Η γενική λύση της απλής αρμονικής ταλάντωσης

Posted on 11/12/2012

0


Γιατί η εξίσωση x=Asin(ωt+φ) είναι η γενική λύση της διαφορικής εξίσωσης που περιγράφει την απλή αρμονική ταλάντωση

Simple_harmonic_oscillatorΗ πιο συνηθισμένη διαφορική εξίσωση στη Φυσική κρύβεται πίσω από τον 2ο νόμο του Newton

ΣF = m α(t)  ή  ΣF = m d2x(t)/dt2  = m x´´(t)

Ανάλογα με το είδος της συνισταμένης δύναμης που δέχεται μια μάζα καθορίζεται και το είδος της κίνησης της μάζας ,δηλ. η μετατόπιση της μάζας συναρτήσει του χρόνου, x=x(t).
Στην περίπτωση που η συνισταμένη δύναμη είναι της μορφής ΣF = – Dx , όπου D σταθερά, λέμε ότι η μάζα εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση.
Από τον 2ο νόμο Newton προκύπτει, m d2x(t)/dt2 + D x(t) = 0  ή

x´´(t) + ω02 x(t)=0                          (1)

όπου η σταθερά ω0 = √(D/m) ονομάζεται ιδιοσυχνότητα. Στη συνέχεια θα δούμε πως λύνεται η εξίσωση (1).

Οι διαφορικές εξισώσεις που έχουν την μορφή της εξίσωσης (1) περιγράφουν την κίνηση της απλής αρμονικής ταλάντωσης και ανήκουν στην κατηγορία των ομογενών διαφορικών εξισώσεων δεύτερης τάξης με σταθερούς συντελεστές.
Η επίλυση τους πραγματοποιείται αν θεωρήσουμε ως λύση τη συνάρτηση: x(t)=eρt
Aντικαθιστώντας στην εξ.(1) προκύπτει η εξίσωση που προσδιορίζει την παράμετρο ρ

ρ202=0

Η εξίσωση αυτή ονομάζεται χαρακτηριστική και έχει ρίζες ρ1,2=±i ω0 
Έτσι, η γενική λύση της εξ. (1) είναι ο γραμμικός συνδυασμός

x(t)=C1e+iω0t+ C2e-iω0t                            (2)

όπου C1, C2 σταθερές που προσδιορίζονται από τις αρχικές συνθήκες.
Αντικαθιστώντας στην γενική λύση (2) τις εκφράσεις

e+iω0t=cosω0t + i sinω0t

και

 e-iω0t=cosω0t – i sinω0t

προκύπτει η μορφή

x(t) = (C1 + C2)cosω0t + i (C1 – C2)sinω0t               (3)

Παραγωγίζοντας την εξ. (3) παίρνουμε

x´(t) = –ω0(C1 + C2)sinω0t + i (C1 – C2)ω0cosω0t    (4)

Οι τελευταίες δυο εξισώσεις για t=0 δίνουν:

x(0)= C1+C2    και   C1-C2=x´(0)/iω0

Αντικαθιστώντας τις παραπάνω εξισώσεις στην εξ. (3) έχουμε

x(t)=x(0)cosω0t + {x´(0)/ω0}sinω0t

ή αν συμβολίσουμε τις αρχικές συνθήκες με

x(0)=x0 και x´(0)=υ(0)=υ0

παίρνουμε:

x(t)=x0cosω0t + {υ00}sinω0t                 (5)

Για να έχουμε την γενική λύση σε πιο κλειστή μορφή θέτουμε tanφ=ω0x00  και χρησιμοποιώντας γνωστές τριγωνομετρικές ταυτότητες παίρνουμε:
solution
όπου η ποσότητα
platos
ονομάζεται πλάτος της ταλάντωσης και η ποσότητα φ αρχική φάση.