Το παράδοξο της γάτας του Schrödinger (ΙΙ)

Posted on 22/08/2013

0


Ακολουθεί η συνέχεια της ανάρτησης με τίτλο: «Το παράδοξο της γάτας του Schrödinger (Ι)» που μπορείτε να βρείτε ΕΔΩ

(…) Και για να αναφερθούμε σε ένα «πιο κβαντικό παράδειγμα», ας πούμε ότι το μετρητικό μας όργανο είναι μια συσκευή Stern – Gerlach , με σημείο εξόδου ένα «φωτάκι» που δίνει κόκκινο φως όταν η συσκευή μετράει σπιν πάνω και πράσινο φως όταν μετράει σπιν κάτω.

Εκτός από τη βασική κατάσταση (σβησμένο φως) η συσκευή μας θα έχει ως δυο δυνατές καταστάσεις και τις

|\kappa \dot{o} \kappa \kappa \iota \nu o \, \, \, \phi \omega s \rangle , |\pi \rho \dot{\alpha} \sigma \iota \nu o \, \, \, \phi \omega s \rangle

οπότε όμως – αν επιμείνουμε στην υπόθεση ότι η συσκευή μας είναι ένα κβαντικό σύστημα – και κάθε γραμμικός συνδυασμός τους της μορφής

c_{1} |\kappa \dot{o} \kappa \kappa \iota \nu o \, \, \, \phi \omega s \rangle + c_{2} |\pi \rho \dot{\alpha} \sigma \iota \nu o \, \, \, \phi \omega s \rangle

θα είναι επίσης μια δυνατή κατάσταση αυτής της συσκευής. Το οποίο βέβαια, είναι ένας καθαρός παραλογισμός.

Σκεφτείτε, παραδείγματος χάριν, να σας ρωτάνε αν το φως ενός δωματίου του σπιτιού σας είναι αναμμένο κι εσείς να απαντάτε με απόλυτη φυσικότητα ότι «είναι αναμμένο με πιθανότητα 40% και σβηστό με πιθανότητα 60%»!

Είναι προφανές λοιπόν ότι κάτι δεν πάει καλά, αν θεωρήσουμε και την ίδια τη μετρητική συσκευή ως ένα κβαντικό σύστημα όπως όλα τα άλλα.

Θα μας προκύπτουν επαλληλίες ιδιοκαταστάσεων του μετρητή, από τις οποίες κανένα σοβαρό συμπέρασμα δεν θα μπορεί να συναχθεί.

Υπάρχει μόνο μια δυνατότητα να ξεφύγουμε από αυτό το ενδεχόμενο.

Οι επαλληλίες μετρητικών ιδιοκαταστάσεων της συσκευής να μην προκύπτουν ποτέ από μια πραγματική μετρητική διαδικασία. Το οποίο είναι μάλλον απίθανο να συμβαίνει.

Αντίθετα αυτό που είναι λογικό να περιμένουμε είναι το εξής: Όταν το «εισερχόμενο σωματίδιο βρίσκεται στη μια ή την άλλη από τις μετρητικές ιδιοκαταστάσεις του, | + \rangle ή | - \rangle – σπιν πάνω ή σπιν κάτω – τότε η μετρητική συσκευή θα μεταβαίνει στη μια ή την άλλη από τις μετρητικές ιδιοκαταστάσεις της

|\kappa \dot{o} \kappa \kappa \iota \nu o \, \, \, \phi \omega s \rangle και |\pi \rho \dot{\alpha} \sigma \iota \nu o \, \, \, \phi \omega s \rangle

αντίστοιχα.

Αν όμως η κατάσταση του σπιν του εισερχόμενου σωματιδίου είναι μια κατάσταση επαλληλίας της μορφής

c_{1} | + \rangle + c_{2} | - \rangle : εισερχόμενο σωματίδιο (Α)

τότε είναι λογικό να περιμένουμε ότι και η μετρητική συσκευή θα μεταβεί στην αντίστοιχη κατάσταση επαλληλίας

c_{1} |\kappa \dot{o} \kappa \kappa \iota \nu o \, \, \, \phi \omega s \rangle + c_{2} |\pi \rho \dot{\alpha} \sigma \iota \nu o \, \, \, \phi \omega s \rangle : Μετρητική συσκευή (Β)

Στην πραγματικότητα αυτή η προσδοκία – ότι δηλαδή από την (Α) έπεται η (Β) – είναι κάτι παραπάνω από εύλογη.

Οφείλεται στον γραμμικό χαρακτήρα της εξίσωσης Schrödinger που υποθέτουμε ότι διέπει τη μετρητική διαδικασία προκειμένου να εξετάσουμε τις συνέπειες που απορρέουν από αυτή την υπόθεση.

