Το παράδοξο της γάτας του Schrödinger (Ι)

Posted on 18/08/2013

0


Πριν από λίγες μέρες, ακριβώς 126 χρόνια από την γέννηση του Erwin Schrödinger, η Google αφιέρωσε το λογότυπό της (doodle), στο παράδοξο της γάτας του Schrödinger.

O Erwin Schrödinger μετά την διατύπωση της υπόθεσης των υλικών κυμάτων από τον de Broglie, έδωσε υπόσταση στον κυματοσωματιδιακό δυϊσμό της ύλης, διατυπώνοντας την περίφημη εξίσωση που φέρει το όνομά του. Είναι γεγονός πως ο Schrödinger θεωρούσε παρατραβηγμένη την κυματική εξίσωση που ανακάλυψε ο ίδιος και για να την «καταρρίψει» σχεδίασε το περίφημο πείραμα με τη γάτα.

Το σκηνικό του πειράματος:
Μια γάτα κλεισμένη σε ένα κουτί, μέσα στο οποίο υπάρχει μια φιάλη που περιέχει θανατηφόρο αέριο συνδεδεμένη με έναν απαριθμητή Geiger, δίπλα στον οποίο υπάρχει μια ραδιενεργή πηγή.

Η διάσπαση ενός ραδιενεργού πυρήνα είναι κβαντικό φαινόμενο, που είναι αδύνατον να προβλεφθεί.

Έστω ότι υπάρχει 50% πιθανότητα στο επόμενο λεπτό να διασπαστεί ένας ραδιενεργός πυρήνας. Η διάσπαση θα ενεργοποιούσε τον απαριθμητή Geiger, ο οποίος με τη σειρά του θα έθετε σε κίνηση το σφυρί, το μπουκάλι θα έσπαγε και το δηλητηριώδες αέριο θα σκότωνε τη γάτα!

Εφόσον δεν έχουμε ανοίξει το κουτί, σύμφωνα με την κβαντομηχανική η κατάσταση της γάτας είναι μια υπέρθεση των δυο δυνατών καταστάσεων: είναι ταυτόχρονα και ζωντανή και νεκρή. Ανοίγοντας το κουτί και παρατηρώντας στο εσωτερικό του, καταρρέει η κυματοσυνάρτηση που περιγράφει τη γάτα, και βλέπουμε τη γάτα στη μια από τις δυο δυνατές καταστάσεις της: ή ζωντανή ή νεκρή. cat1cat2Το παράλογο για τον Schrödinger (και όχι μόνο γι αυτόν) ήταν πως δεν γίνεται να θεωρούμε τη γάτα συγχρόνως και ζωντανή και νεκρή μόνο και μόνο επειδή δεν έχουμε ανοίξει το κουτί. (Ο Einstein που δεν παραδεχόταν την κβαντική φυσική έλεγε: Κοιτάξτε το φεγγάρι. Πιστεύετε πως αποκτά υπόσταση όταν το παρατηρεί ένα ποντίκι;)

Τελικά υπάρχει παράλογο;

Ας δούμε πως αναλύεται το παράδοξο της γάτας του Schrödinger στο βιβλίο του Στέφανου Τραχανά, ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ (ΠΕΚ):

(…) Η ιδιαιτερότητα της μετρητικής διαδικασίας στην κβαντομηχανική είναι γνωστή και χαρακτηρίζεται από ένα χωριστό αξίωμα, την αρχή του φιλτραρίσματος:

Το αξίωμα της μέτρησης: Οποιαδήποτε κι αν ήταν η κατάστασή ενός συστήματος πριν από μια μέτρηση, η κατάστασή του μετά τη μέτρηση θα περιγράφεται από την ιδιοσυνάρτηση που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή που μετρήθηκε.

Η αρχή του φιλτραρίσματος αποδίδεται συχνά και με τους όρους αναγωγή ή κατάρρευση της κυματοσυνάρτησης (wavefunction reduction ή wavefunction collapse) διότι αυτό όντως είναι το χαρακτηριστικό της κβαντικής μέτρησης ως φυσικής διαδικασίας.

Η κυματοσυνάρτηση καταρρέει στην ιδιοσυνάρτηση της ιδιοτιμής που μετρήθηκε. Και με αυτό τον τρόπο διασφαλίζεται αυτόματα ότι μια δεύτερη μέτρηση – πάνω στην κατάσταση που προέκυψε από την πρώτη – θα επιβεβαιώσει το αρχικό αποτέλεσμα με πιθανότητα 100%.

