτημα: Αν τοποθετήσουμε οποιονδήποτε αριθμό κουκκίδων σε μια επίπεδη επιφάνεια, ποιος είναι ο μέγιστος δυνατός αριθμός ζευγών που θα μπορούσαν να απέχουν μεταξύ τους μια συγκεκριμένη μοναδιαία απόσταση (π.χ. 1 εκατοστό). Το ερώτημα διατυπώθηκε το 1946 από τον Paul Erdos, έναν από τους σημαντικότερους μαθηματικούς του 20ού αιώνα.

Για παράδειγμα, αν διαθέτουμε n=3 κουκκίδες, μπορούμε να τις τοποθετήσουμε στις κορυφές ενός ισοπλεύρου τριγώνου ώστε να σχηματίζονται u(3)=3 ζεύγη που απέχουν μοναδιαία απόσταση. Αν έχουμε n=4 κουκκίδες, τότε η καλύτερη διευθέτηση είναι όπως στο παρακάτω σχήμα, όπου προκύπτουν u(4)=5 τέτοια ζεύγη, ενώ αν διαθέτουμε n=5 κουκκίδες, στην καλύτερη διευθέτηση επιτυγχάνονται u(5)=7 ζεύγη, κ.ο.κ.

Βέβαια, καθώς αυξάνεται ο αριθμός των κουκκίδων τα σχήματα (στα οποία ζητείται να απέχουν μεταξύ τους μοναδιαία απόσταση όσο το δυνατόν περισσότερα ζεύγη), ξεφεύγουν από την παραπάνω συμμετρία και γίνονται όλο και πιο περίπλοκα.

Ο Erdos υπέθεσε ένα συγκεκριμένο, δισδιάστατο πλέγμα ως την απόλυτα καλύτερη διάταξη που απαντά στο ερώτημα. Οι μαθηματικοί συμφωνούσαν με την εικασία του Erdos, θεωρώντας ότι ο μέγιστος αριθμός u(n) των ζευγών που ισαπέχουν, διαθέτει ένα κάτω και ένα πάνω όριο σύμφωνα με την εξής ανισότητα: . Και καθώς το n γίνεται όλοένα και μεγαλύτερο, το στην ουσία τείνει στο μηδέν .

Τι πέτυχε η Τεχνητή Νοημοσύνη

Επί 80 χρόνια, κανένας μαθηματικός δεν μπόρεσε να βρει μια καλύτερη διάταξη, αλλά ούτε και να αποδείξει μαθηματικά ότι ο Erdos είχε όντως δίκιο. Όμως οι περισσότεροι θεωρούσαν δεδομένο ότι η εικασία του ήταν σωστή.

Πριν από μερικές ημέρες ανακοινώθηκε ότι το μοντέλο τεχνητής νοημοσύνης της OpenAI διέψευσε τον Erdοs, ανακαλύπτοντας μια νέα κλάση κατασκευών. Αντί να προσπαθήσει να βελτιώσει τα δισδιάστατα πλέγματα, η Τεχνητή Νοημοσύνη έκανε το εξής: Κατασκεύασε ένα εξαιρετικά πολύπλοκο πλέγμα σε πολυδιάστατο χώρο, όπου ειδικές μαθηματικές συμμετρίες επέτρεψαν τη δημιουργία πολύ περισσότερων ζευγών στη ζητούμενη απόσταση. Στη συνέχεια, βρήκε έναν μαθηματικό τρόπο να προβάλει αυτό το πολυδιάστατο σχήμα πίσω στις δύο διαστάσεις. Η τελική διάταξη είναι τόσο περίπλοκη που είναι αδύνατον να σχεδιαστεί με το χέρι.