Σε αυτό το πλαίσιο όποια κι αν είναι η διαδικασία αλληλεπίδρασης μετρούμενου σωματιδίου και μετρητικής συσκευής το σίγουρο είναι ότι η αρχική και η τελική κατάσταση του συστήματος θα συνδέονται με έναν γραμμικό (και μοναδιαίο) τελεστή εξέλιξης U , οπότε είναι αναγκαστικό ότι ένας γραμμικός συνδυασμός «αιτίων» στην είσοδο θα προκαλεί τον αντίστροφο γραμμικό συνδυασμό «αποτελεσμάτων» στην έξοδο.

Αυτός ο συλλογισμός μπορεί όμως να γίνει πιο αυστηρός, ως εξής:

Υποθέστε ότι ακριβώς πριν από την μέτρηση το μετρούμενο σωματίδιο περιγραφόταν από μια ιδιοκατάσταση \psi_{n} του μετρούμενου μεγέθους A (με ιδιοτιμή \alpha_{n} ) ενώ η μετρητική συσκευή βρισκόταν στη βασική της κατάσταση \Phi_{0} που αντιστοιχεί σε μηδενική ένδειξη.

Η κατάσταση του σύνθετου συστήματος (σωματίδιο + μετρητική συσκευή) θα περιγράφεται τότε από το γινόμενο

\Psi_{\alpha \rho \chi \kappa \dot{\eta}} = \psi_{n} \Phi_{0} \, \, \, \, (1)

αφού τα δυο μέρη του συστήματος είναι ανεξάρτητα.

Υπό την επίδραση τώρα της μετρητικής διαδικασίας η (1) θα εξελιχθεί στην τελική κατάσταση

\Psi_{\tau \epsilon \lambda \iota \kappa \dot{\eta}} = \psi_{n} \Phi_{n} \, \, \, \, (2)

όπου η \psi_{n} – σύμφωνα με το μετρητικό αξίωμα – θα μείνει η ίδια, ενώ η \Phi_{n} θα είναι η μετρητική ιδιοκατάσταση της συσκευής που αντιστοιχεί στην ένδειξη \alpha_{n} .

Οι εξισώσεις (1) και (2) συνδέονται με τον τελεστή χρονικής εξέλιξης U του σύνθετου συστήματος (σωματίδιο + συσκευή) και επομένως μπορούμε να γράψουμε

\Psi_{\tau \epsilon \lambda} = U \Psi_{\alpha \rho \chi} \, \, \, \, (3)

η οποία θα ισχύει, βεβαίως για κάθε δυνατή αρχική κατάσταση.

Αν λοιπόν το εισερχόμενο σωματίδιο περιγράφεται από την κατάσταση επαλληλίας

\psi = \displaystyle\sum_{n} c_{n} \psi_{n}

τότε η αρχική κατάσταση του συστήματος θα είναι η

\Psi_{\alpha \rho \chi} = \psi \Phi_{0} = \left( \displaystyle\sum_{n} c_{n} \psi_{n} \right) \Phi_{0} = \displaystyle\sum_{n} c_{n} ( \psi_{n} \Phi_{0})

και η (3) θα δώσει

\Psi_{\tau \epsilon \lambda} = U \left(\displaystyle\sum_{n} c_{n} (\psi_{n} \Phi_{0}\right) = \displaystyle\sum_{n} c_{n} U(\psi_{n} \Phi_{0}) = \displaystyle\sum_{n} c_{n} \psi_{n} \Phi_{n}

όπου βέβαια, χρσηιμοποιήσαμε το βασικό γεγονός ότι ο τελεστής εξέλιξης U είναι γραμμικός.

Στην ειδική περίπτωση που το εισερχόμενο σωματίδιο περιγράφεται από μια επαλληλία δυο μόνο καταστάσεων \psi_{1} και \psi_{2} θα είναι

\Psi_{\alpha \rho \chi} = (c_{1} \psi_{1} + c_{2} \psi_{2}) \Phi_{0} \, \, \, (4)

και αντίστοιχα

\Psi_{\tau \epsilon \lambda} = c_{1} \psi_{1} \Phi_{1}+ c_{2} \psi_{2} \Phi_{2} \, \, \, (5)

Το αποτέλεσμα είναι αυτό που είχαμε προβλέψει και πριν, με μόνη «διόρθωση» ότι τώρα γίναμε ακριβέστεροι όσον αφορά την περιγραφή του σύνθετου συστήματος σωματίδιο + συσκευή.

Το σίγουρο είναι ότι στην τελική κατάσταση (5) η συσκευή εμφανίζεται σε μια επαλληλία μετρητικών ιδιοκαταστάσεων \Phi_{1} και \Phi_{2} , με όλες τις παράλογες συνέπειες που απορρέουν από αυτό.

Όσο για το παράδοξο της γάτας του Schrödinger – της πιο διάσημης γάτας στον κόσμο – αυτό δεν είναι παρά μια μελοδραματική σκηνοθεσία στο παράλογο της κβαντικής επαλληλίας σε μακροσκοπικά αντικείμενα.