Στην μετρητική διαδικασία φαίνεται να συμπυκνώνονται όλα τα παράδοξα και αντιαισθητικά χαρακτηριστικά της κβαντικής συμπεριφοράς, όπως: την ακραία μη τοπικότητα – που αποτυπώνεται με τον πιο εντυπωσιακό τρόπο στο παράδοξο EPR – και την αδυναμία εφαρμογής της εξισώσεως Schrödinger στην ίδια την μετρητική διαδικασία, που δραματοποιείται με το περίφημο παράδοξο της γάτας του Schrödinger.(…)

Ισχύει η κβαντομηχανική για τη μετρητική διαδικασία; Το παράδοξο της γάτας του Schrödinger

Το παράδοξο της γάτας του Schrödinger αναφύεται αν αρχίσουμε να διερωτόμαστε κατά πόσον η κβαντομηχανική μπορεί να εφαρμοστεί στην ίδια τη διαδικασία της μέτρησης ώστε ένα φαινόμενο τόσο ιδιάζον όσο η κατάρρευση της κυματοσυνάρτησης να είναι δυνατόν αν μελετηθεί ως μια φυσική διαδικασία όπως όλες οι άλλες.

Σημειώστε καταρχάς ότι στο πλαίσιο της κλασικής φυσικής ένα τέτοιο ερώτημα – το αν οι φυσικοί νόμοι είναι εφαρμόσιμοι στη διαδικασία της μέτρησης – είναι αδιανόητο. Προφανώς και είναι εφαρμόσιμοι. Και αυτούς βεβαίως εφαρμόζουμε προκειμένου να αναλύσουμε τι συμβαίνει σε ένα πείραμα και τι ακριβώς μετράει η συσκευή μας.

Η μέτρηση της θερμοκρασίας ενός σώματος – με τη χρήση ενός συμβατικού θερμομέτρου – είναι ένα αντιπροσωπευτικό παράδειγμα.
Σημειώστε κατ’ αρχάς ότι αυτό που μετράει το θερμόμετρο δεν είναι η αρχική θερμοκρασία του σώματος – δηλαδή αυτή που θέλαμε να μετρήσουμε – αλλά η τελική του θερμοκρασία όπως αυτή διαμορφώνεται μετά την επίτευξη θερμικής ισορροπίας μεταξύ σώματος και θερμομέτρου.

Όμως από την ένδειξη του θερμομέτρου μπορούμε πολύ εύκολα να συναγάγουμε την αρχική θερμοκρασία του σώματος με απλή εφαρμογή στοιχειώδους θερμοδυναμικής – στην πραγματικότητα στοιχειώδους θερμιδομετρίας – αρκεί οι θερμοχωρητικότητες σώματος και θερμομέτρου να μας είναι γνωστές.

Στην πράξη, βέβαια, ένας τέτοιος υπολογισμός δεν είναι συνήθως αναγκαίος διότι το θερμόμετρο είναι πολύ μικρό σε σύγκριση με το θερμομετρούμενο σώμα και η επίδρασή του πάνω στην αρχική θερμοκρασία του μπορεί αν θεωρηθεί αμελητέα. Η κατάσταση στη κβαντομηχανική είναι ριζικά διαφορετική.

Σύμφωνα με την καθιερωμένη ερμηνεία της, η μετρητική διαδικασία είναι θεμελιωδώς πιθανοκρατική και ουδείς μπορεί να προβλέψει ποια από τις ιδιοτιμές του μετρούμενου μεγέθους θα εμφανιστεί στην οθόνη της συσκευής μας σε μια συγκεκριμένη μέτρηση.

Η αρχική κυματοσυνάρτηση \psi σίγουρα θα καταρρεύσει σε μια από τις ιδιοσυναρτήσεις | \psi_{n} \rangle αυτού του μεγέθους αλλά σε ποια από αυτές και με ποιόν τρόπο είναι αδύνατο να το γνωρίζουμε για οποιοδήποτε συγκεκριμένο πείραμα.

Απλώς, αν το πείραμα επαναληφθεί πολλές φορές – για την ίδια αρχική κατάσταση – μπορούμε να είμαστε σίγουροι εκ των προτέρων ότι οι συχνότητες εμφάνισης των διαφόρων ιδιοτιμών του μεγέθους θα δίνονται από τον γνωστό τύπο f_{n} \rightarrow P_{n} = |\langle \psi_{n} | \psi \rangle |^{2} .