Eκείνο που κατάφερε η Τεχνητή Νοημοσύνη τελικά ήταν να ανεβάσει το κάτω όριο ώστε: . Έτσι, ενώ η εικασία του Erdos έλεγε ότι «δεν μπορεί στο κάτω όριο, , να υπάρχει σταθερός εκθέτης μεγαλύτερος από το 1″, ο υπολογισμός της Τεχνητής Νοημοσύνης έδειξε ότι αυτό δεν ισχύει, αφού μπορεί να πάρει την τιμή 1,014, καταρρίπτοντας έτσι οριστικά την ιστορική εικασία.

Το αποτέλεσμα αυτό είναι η πρώτη απόδειξη Τεχνητής Νοημοσύνης που πιθανότατα θα δημοσιευόταν σε κορυφαίο μαθηματικό περιοδικό, αν είχε επιτευχθεί αποκλειστικά από ανθρώπους. Οι μαθηματικοί χαρακτήρισαν τη μέθοδο της τεχνητής νοημοσύνης «έξυπνη» και «κομψή».

«Καμία προηγούμενη απόδειξη που έχει δημιουργηθεί από ΤΝ δεν έχει πλησιάσει» στο να ικανοποιεί αυτά τα υψηλά πρότυπα, έγραψε ο Timothy Gowers, μαθηματικός στο Πανεπιστήμιο του Κέιμπριτζ, σε σχόλιο που ζητήθηκε από την OpenAI.
«Αυτό είναι το μοναδικό ενδιαφέρον αποτέλεσμα που έχει παραχθεί αυτόνομα από την ΤΝ μέχρι στιγμής», λέει ο Daniel Litt, μαθηματικός στο Πανεπιστήμιο του Τορόντο, ο οποίος κλήθηκε από την OpenAI να επαληθεύσει την απόδειξη, χωρίς να έχει σχέση με την εταιρεία.

Το μέλλον εξακολουθεί να εξαρτάται από τον άνθρωπο

Ωστόσο, η ΤΝ δεν απέδειξε ότι η προσέγγισή της είναι η καλύτερη που μπορεί να επιτευχθεί. Μάλιστα, ο μαθηματικός Will Sawin έχει ήδη βελτιώσει το πλέγμα της ΤΝ [An explicit lower bound for the unit distance problem].

Αρκετοί από τους ειδικούς που συμβουλεύτηκε η OpenAI σημείωσαν ότι, αν και το πρόβλημα ήταν ευρέως γνωστό, μια απόδειξη ότι ο Erdős είχε δίκιο θα ήταν μαθηματικά πολύ πιο πλούσια από ένα αντιπαράδειγμα. «Το μοντέλο της ΤΝ δεν εφηύρε κάτι ριζικά νέο που κανείς δεν είχε προβλέψει», λέει ο Sébastien Bubeck, μαθηματικός που ηγείται των μαθηματικών ερευνών της OpenAI. «Απλώς εκτέλεσε [το πρόβλημα] σαν ένας εκπληκτικός μαθηματικός».

Οι ειδικοί έσπευσαν επίσης να προσθέσουν ότι, χωρίς την παρέμβαση των ανθρώπων για να «συμμαζέψουν» τη δουλειά της ΤΝ, το αποτέλεσμα δεν θα ήταν τόσο πειστικό. «Ο άνθρωπος εξακολουθεί να διαδραματίζει ζωτικό ρόλο στην συζήτηση, την κατανόηση και τη βελτίωση αυτής της απόδειξης, καθώς και στη διερεύνηση των συνεπειών της», έγραψε ο μαθηματικός Thomas Bloom.

Η μαθηματικός του Πανεπιστημίου Χάρβαρντ, Melanie Matchett Wood, λέει ότι η πρόοδος των ανθρώπων πιθανότατα περιοριζόταν από την πεποίθησή τους ότι η εικασία ήταν αληθής. Αν όλοι οι ειδικοί είχαν αφιερώσει τον ίδιο χρόνο αναζητώντας ένα αντιπαράδειγμα, λέει, θα το είχαν βρει.

Αυτό είναι εύλογο διότι η λύση της ΤΝ ήταν, εκ των υστέρων, μια άμεση προσέγγιση που κανένας άνθρωπος δεν είχε προσπαθήσει ποτέ, παρόλο που τα εργαλεία υπήρχαν ήδη. Πραγματικά νέες, πρωτοποριακές ιδέες παραμένουν πέρα από τις δυνατότητες της σημερινής ΤΝ, αφήνοντας αντ’ αυτού τις μηχανές να ερευνήσουν τη βιβλιογραφία για σπάνια «διαμάντια», όπου οι άνθρωποι αγνόησαν μια σχετικά απλή προσέγγιση. Ακόμα κι έτσι, ο Litt προσθέτει, «η μαντεψιά μου είναι ότι σύντομα θα διαπιστώσουμε πως τελικά δεν είναι και τόσο σπάνια».

Τέλος, η Wood προειδοποιεί για τα λιγότερο επιθυμητά χαρακτηριστικά της ΤΝ: Η ΤΝ τείνει να παρουσιάζει κάθε ιδέα ως δική της. «Αναγνωρίσαμε ότι υπήρχαν πολύ παρόμοιες ιδέες στη βιβλιογραφία που δεν έλαβαν την ανάλογη αναφορά», λέει η Wood. «Αν ένας άνθρωπος το έκανε αυτό, θα αποτελούσε επαγγελματικό παράπτωμα». Η μαθηματική κοινότητα πρέπει επειγόντως να αποφασίσει πώς θα χειριστεί την μη τήρηση των ακαδημαϊκών κανόνων από την ΤΝ, διότι τα πράγματα αλλάζουν γρήγορα. «Κάθε μαθηματικός που δεν χρησιμοποιεί τα τελευταία μοντέλα θα πρέπει να εκπλαγεί», καταλήγει η Wood. «Είναι ένας εντελώς διαφορετικός κόσμος σε σχέση με τον Δεκέμβριο του περασμένου έτους».

Το εν λόγω αποτέλεσμα δείχνει μια νέα μορφή συνεργασίας μεταξύ ΤΝ και μαθηματικών. Δεν λύνει μόνο ένα πρόβλημα, αλλά δημιουργεί νέες συνδέσεις μεταξύ πεδίων. Όπως γράφει ο Thomas Bloom: «Υπάρχουν πολύ περισσότερα που έχουν να πουν οι αριθμοθεωρητικές κατασκευές για τέτοια προβλήματα από ό,τι νομίζαμε…»

Το μήνυμα είναι ευρύτερο: η καλύτερη μαθηματική σκέψη κάνει την TN ισχυρό συνεργάτη στην έρευνα. Μπορεί να συνδέει έννοιες, να εξερευνά πολύπλοκες ιδέες και να βοηθά στην επίλυση δύσκολων προβλημάτων. Αυτό δεν αφορά μόνο τα μαθηματικά αλλά και πεδία όπως η βιολογία, η φυσική, η μηχανική και η ιατρική. Το μέλλον εξακολουθεί να εξαρτάται από τον άνθρωπο: οι ειδικοί επιλέγουν τα σημαντικά προβλήματα, ερμηνεύουν τα αποτελέσματα και αποφασίζουν τα επόμενα βήματα.

διαβάστε περισσότερες λεπτομέρειες:
1. OpenAI announces AI’s biggest math breakthrough yet – https://www.scientificamerican.com/article/ai-just-solved-an-80-year-old-erdos-problem-and-mathematicians-are-amazed/
2. An OpenAI model has disproved a central conjecture in discrete geometry – https://openai.com/index/model-disproves-discrete-geometry-conjecture/
3. REMARKS ON THE DISPROOF OF THE UNIT DISTANCE CONJECTURE – https://cdn.openai.com/pdf/74c24085-19b0-4534-9c90-465b8e29ad73/unit-distance-remarks.pdf

Κατηγορίες:ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ, ΡΟΜΠΟΤ, ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ, ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΕΣ

Ετικέτες: ΤΕΧΝΗΤΗ ΝΟΗΜΟΣΥΝΗ, PHYSICS