Αρχική › ΜΗΧΑΝΙΚΗ › Ταχύτερα από την ελεύθερη πτώση

Ταχύτερα από την ελεύθερη πτώση

By on • ( 1 )

Με μια πρώτη ματιά, το πείραμα που βλέπουμε στο βίντεο φαίνεται να παραβιάζει ένα από τα πιο οικεία φαινόμενα: πώς είναι δυνατόν κάτι να πέφτει γρηγορότερα από ό,τι επιτρέπει η βαρύτητα;

Το κεκλιμένο επίπεδο πέφτει γρηγορότερα από το σφαιρίδιο που βρίκεται στην κορυφή του κεκλιμένου επιπέδου

Η απάντηση είναι ότι δεν υπάρχει καμία παραβίαση. Στο φαινόμενο υπεισέρχεται η κίνηση ενός στερεού σώματος, η οποία δεν είναι ελεύθερη πτώση. Στη συνέχεια θα το εξετάσουμε λίγο πιο αναλυτικά.

Συμβολίζουμε με M την μάζα του κεκλιμένου επιπέδου (μια ομογενής ράβδος), L το μήκος της, \theta τη γωνία που σχηματίζει με το οριζόντιο επίπεδο και g την επιτάχυνση της βαρύτητας. Σύμφωνα με τον 2ο νόμο του Νεύτωνα για τη στροφική κίνηση: \tau = I \alpha_{\gamma}.
Η ροπή του βάρους ως προς τον άξονα περιστροφής είναι: \tau = Mg\frac{L}{2}\cos\theta και η ροπή αδράνειας ομογενούς ράβδου ως προς το άκρο της: I = \frac{1}{3}ML^2.
Άρα: Mg\frac{L}{2}\cos\theta = \frac{1}{3}ML^2 \alpha_{\gamma} οπότε: \alpha_{\gamma} = \dfrac{3g\cos\theta}{2L}.
Μας ενδιαφέρει η κίνηση του ελεύθερου άκρου της ράβδου. Το σημείο αυτό εκτελεί κυκλική κίνηση και η επιτάχυνσή του έχει δυο συνιστώσες, την εφαπτομενική (επιτρόχιο) και την κεντρομόλο.
Η εφαπτομενική επιτάχυνση είναι: a_{\epsilon} = \alpha_{\gamma} L = \frac{3}{2} g \cos\theta και η κατακόρυφη συνιστώσα της: (a_{\epsilon})_y = \frac{3}{2} g \cos^2\theta. Η κεντρομόλος επιτάχυνση είναι: a_r = \omega^2 L και η κατακόρυφη συνιστώσα της είναι: (a_r)_y = \omega^2 L \sin\theta. Επομένως συνολικά έχουμε: a_y = \frac{3}{2} g \cos^2\theta + \omega^2 L \sin\theta.
Tην χρονική στιγμή που αφήνουμε τη ράβδο, ισχύει \omega = 0, και a_y(0) = \frac{3}{2} g \cos^2\theta.
Για να είναι αυτή η στιγμιαία κατακόρυφη επιτάχυνση μεγαλύτερη από g, απαιτείται: \frac{3}{2} g \cos^2\theta > g ή: \cos^2\theta > \frac{2}{3} οπότε: \cos\theta > \sqrt{\frac{2}{3}} \approx 0{,}816 δηλαδή \theta < 35{,}3^\circ. Αυτό σημαίνει ότι, αν αφήσουμε τη ράβδο από γωνία μικρότερη των 35,3ο, τότε την στιγμή της απελευθέρωσης το άκρο της έχει κατακόρυφη επιτάχυνση μεγαλύτερη από g.

Τελικά, το άκρο της ράβδου μπορεί να πέφτει ταχύτερα από το σφαιρίδιο που εκτελεί ελεύθερη πτώση για αρχικές γωνίες μικρότερες των 35,3ο, επειδή η κίνησή του δεν είναι ελεύθερη αλλά καθορίζεται από την περιστροφή της ράβδου. Ως αποτέλεσμα της στροφικής δυναμικής, φτάνει σε χαμηλότερες θέσεις νωρίτερα από το σφαιρίδιο, χωρίς να παραβιάζεται καμία θεμελιώδης αρχή της φυσικής.

πηγή: https://twitter.com/Scivf4/status/2068915647833051631

‹

Κατηγορίες:ΜΗΧΑΝΙΚΗ

Ετικέτες: , ,

1 reply

  1. George Metaxas's avatar
    George Metaxas
    30/06/2026 • 11:39 πμ

    Και ένα σχετικό κουίζ:

    Βρισκόμαστε επάνω σε μία γέφυρα, η οποία έχει από κάτω ομαλό έδαφος. Έχουμε δύο ίδιες αλυσίδες, με το μήκος της κάθε μιας ίσο με το ύψος του παραπέτου της γέφυρας από το έδαφος. Δένουμε την πρώτη αλυσίδα από το ένα άκρο της στο παραπέτο κοντά μας, και το άλλο της άκρο το κρατάμε, έτσι ώστε η αλυσίδα να κρέμεται διπλή στο κενό μέχρι τη μέση προφανώς της απόστασης από το έδαφος. Τη δεύτερη αλυσίδα την κρατάμε από το ένα άκρο της, αλλά την αφήνουμε να κρεμαστεί στο κενό μέχρι η άλλη άκρη της να αγγίξει το έδαφος. Αφήνουμε ταυτόχρονα τα άκρα των δύο αλυσίδων που κρατάμε, να πέσουν. Ποιας αλυσίδα το άκρο που κρατούσαμε θα φτάσει πρώτο στο έδαφος;    ΑΠ. Της πρώτης αλυσίδας, επειδή κάθε κρίκος της φτάνοντας στο κάτω σημείο της κοιλιάς (η οποία φυσικά μετατοπίζεται καθώς η αλυσίδα πέφτει) φρενάρει στο ένα άκρο του, οπότε έχει την τάση να περιστραφεί γύρω από το κέντρο βάρος του «τραβώντας» ουσιαστικά με το άλλο άκρο του προς τα κάτω, το τμήμα της αλυσίδας που εξακολουθεί να πέφτει. Το παρακάτω σχήμα εξηγεί τη δυναμική αυτή, προσομοιάζοντας την κίνηση του κρίκου με μία ράβδο που το ένα της άκρο συναντά πρώτο το έδαφος. Το ενδιαφέρον είναι ότι με αυτόν το τρόπο οι τελευταίοι κρίκοι της πρώτης αλυσίδας πέφτουν με ταχύτητα μεγαλύτερη απ’ αυτήν που αντιστοιχεί στη γήινη επιτάχυνση!

    Reply ↓

Σχολιάστε

Ο ιστότοπος χρησιμοποιεί το Akismet για την εξάλειψη των ανεπιθύμητων σχολίων. Μάθετε πως επεξεργάζονται τα δεδομένα των σχολίων σας.