Το συμπέρασμα είναι σαφές: Μέσα στο πλαίσιο της καθιερωμένης ερμηνείας της κβαντομηχανικής , η ίδια η μετρητική διαδικασία δεν υπόκειται στον βασικό νόμο της θεωρίας• την εξίσωση Schrödinger. Η μέτρηση διέπεται από τον δικό της νόμο: Την αρχή του φιλτραρίσματος ή την αρχή της κατάρρευσης της κυματοσυνάρτησης.

Όμως παρότι λογικά αναγκαίος στο πλαίσιο της στατιστικής ερμηνείας, αυτός ο διαχωρισμός της μέτρησης απ’ όλες τις άλλες φυσικές διαδικασίες δεν είναι από τα πράγματα που μπορούν να γίνουν αποδεκτά χωρίς … αντίσταση.

Σε αυτό το πνεύμα, ήδη από την εποχή του Schrödinger, μετρητική διαδικασία έχει γίνει αντικείμενο εκτεταμένης συζήτησης συχνά με στοιχεία έντονης πολεμικής. Μια σύντομη εισαγωγή σ’ αυτή τη συζήτηση σκοπεύουμε να παρουσιάσουμε τώρα.

Το πρώτο προφανές βήμα είναι να εξετάσουμε τι μπορεί να συμβαίνει αν αποσύρουμε τη βασική παραδοχή του Bohr ότι η μετρητική συσκευή πρέπει να είναι ένα κλασικό αντικείμενο και υποθέσουμε ότι μπορούν να εφαρμοστούν και γι’ αυτήν οι καθαυτό κβαντικοί νόμοι και όχι απλώς η οριακή τους μορφή ως κλασική φυσική.

Τα προβλήματα που ανακύπτουν τότε, γίνονται αμέσως φανερά αν εφαρμόσουμε και για την μετρητική συσκευή τη θεμελιώδη κβαντική αρχή της επαλληλίας (ή υπέρθεσης) των καταστάσεων, σύμφωνα με την οποία:
Αν \psi_{1} και \psi_{2} είναι δυο πραγματοποιήσιμες καταστάσεις ενός κβαντομηχανικού συστήματος, τότε και κάθε γραμμικός τους συνδυασμός c_{1} \psi_{1} + c_{2} \psi_{2} θα είναι επίσης μια πραγματοποιήσιμη κατάσταση αυτού του συστήματος.

Αν λοιπόν υποθέσουμε ότι η μετρητική μας συσκευή είναι και αυτή ένα κβαντικό σύστημα, τότε για κάθε ζεύγος πραγματοποιήσιμων καταστάσεων της, \Phi_{1} και \Phi_{2} , θα είναι επίσης πραγματοποιήσιμη κατάσταση και κάθε επαλληλία τους της μορφής \Phi = c_{1} \Phi_{1} + c_{2} \Phi_{2}

Και εδώ αρχίζουν τα προβλήματα. Αν η συσκευή μας πρόκειται να λειτουργήσει ως μετρητής, τότε οι ενδείξεις της – που αντιστοιχούν, βεβαίως, σε διάφορες κβαντικές καταστάσεις της – θα πρέπει να είναι απολύτως σαφείς (π.χ. ιδιοκαταστάσεις κάποιου μετρητικού τελεστή) και σίγουρα όχι καταστάσεις επαλληλίας στις οποίες η κατάσταση μπορεί να βρίσκεται ταυτόχρονα στην κατάσταση με ένδειξη 1 και στην κατάσταση με ένδειξη 2.

Ένα αμπερόμετρο, παραδείγματος χάριν, μπορεί να δείξει, ας πούμε, ένα ampere αλλά δεν έχει προφανώς κανένα νόημα να πούμε ότι βρίσκεται στην κατάσταση επαλληλίας \frac{1}{\sqrt{3}} \, |1 \, \, ampere \rangle + \sqrt{ \frac{2}{3}} \, |5 \, \, ampere \rangle και επομένως δείχνει 1 ampere και 5 ampere ταυτόχρονα με πιθανότητες 1/3 και 2/3 αντίστοιχα!

……..(συνεχίζεται ΕΔΩ)

Ετικέτα: