Πως υπολογίζουμε την περίοδο του απλού εκκρεμούς;

Με την εξίσωση που μαθαίνουμε στο σχολείο 

όπου ℓ το μήκος του εκκρεμούς και g η επιτάχυνση της βαρύτητας …. είναι η συνηθισμένη απάντηση….
(νεώτερη ενημέρωση 6/7/2016: το απλό εκκρεμές δεν διδάσκεται πλέον στα ελληνικά λύκεια, αλλά αυτό είναι το μικρότερο κακό, αφού σημαντικότατες θεματικές ενότητες – π.χ. ηλεκτρομαγνητισμός – έχουν εξοστρακιστεί από τη διδακτέα ύλη)

Όμως η εξίσωση αυτή αληθεύει μόνο προσεγγιστικά  – για μικρές γωνίες ταλάντωσης.
Η περίοδος του απλού εκκρεμούς στην πραγματικότητα εξαρτάται από το πλάτος της ταλάντωσης – την αρχική γωνία θο.
Η εξίσωση της περιόδου εξαρτάται από το πλάτος όπως φαίνεται στην παρακάτω εξίσωση


ή σε πιο κλειστή μορφή

Όμως πιο επίσημη έκφραση για την περίοδο του εκκρεμούς είναι η

Όπου το

είναι ένα πλήρες ελλειπτικό ολοκλήρωμα πρώτου είδους.
Οι τιμές του ολοκληρώματος Κ(k2) υπολογίζονται εύκολα. Έστω ότι θέλουμε να υπολογίσουμε την τιμή Κ(0.5), που αντιστοιχεί σε ταλάντωση του εκκρεμούς για αρχική γωνία θο=90o. Αφού μεταβούμε στη διεύθυνση http://www.wolframalpha.com/ γράφουμε στη γραμμή εντολών απλά Κ(0.5) και παίρνουμε την τιμή 1.85407…και η ακριβής περίοδος του εκκρεμούς θα είναι
Τ =2 Το Κ(k2)/ π = 1.1804 Το

Αλλά ακόμη κι αν διαθέτουμε μόνο έναν απλό υπολογιστή τσέπης (!!) μπορούμε να κάνουμε τον υπολογισμό του παραπάνω ολοκληρώματος και της περιόδου του εκκρεμούς ως εξής:

βήμα 1ο : Βρίσκουμε τον αριθμό:

βήμα 2ο : Υπολογίζουμε τον αριθμητικό και τον γεωμετρικό μέσο των αριθμών 1 και a0 . Έτσι προκύπτουν οι αριθμοί:

βήμα 3ο : Υπολογίζουμε πάλι τον αριθμητικό και γεωμετρικό μέσο των αριθμών a1 και b1 οπότε προκύπτουν δυο νέοι αριθμοί

βήμα 4ο : Κάνουμε το ίδιο για τους a2 και b2 , οπότε

 Παρατηρούμε ότι οι αριθμοί συμπίπτουν και δεν έχει νόημα να επαναλάβουμε την διαδικασία (εφόσον θέλουμε ακρίβεια 5 δεκαδικών ψηφίων) διότι θα προκύπτει ο ίδιος αριθμός.
Τελευταίο βήμα: Αντιστρέφουμε την οριακή τιμή που υπολογίστηκε παίρνοντας την τιμή
1/0,847213=1,1804
Που δεν είναι τίποτε άλλο από το πηλίκο Τ / Το !!
Η τελευταία κομψή μέθοδος οφείλεται σε μια όμορφη ιδιότητα των ελλειπτικών ολοκληρωμάτων που πρώτος απέδειξε ο μεγάλος μαθηματικός Κ. F. Gauss.



Κατηγορίες:ΜΗΧΑΝΙΚΗ, ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ

Ετικέτες:

4 replies

  1. Πολύ ενδιαφέρον!

  2. Πολύ καλή η ανάρτηση,ευχαριστούμε!
    Η λύση της Διαφορικής Εξίσωσης (ΔΕ) ανάλογα με τις αρχικές συνθήκες για μικρές τιμές της γωνίας θ δίνει αυτές τις λύσεις,πράγματι.
    http://www.lecture-notes.co.uk/susskind/classical-mechanics/lecture-5/simple-pendulum/
    Λύση του προβλήματος με χρήση Μηχανικής Lagrange και Hamilton.

    και αναλυτική λύση με χρήση ΔΕ

    Click to access 200_COURSE.pdf

    Είναι λυπηρό πράγματι το ΤΙ ΔΕΝ ΔΙΔΑΣΚΕΤΑΙ ΑΠΟ ΦΥΣΙΚΗ στο σημερινό Λύκειο!
    Κάποτε η Α Λυκείου διδάσκονταν από μηχανική,συμπεριλαμβανομένου του απλού εκκρεμούς, Ηλεκτρικό πεδίο,Μαγνητικό Πεδίο(νόμος Biot-Savart,υπολογισμός μαγνητικού πεδίου σωληνοειδούς κ.α.). Στην Β Λυκείου διδάσκονταν κίνηση σε Μαγνητικό πεδίο,σωλήνες,Πυρηνική-Ατομική Φυσική συν πυρηνικές αντιδράσεις.
    Και αυτά για όλους,όχι για όσους θα ακολουθήσουν κατεύθυνση ή ομάδα προσανατολισμού ή όπως αλλιώς μπορεί κανείς να ονομάσει τον εν λόγω διαχωρισμό των μαθητών.
    Όσο για τη Γ Λυκείου,Κυκλώματα Συνεχούς και Εναλλασσομένου Ρεύματος,χρονοκυκλώματα,Ανάλυση Κυκλωμάτων με Νόμους Kirchoff και έννοιες στη Μηχανική όπως η ώθηση που πλέον δεν διδάσκεται πουθενά στο Λύκειο.
    (Αν κάνω λάθος διορθώστε με….)
    Όσον αφορά την κίνηση σε πεδία με πλάγια και οριζόντια βολή,αυτά μόνο για όσους περάσουν σε τμήματα Φυσικής (Θετικών Επιστημών) ή Πολυτεχνικές σχολές (όχι σε όλες….)
    Αντίστοιχη μείωση έχει επέλθει και στα Μαθηματικά,και την Χημεία….

  3. Το εκκρεμές στην σελ. 48(34)

    Click to access 200_COURSE.pdf

  4. Δηλαδή αν καταλαβαίνω καλά ή περίοδος είναι αδιάφορη του π από τον αρχικό τύπο
    Τ= Τ°*2Κ(Κ^2)/π τα π απλοποιουνται

Σχολιάστε

Εισάγετε τα παρακάτω στοιχεία ή επιλέξτε ένα εικονίδιο για να συνδεθείτε:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

Φωτογραφία Google

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Google. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

Σύνδεση με %s

Ο ιστότοπος χρησιμοποιεί το Akismet για την εξάλειψη των ανεπιθύμητων σχολίων. Μάθετε πως επεξεργάζονται τα δεδομένα των σχολίων σας.

Αρέσει σε %d bloggers: