Πως υπολογίζουμε την περίοδο του απλού εκκρεμούς;

Posted on 05/07/2011

3


Με την εξίσωση που μαθαίνουμε στο σχολείο 

όπου ℓ το μήκος του εκκρεμούς και g η επιτάχυνση της βαρύτητας …. είναι η συνηθισμένη απάντηση….
(νεώτερη ενημέρωση 6/7/2016: το απλό εκκρεμές δεν διδάσκεται πλέον στα ελληνικά λύκεια, αλλά αυτό είναι το μικρότερο κακό, αφού σημαντικότατες θεματικές ενότητες – π.χ. ηλεκτρομαγνητισμός – έχουν εξοστρακιστεί από τη διδακτέα ύλη)

Όμως η εξίσωση αυτή αληθεύει μόνο προσεγγιστικά  – για μικρές γωνίες ταλάντωσης.
Η περίοδος του απλού εκκρεμούς στην πραγματικότητα εξαρτάται από το πλάτος της ταλάντωσης – την αρχική γωνία θο.
Η εξίσωση της περιόδου εξαρτάται από το πλάτος όπως φαίνεται στην παρακάτω εξίσωση


ή σε πιο κλειστή μορφή

Όμως πιο επίσημη έκφραση για την περίοδο του εκκρεμούς είναι η

Όπου το

είναι ένα πλήρες ελλειπτικό ολοκλήρωμα πρώτου είδους.
Οι τιμές του ολοκληρώματος Κ(k2) υπολογίζονται εύκολα. Έστω ότι θέλουμε να υπολογίσουμε την τιμή Κ(0.5), που αντιστοιχεί σε ταλάντωση του εκκρεμούς για αρχική γωνία θο=90o. Αφού μεταβούμε στη διεύθυνση http://www.wolframalpha.com/ γράφουμε στη γραμμή εντολών απλά Κ(0.5) και παίρνουμε την τιμή 1.85407…και η ακριβής περίοδος του εκκρεμούς θα είναι
Τ =2 Το Κ(k2)/ π = 1.1804 Το

Αλλά ακόμη κι αν διαθέτουμε μόνο έναν απλό υπολογιστή τσέπης (!!) μπορούμε να κάνουμε τον υπολογισμό του παραπάνω ολοκληρώματος και της περιόδου του εκκρεμούς ως εξής:

βήμα 1ο : Βρίσκουμε τον αριθμό:

βήμα 2ο : Υπολογίζουμε τον αριθμητικό και τον γεωμετρικό μέσο των αριθμών 1 και a0 . Έτσι προκύπτουν οι αριθμοί:

βήμα 3ο : Υπολογίζουμε πάλι τον αριθμητικό και γεωμετρικό μέσο των αριθμών a1 και b1 οπότε προκύπτουν δυο νέοι αριθμοί

βήμα 4ο : Κάνουμε το ίδιο για τους a2 και b2 , οπότε

 Παρατηρούμε ότι οι αριθμοί συμπίπτουν και δεν έχει νόημα να επαναλάβουμε την διαδικασία (εφόσον θέλουμε ακρίβεια 5 δεκαδικών ψηφίων) διότι θα προκύπτει ο ίδιος αριθμός.
Τελευταίο βήμα: Αντιστρέφουμε την οριακή τιμή που υπολογίστηκε παίρνοντας την τιμή
1/0,847213=1,1804
Που δεν είναι τίποτε άλλο από το πηλίκο Τ / Το !!
Η τελευταία κομψή μέθοδος οφείλεται σε μια όμορφη ιδιότητα των ελλειπτικών ολοκληρωμάτων που πρώτος απέδειξε ο μεγάλος μαθηματικός Κ. F. Gauss.