Να δείξετε ότι: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … = -1/12

Είναι γνωστό από τα μαθηματικά – και λογικότατο – ότι το άθροισμα αυτό τείνει στο άπειρο:

\sum\limits_{n=1}^\infty n = 1+2+3+4+5+ \cdots \rightarrow \infty

Κι όμως … για μερικούς φυσικούς ισχύει και το εξής εκπληκτικό (!) αποτέλεσμα:

\sum\limits_{n=1}^\infty n = 1+2+3+4+5+ \cdots \rightarrow -1/12

string_Th

Είναι τρελοί αυτοί οι φυσικοί;

Για παράδειγμα, το αποτέλεσμα αυτό βρίσκεται στο βιβλίο «String Theory» Volume 1, του Joseph Polchinski (κατεβάστε το σε σε PDF: ΕΔΩ), όπως διαπιστώνουμε από το παρακάτω απόσπασμα (σελ. 22):
string_theory_odd_result

Το βίντεο του NumberPhile που ακολουθεί μας εξηγεί το τρόπο με τον οποίο οι φυσικοί καταλήγουν σ’ αυτό το απίστευτο αποτέλεσμα:

 

(νεώτερη ενημέρωση 18/1/2018)

Mathologer vs Numberphile
Η αλήθεια σχετικά με το άθροισμα 1+2+3+…=-1/12

Ένα νέο βίντεο από το Mathologer φιλοδοξεί να ξεκαθαρίσει οριστικά τα ερωτηματικά που δημιούργησε το αρχικό βίντεο του Numberphile:



Κατηγορίες:ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

Ετικέτες:

7 replies

  1. Πρώτη φορά η διαισθησή μας μάς προδίδει τόσο.

  2. Επισυνάπτω pdf με τα βασικά των απειροσειρών. [http://edu.eap.gr/pli/pli12/shmeiwseis/seires.pdf]
    Στη πρώτη απόδειξη υπάρχει η παραδοχή ότι το S1 ισούται με 1/2. Η σειρά κυμαίνεται (σελίδα 1 στο pdf) και δεν μπορούμε να πούμε ότι «ισούται» με 1/2. Δεν συγκλίνει σε κάποιο όριο στο R.
    Όσον αφορά την δεύτερη απόδειξη, αυτή στηρίζεται στην παραδοχή οτί το άθροισμα της γεωμετρικής προόδου (1+x+x^2+x^3….) συγκλίνει στο 1/(1-x). To πρόβλημα είναι οτί αυτό ισχύει για |x|<1 και όχι για x<1 όπως λέει ο φίλος στο video. Στη συνέχεια χρησιμοποιείται το αποτέλεσμα σύγκλισης της σειράς για x=-1 και πάνω σε αυτό στηρίζεται στη συνέχεια η απόδειξη. Στην πραγματικότητα για x μικρότερο ή ίσο με -1 η σειρά δεν συγκλίνει σε κάποιο όριο. (βλέπε σελίδες 4 και 5 sto pdf).
    Όσον αφορά εμένα πρόκειται για άλλο ένα μαθηματικό τρικ στο οποίο μη λαμβάνοντας υπόψην κάποιο απόλυτο, ή διαιρώντας με x και στη συνέχεια με χρήση του ως παρονομαστή(διαίρεση με το μηδεν) ή με κάποιο άλλο "ταχυδακτυλοργικό" καταλήγουμε σε κάποιο αποτέλεσμα που δεν έχει νόημα, τουλάχιστον στιυς πραγματικούς αριθμούς. Επειδή δεν έχω εντρυφήσει στη θεωρία των χορδών, δεν ξέρω αν μιλάμε για κάποιον άλλο διανυσματικό χώρο με περισσότερες διαστάσεις κ.λ.π. αλλά όσον αφορά τον συνήθη διανυσματικό χώρο των πραγματικών αριθμών, οι αποδείξεις στηρίζονται σε τεχνάσματα και τρικ….