Αλλάξτε λοιπόν την έξοδο της προηγούμενης συσκευής μας ως εξής: Αντί για κόκκινο και πράσινο φωτάκι θεωρήστε ότι συντελείται η ακόλουθη διαδικασία εγγραφής του αποτελέσματος.

quanto003Αν το σωματίδιο εισέλθει στη συσκευή Stern-Gerlach ας πούμε με σπιν κάτω, οπότε θα εξέλθει από την αντίστοιχη έξοδο, τότε ενεργοποιείται μια χημική αντίδραση που παράγει υδροκυάνιο και σκοτώνει τη γάτα που βρίσκεται εκεί ως μέρος της συσκευής.

Αν όμως το σωματίδιο εισέλθει με σπιν πάνω, οπότε θα εξέλθει από την πάνω έξοδο της συσκευής, τότε ουδεμία αντίδραση ενεργοποιείται και η γάτα παραμένει σώα και υγιής.

Αυτά όταν το σωματίδιο βρίσκεται στη μια ή την άλλη από τις δυο ιδιοκαταστάσεις καθορισμένης προβολής του σπιν του κατά τον άξονα της συσκευής, έστω τον άξονα z.

Τι γίνεται όμως όταν το εισερχόμενο σωματίδιο βρίσκεται σε μια κατάσταση επαλληλίας όπως παραδείγματος χάριν την

\frac{1}{\sqrt{2}} | + \rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} | - \rangle \, \, \, (6)

(η οποία μάλιστα εμφανίζεται τελείως φυσιολογικά αν προηγουμένως το σωματίδιο έχει περάσει από μια συσκευή Stern – Gerlach κατά τον άξονα x – δηλαδή μια συσκευή SGx – και έχει βρεθεί με σπιν «πάνω» κατ’ αυτόν τον άξονα.)

Σύμφωνα με τα προηγούμενα η «είσοδος» μιας καταστάσεως σαν την (6) θα φέρει τη μετρητική συσκευή (SGx + γάτα) στην αντίστοιχη κατάσταση επαλληλίας

\frac{1}{\sqrt{2}}|\nu \epsilon \kappa \rho \dot{\eta} \, \, \, \gamma \dot{\alpha} \tau \alpha \rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} |\zeta \omega \nu \tau \alpha \nu \dot{\eta} \, \, \, \gamma \dot{\alpha} \tau \alpha \rangle

στην οποία το … ταλαίπωρο ζώο είναι κατά 50% ζωντανό και κατά 50% νεκρό!

Δηλαδή, στην πραγματικότητα, δεν ξέρει ούτε το ίδιο τι είναι, εκτός κι αν κάποιος ανοίξει το κουτί μέσα στο οποίο είναι κλεισμένο όλο το μετρητικό όργανο – SG + γάτα – και διαπιστώσει τι συμβαίνει.

Απαιτείται με άλλα λόγια – προκειμένου να καταλήξουμε σε ένα σαφές αποτέλεσμα για το σπιν του σωματιδίου – να εγκαταλείψουμε την κβαντική μας συσκευή (και ιδίως την κβαντική μας γάτα (!)) και να προσφύγουμε σε ένα καθαρό κλασικό μετρητικό όργανο (που μπορεί να είναι ο ίδιος ο ανθρώπινος παρατηρητής) ώστε να αποφύγουμε τις κβαντικές επαλληλίες και να καταλήξουμε σε συγκεκριμένο αποτέλεσμα.

Επιστρέφουμε δηλαδή εκεί από όπου ξεκινήσαμε: Στη σχολή της Κοπεγχάγης. Την άποψη του Bohr ότι η κβαντική μέτρηση έχει νόημα μόνο αν υποτεθεί εξαρχής η ύπαρξη καθαρά κλασικών συστημάτων, που δεν υπόκεινται στην αρχή της επαλληλίας, και τα οποία μπορούν να λειτουργήσουν έτσι ως μετρητικά όργανα ικανά να δίνουν πάντα αναμφίβολα αποτελέσματα.

Με άλλα λόγια, η κατά Bohr κβαντομηχανική – δηλαδή η κβαντομηχανική που όλοι μαθαίνουμε – προϋποθέτει για την ερμηνεία της την ύπαρξη του κλασικού της ορίου. Χωρίς αυτό το όριο δεν έχει νόημα.

Είναι μια κάπως περίεργη προϋπόθεση αυτή – για να ερμηνεύσω … τον εαυτό μου χρειάζομαι το όριο του εαυτού μου (!) – που όμως δεν συναντά καμιά δυσκολία να εκπληρωθεί στον πραγματικό κόσμο των μικροσκοπικών μας αισθήσεων. Όπου κανείς μας δεν αξιώθηκε ποτέ να δει, έστω και μια, κβαντική γάτα!

ΠΗΓΗ: Στέφανος Τραχανάς, ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ (ΠΕΚ)

Ετικέτα: