Μια κομψή ανισότητα και το δύσκολο θέμα Δ4

Posted on 11/06/2018

0


… στα μαθηματικά των πανελλαδικών εξετάσεων

Ως γνωστόν η εκθετική συνάρτηση γράφεται:

e^{x}=1 + \frac{x}{1!} + \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{3}}{3!} \cdots

Τώρα είναι προφανές από την παραπάνω σχέση ότι (τουλάχιστον για x>0) ισχύουν οι ανισώσεις: e^{x}>1 + x και e^{x}>1 + x + \frac{x^{2}}{2}
Χρησιμοποιώντας την πρώτη ανίσωση μπορούμε να αποδείξουμε εύκολα την κομψή ανισότητα e^{\pi}> \pi^{e}

Μια διαφορετική (και ομορφότερη)απόδειξη μπορεί να βρει κανείς ΕΔΩ: https://arxiv.org/pdf/1806.03163.pdf

Η δεύτερη ανίσωση, e^{x}>1 + x + \frac{x^{2}}{2}, μας βοηθά να λύσουμε πολύ εύκολα και το δυσκολότερο ερώτημα (Δ4) των μαθηματικών που δόθηκε σήμερα στους υποψηφίους των πανελλαδικών εξετάσεων:
Σύμφωνα με το τελευταίο ερώτημα πρέπει αποδείξουμε την μυστηριώδη ανισότητα:

I=\int_{2}^{3} \left(2e^{x-2}-x^{2} \right)\sqrt{x-2} \, dx > -\frac{32}{15}

Αν κάνουμε την αλλαγή μεταβλητής z=x-2 και χρησιμοποιήσουμε την ανίσωση e^{z}>1 + z + \frac{z^{2}}{2} παίρνουμε:
I > \int_{0}^{1} [2(1+z+\frac{z^{2}}{2})-(z+2)^{2} ] z^{1/2} dz = \int_{0}^{1} (-2z^{1/2}-2z^{3/2} ) \, dz =\cdots = -\frac{32}{15}