  3. Φίλε Σπύρο,

    Πράγματι η σειρά αποκλίνει κατά τη συνήθη έννοια που μαθαίνει κανείς στον απειροστικό λογισμό καθώς η ακολουθία των μερικών αθροισμάτων της -όπως σωστά αναφέρεις- δεν συγκλίνει σε κάποιο πεπερασμένο όριο και φυσικά δεν μπορεί κάποιος να θέσει αυθαίρετα x=1 όταν βρίσκεται στο διάστημα (-1,1). Κατά τη γνώμη μου, αν και αυτό συνεισφέρει στη γενικότερη σύγχυση, ο τρόπος αυτός παραμένει ο καλύτερος με σκοπό να «δείξεις» με έναν πολύ απλοϊκό και heuristic τρόπο το αποτέλεσμα (όπως φαίνεται και στην «απόδειξη» που αναπαράγει ο Baez εδώ: http://math.ucr.edu/home/baez/numbers/24.pdf) όπου υποτίθεται ότι έχεις x > 1 για να εξασφαλίζεται η σύγκλιση (ή αντίστοιχα στην συνάρτηση ζ μέχεις Re(s) > 1).

    Αυτά όμως ισχύουν όσον αφορά τη συμβατική έννοια της άθροισης, καθώς υπάρχουν πολλοί διαφορετικοί τρόποι αθροίσεων (δηλαδή μέθοδοι κατά τους οποίους αντιστοιχούμε τιμές σε διάφορα αποκλίνοντα αθροίσματα – o Abel αστειευόμενος έλεγε πως οι αποκλίνουσες σειρές είναι εφεύρεση του διαβόλου). Αυτές έρχονται με ονόματα όπως άθροιση κατά Euler, Abel, Borel, Cesaro, Lambert, Hoelder, Mittag-Leffler κ.ο.κ Έτσι ακριβώς υπάρχει και η άθροιση κατά Ramanujan (http://en.wikipedia.org/wiki/Ramanujan_summation) και ακριβώς γι’αυτό τον λόγο το παραπάνω δεν αποτελεί ένα «ακόμη ταχυδακτυλουργικό τρικ» αλλά τουναντίων, ένα πολύ βαθύ αποτέλεσμα. Δύο άλλα παρόμοια αποτέλεσμα που μου ήρθαν κατά νου είναι αυτό στη θέση του Landau (http://arxiv.org/PS_cache/arxiv/pdf/0803/0803.3787v2.pdf – μόλις 17 σελίδες μεταφρασμένη) που ξεγελάει γρήγορα κάποιον, αφού σε αυτή την περίπτωση-άθροιση ισχύει ακόμα ότι ζ(1) = \infty ως η αρμονική αλλά με κάποια προπαρασκευή μπορείς να θέσεις χωρίς πρόβλημα s=1 στη γνωστή σχέση αντιστροφής \sum μ(n) / n^s = 1/ζ(s) και πάρεις 0, όπου μ η συνάρτηση του Moebius. Ένα άλλο είναι εκείνο το 1+1+1+…=-1/2 στο οποίο αντανακλάται το γεγονός της αναλυτικής συνέχειας της συναρτήσεως ζ σε όλο το μιγαδικό επίπεδο(http://en.wikipedia.org/wiki/1_%2B_1_%2B_1_%2B_1_%2B_%E2%8B%AF)

    Τέλος, θέλω να επισημάνω ότι η τεχνική της κανονικοποίησης μέσω της συναρτήσεως ζήτα του Riemann έχει ένα τεράστιο εύρος εφαρμογών στη φυσική.(http://en.wikipedia.org/wiki/Zeta_function_regularization) Πέρα από τη μποζονική θεωρία χορδών (στην οποία η κανονικοποίηση παρεισφρύει όταν απαιτούμε η σύμμορφη θεωρία πεδίου πάνω στην κοσμική επιφάνεια που σαρώνει μια χορδή στον χωρόχρονο να είναι αναλλοίωτη κατά Lorentz έτσι ώστε να να αναιρούνται οι ανωμαλίες βαθμίδας) υπάρχει εφαρμογή στην κβαντική θεωρία πεδίου στo λεγόμενο φαινόμενο Casimir στον οποίο παίρνουμε έναν τύπο για τη ZPE δύναμη λόγω τυχαίων κβαντικών διακυμάνσεων του κενού,
    (http://en.wikipedia.org/wiki/Casimir_force#Derivation_of_Casimir_effect_assuming_zeta-regularization), στην διεξαγωγή του νόμου Stefan-Boltzmann (http://en.wikipedia.org/wiki/Stefan%E2%80%93Boltzmann_law#Derivation_from_Planck.27s_law) από τον νόμο ακτινοβολίας μέλανος σώματος του Planck ακόμα και στην κοσμολογία σχετικά με το μυστήριο της βαρυονικής ασυμμετρίας μεταξύ ύλης και αντιύλης τις πρώτες στιγμές του BB (http://en.wikipedia.org/wiki/Baryogenesis#Baryon_asymmetry_parameter)
    Μεγάλη είναι και η συχνότητα με την οποία τη χρησιμοποιεί κάποιος που ασχολείται με σειρές Fourier σε προβλήματα DSP για να πάρει αποτελέσματα _πλήρους_ φυσικού νοήματος.

    Μάλιστα οι μαθηματικοί έχουν πάει ακόμα πιο βαθιά, αναζητώντας τις ρίζες αυτού του αποτελέσματος, αλλά η θεωρία αυτή είναι πραγματικά δύσκολη και ενδεχομένως έστω και η αναφορά σε αυτήν θα ξέφευγε από το σκοπό του παρόντος ιστολογίου.

    Φιλικά

  4. Με ποια Άλγεβρα…; :)d
    Στην θεωρία Χορδών ισχύει.
    Κάπου αλλού όχι.

  5. Σαν φοιτητης πολυτεχνικης σχολης με προβληματισε αρκετα το παραπανω αποτελεσμα και πιστευω οτι το βιντεο του numberphile μπερδευει συγχιζει και προοθει την αντιληψη οτι τα μαθηματικα ειναι ακατανοητα και γεματα αντιφασεις, μη δινοντας σαφεις εξηγησεις. Ειλικρινα πιστευω οτι ειναι πολυ λαθος βιντεο, φτιαγμενο για να εντυπωσιασει τους μη μυημενος στον χωρο. Επισυναπτω ενα αλλο βιντεο που εξηγει και νομιμοποιει το αποτελεσμα, που οντως ειναι μαθηματικα σωστο. Συφωνω και με τους 2 παραπανω σχολιαστες pu2keqiri και Σπυρο. https://www.youtube.com/watch?v=jcKRGpMiVTw

  6. Ναι , προφανώς και ο υπολογισμός που γίνετε είναι λάθος.
    Η Σειρά έχει όριο το + άπειρο.
    Αν η θεωρία των χορδών θεωρεί ότι η σειρά ισούται με -1/12 ,προφανώς
    τ’αποτελέσματα που είναι συνδεδεμένα με την παραπάνω θεωρήση είναι
    και αυτά λάθος.

  7. (Ελπίζω να μην διαγραφή η ανάρτηση που θα κάνω , όπως έγινε με την προηγούμενη.)
    Μπορεί όποιος επιθυμεί να δει τον σύνδεσμο από την βικιπαίδεια.
    https://en.wikipedia.org/wiki/1_%2B_2_%2B_3_%2B_4_%2B_%E2%8B%AF

Σχολιάστε

Εισάγετε τα παρακάτω στοιχεία ή επιλέξτε ένα εικονίδιο για να συνδεθείτε:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

Σύνδεση με %s

Ο ιστότοπος χρησιμοποιεί το Akismet για την εξάλειψη των ανεπιθύμητων σχολίων. Μάθετε πως επεξεργάζονται τα δεδομένα των σχολίων σας.

Αρέσει σε %d bloggers: