Γιατί η εξίσωση x=Asin(ωt+φ) είναι η γενική λύση της διαφορικής εξίσωσης που περιγράφει την απλή αρμονική ταλάντωση

Η πιο συνηθισμένη διαφορική εξίσωση στη Φυσική κρύβεται πίσω από τον 2^ο νόμο του Newton

ΣF = m α(t)  ή  ΣF = m d²x(t)/dt²  = m x´´(t)

Ανάλογα με το είδος της συνισταμένης δύναμης που δέχεται μια μάζα καθορίζεται και το είδος της κίνησης της μάζας ,δηλ. η μετατόπιση της μάζας συναρτήσει του χρόνου, x=x(t).
Στην περίπτωση που η συνισταμένη δύναμη είναι της μορφής ΣF = – Dx , όπου D σταθερά, λέμε ότι η μάζα εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση.
Από τον 2^ο νόμο Newton προκύπτει, m d²x(t)/dt² + D x(t) = 0  ή

x´´(t) + ω₀² x(t)=0                          (1)

όπου η σταθερά ω₀ = √(D/m) ονομάζεται ιδιοσυχνότητα. Στη συνέχεια θα δούμε πως λύνεται η εξίσωση (1).

Οι διαφορικές εξισώσεις που έχουν την μορφή της εξίσωσης (1) περιγράφουν την κίνηση της απλής αρμονικής ταλάντωσης και ανήκουν στην κατηγορία των ομογενών διαφορικών εξισώσεων δεύτερης τάξης με σταθερούς συντελεστές.
Η επίλυση τους πραγματοποιείται αν θεωρήσουμε ως λύση τη συνάρτηση: x(t)=e^ρt
Aντικαθιστώντας στην εξ.(1) προκύπτει η εξίσωση που προσδιορίζει την παράμετρο ρ

ρ²+ω₀²=0

Η εξίσωση αυτή ονομάζεται χαρακτηριστική και έχει ρίζες ρ_1,2=±i ω₀ 
Έτσι, η γενική λύση της εξ. (1) είναι ο γραμμικός συνδυασμός

x(t)=C₁e^+iω₀t+ C₂e^-iω₀t                            (2)

όπου C₁, C₂ σταθερές που προσδιορίζονται από τις αρχικές συνθήκες.
Αντικαθιστώντας στην γενική λύση (2) τις εκφράσεις

e^+iω₀t=cosω₀t + i sinω₀t

και

 e^-iω₀t=cosω₀t – i sinω₀t

προκύπτει η μορφή

x(t) = (C₁ + C₂)cosω₀t + i (C₁ – C₂)sinω₀t               (3)

Παραγωγίζοντας την εξ. (3) παίρνουμε

x´(t) = –ω₀(C₁ + C₂)sinω₀t + i (C₁ – C₂)ω₀cosω₀t    (4)

Οι τελευταίες δυο εξισώσεις για t=0 δίνουν:

x(0)= C₁+C₂    και   C₁-C₂=x´(0)/iω₀

Αντικαθιστώντας τις παραπάνω εξισώσεις στην εξ. (3) έχουμε

x(t)=x(0)cosω₀t + {x´(0)/ω₀}sinω₀t

ή αν συμβολίσουμε τις αρχικές συνθήκες με

x(0)=x₀ και x´(0)=υ(0)=υ₀

παίρνουμε:

x(t)=x₀cosω₀t + {υ₀/ω₀}sinω₀t                 (5)

Για να έχουμε την γενική λύση σε πιο κλειστή μορφή θέτουμε tanφ=ω₀x₀/υ₀  και χρησιμοποιώντας γνωστές τριγωνομετρικές ταυτότητες παίρνουμε:

όπου η ποσότητα

ονομάζεται πλάτος της ταλάντωσης και η ποσότητα φ αρχική φάση.

Κατηγορίες:ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ, ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ

Ετικέτες: ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ, ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ, PHYSICS