Μετρώντας τον αριθμό π με ένα απλό εκκρεμές

Posted on 14/10/2017

0


Οι μαθηματικοί διαθέτουν πολλούς τρόπους για τον υπολογισμό του αριθμού π. Συνήθως χρησιμοποιούν σειρές, όπως:
\pi = \frac{4}{1} - \frac{4}{3} + \frac{4}{5} - \frac{4}{7} + \frac{4}{9} - \frac{4}{11}+ \cdots (σειρά Gregory–Leibniz)
\pi =3 + \frac{4}{2 \cdot 3 \cdot 4} - \frac{4}{4 \cdot 5 \cdot 6} + \frac{4}{6 \cdot 7 \cdot 8} \cdots (σειρά Nilakantha)
αλλά και άλλες σειρές που συγκλίνουν πολύ γρηγορότερα (βλέπε εδώ: en.wikipedia.org)

Μια «πειραματική» μέθοδος προσδιορισμού του αριθμού π είναι η χρήση του ορισμού του. Να κατασκευάσουμε έναν κύκλο, να μετρήσουμε το μήκος της διαμέτρου δ και της περιφέρειάς του s. Το πηλίκο s/δ προσεγγίζει τον αριθμό π, ανάλογα με την ακρίβεια των μετρήσεών μας.

Μια δεύτερη πιο εντυπωσιακή πειραματική μέθοδος είναι η βελόνα του Buffon. Χαράσσουμε στο πάτωμα παράλληλες γραμμές που απέχουν απόσταση L μεταξύ τους. Παίρνουμε μια βελόνα μήκους L/2 και την αφήνουμε να πέσει ελεύθερα, με τυχαίο τρόπο, στο πάτωμα. Επαναλαμβάνουμε το πείραμα αρκετές φορές και καταγράφουμε τις περιπτώσεις που η βελόνα τέμνει κάποια γραμμή στο πάτωμα. Αν ν είναι ο αριθμός των δοκιμών και x οι φορές που η βελόνα τέμνει κάποια παράλληλη γραμμή του πατώματος τότε ισχύει: π ≈ ν/x.

Μια τρίτη πειραματική μέθοδος για τον προσδιορισμό του π έρχεται από την φυσική με την χρήση του απλού εκκρεμούς. Η εξίσωση που υπολογίζει τον χρόνο (περίοδος Τ) που απαιτείται για να ολοκληρωθεί μια πλήρης ταλάντωση του απλού εκκρεμούς είναι: T=2 \pi \sqrt{\frac{\ell}{g}} (Υπενθυμίζουμε ότι πρόκειται για μια προσεγγιστική εξίσωση. Η περίοδος του απλού εκκρεμούς εξαρτάται και από το πλάτος της ταλάντωσης)

Αν επιλέξουμε το μήκος του εκκρεμούς ίσο με ℓ=g/4, τότε η περίοδος του εκκρεμούς ισούται με τον αριθμό π!

Αυτό ακριβώς κάνει ο Paul Taylor στο βίντεο που ακολουθεί χρησιμοποιώντας το δικό του p(i)endulum. Μετρώντας την περίοδο του απλού εκκρεμούς μήκους ℓ=g/4, βρήκε ότι π≈3,128, με ένα σφάλμα μικρότερο του 0,433%

Στο επόμενο βίντεο, από το Aperiodical,  παρουσιάζονται αρκετοί τρόποι προσέγγισης του αριθμού π. Ένας εξ’ αυτών είναι διαμέσου της μέτρησης της περιόδου του απλού εκκρεμούς. Εδώ υπολογίστηκε ότι π≈3,13308, με πολύ μικρότερο σφάλμα, περίπου 0,272%.