Σχετικά με το άθροισμα 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … = -1/12

Posted on 21/04/2019

2


Ενώ η απλή μαθηματική λογική μας λέει ότι το άθροισμα αυτό τείνει στο άπειρο:

\sum\limits_{n=1}^\infty n = 1+2+3+4+5+ \cdots \rightarrow \infty

οι φυσικοί ισχυρίζονται ότι μερικές φορές δεν τείνει στο άπειρο, αλλά στο -1/12:

\sum\limits_{n=1}^\infty n = 1+2+3+4+5+ \cdots \rightarrow -1/12

Πράγματι, το παράδοξο αυτό αποτέλεσμα βρίσκει εφαρμογή στη Φυσική. Για παράδειγμα, στην μποζονική θεωρία χορδών κατά τον υπολογισμό των πιθανών ενεργειακών καταστάσεων μιας χορδής και ειδικότερα της χαμηλότερης ενεργειακής στάθμης. Κάθε αρμονική της χορδής μπορεί να θεωρηθεί ως μια συλλογή D – 2 ανεξάρτητων κβαντικών αρμονικών ταλαντωτών, όπου D είναι η διάσταση του χωροχρόνου. Αν η θεμελιώδης συχνότητα ταλάντωσης είναι ω, τότε η ενέργεια ενός αρμονικού ταλαντωτή στην n-στή αρμονική είναι nħω/2. Έτσι χρησιμοποιώντας για την αποκλίνουσα σειρά την επανα-κανονικοποιημένη τιμή -1/12, προκύπτει ότι το άθροισμα όλων των αρμονικών −ħω(D−2)/24.  Τελικά αυτό το γεγονός, σε συνδυασμό με το θεώρημα Goddard-Thorn, οδηγεί την μποζονική θεωρία των χορδών να είναι συνεπής μόνο σε χωρόχρονο 26 διαστάσεων. Το άθροισμα 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ = -1/12 εμφανίζεται επίσης στον υπολογισμό της δύναμης Casimir στην κβαντική θεωρία πεδίου (βλέπε en.wikipedia.org).

Διαβάστε επίσης: Να δείξετε ότι 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … = -1/12

Ο Dillon Berger (μεταπτυχιακός φοιτητής στο τμήμα Φυσικής στο Πανεπιστήμιο της California, εξηγεί μέσω twitter γιατί οι φυσικοί μερικές φορές ισχυρίζονται ότι 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ = -1/12 :