… δεν έχουμε τίποτα να χάσουμε, παρά μόνο τις αλυσίδες μας!

O πρόγονος των τρομερών προβλημάτων φυσικής με ‘μεταβλητές μάζες’ που βασάνισαν γενιές μαθητών μέχρι σήμερα, ήταν η δημοσίευση με τίτλο ‘On a Class of Dynamical Problems‘ (1857) του μαθηματικού Arthur Cayley, η οποία ξεκινά επισημαίνοντας ότι, υπάρχει μια κλάση προβλημάτων δυναμικής τα οποία, δεν έχουν αντιμετωπιστεί με έναν γενικό τρόπο. Αναφέρει ως παράδειγμα τέτοιου προβλήματος όταν ένα τμήμα μιας αλυσίδας κρέμεται από την άκρη ενός τραπεζιού, ενώ το υπόλοιπο της αλυσίδας απλώνεται ή συσσωρεύεται κοντά στην άκρη του τραπεζιού, με τέτοιο τρόπο ώστε να μην είναι τεντωμένο.

Το πρόβλημα που εξετάζει ο Cayley είναι λίγο διαφορετικό σε σχέση με τα κλασικά προβλήματα των αλυσίδων που κυκλοφορούν σε διάφορα βιβλία, όπως για παράδειγμα η άσκηση της παρακάτω εικόνας:

Στο πρόβλημα αυτό ολόκληρη αλυσίδα κινείται συνεχώς με την ίδια ταχύτητα και επιτάχυνση (θεωρούμε τα μέτρα αυτών των μεγεθών). Θα κάνουμε τα στραβά μάτια, αγνοώντας το παράδοξο που εμφανίζεται στην κόχη του τραπεζιού, καθώς οι ταχύτητες των στοιχειωδών τμημάτων της αλυσίσας αλλάζουν απότομα κατεύθυνση, και θα υπολογίσουμε την επιτάχυνση της αλυσίδας. Θεωρούμε ότι η αλυσίδα μάζας Μ και μήκους L είναι ομογενής με γραμμική πυκνότητα λ, και ότι την χρονική στιγμή t=0 που αφήνεται ελεύθερη να κινηθεί με υ(0)=x'(0)=0, ένα τμήμα της μήκους x(0)=ℓ₀ κρέμεται κατακόρυφα.

Στην περίπτωση αυτή ισχύει: Μ∙dυ/dt=m(x)g, όπου x=x(t) και m(x)=λ∙x(t)=M∙x(t)/L, το μήκος και η μάζα της αλυσίδας που κρέμεται κατακόρυφα. Έτσι προκύπτει ότι η επιτάχυνση της αλυσίδας είναι:

Παρατηρείστε ότι η επιτάχυνση είναι συνεχώς μικρότερη της επιτάχυσνης της βαρύτητας και γίνεται ίση με αυτή όταν και ο τελευταίος κρίκος της αλυδίδας εγκαταλείψει το τραπέζι (x=L). Ας σημειωθεί ότι στο πρόβλημα αυτό μπορούμε να υπολογίσουμε την ταχύτητα της αλυσίδας είτε λύνοντας την διαφορική εξίσωση είτε εφαρμόζοντας την αρχή διατήρησης της μηχανικής ενέργειας. Και με τους δυο τρόπους βρίσκουμε το ίδιο αποτέλεσμα.

Όταν κατά την πτώση της αλυσίδας δεν διατηρείται η μηχανική ενέργεια

Tι συμβαίνει στο πρόβλημα που μελέτησε ο Cayley το 1857; Εκεί το τμήμα της αλυσίδας που βρίσκεται στο τραπέζι δεν κινείται. Ο κάθε κρίκος αποκτά επιτάχυνση μόλις έλθει η σειρά του να εγκαταλείψει το τραπέζι. Ένα (ίσως όχι και τόσο επιτυχημένο παράδειγμα) είναι να φανταστούμε ότι αρχικά οι συνδέσεις μεταξύ των κρίκων της αλυσίδας όταν βρίσκεται πάνω στο τραπέζι είναι χαλαρές, και τεντώνονται μόλις ο έρχεται η σειρά του κάθε κρίκου να εγκαταλείψει το τραπέζι, όπως στο σχήμα:

Σε μια τέτοια περίπτωση δεν επιταχύνεται συλλογικά όλη μάζα της αλυσίδας οπότε την χρονική στιγμή που το κατακόρυφο τμήμα της αλυσίδας είναι x(t), ισχύει: [m(t)∙υ(t)]’=λ∙x(t)∙g ή (x∙x’)’=x∙g. Θέτοντας y=x∙x’, παίρνουμε y’=g∙x ή x’∙dy/dx=g∙x και x∙x’∙dy/dx=g∙x², οπότε καταλήγουμε στην gx²dx=ydy. Ολοκληρώνοντας για αρχικές συνθήκες x'(0)=0 και x(0)=ℓ₀ παίρνουμε (x’)²=(2g/3)∙(x-ℓ₀³/x²). Παραγωγίζοντας την τελευταία εξίσωση παίρνουμε μετά από κάποιες πράξεις:

Παρατηρούμε ότι την χρονική στιγμή t=0, όταν x=ℓ₀, προκύπτει α=g και στη συνέχεια η επιτάχυνση τείνει προς την τιμή g/3 (μια τιμή που αναφέρει και ο Cayley στην δημοσίευση του 1857, αλλά την προσδιορίζει με ‘θολό’ τρόπο). Ας σημειωθεί ότι αποδεικνύται ‘εύκολα’ πως σ’ αυτή την περίπτωση ΔΕΝ η ισχύει η διατήρηση της μηχανικής ενέργειας, όπως στο αρχικό πρόβλημα. Προφανώς όταν τεντώνονται οι συνδέσεις μεταξύ των κρίκων παράγεται θερμική ενέργεια, όπως στις ανελαστικές κρούσεις.

Όταν στην ελεύθερη πτώση αλυσίδας έχουμε επιτάχυνση μεγαλύτερη του g

Όμως υπάρχει άλλο ένα σχετικό πρόβλημα το οποία μάλιστα μπορεί να πραγματοποιηθεί εύκολα πειραματικά. Θεωρούμε μια διπλωμένη αλυσίσα όπως στο σχήμα:

Αρχικά είναι στερωμένα και τα δύο άκρα της αλυσίδας και στη συνέχεια αφήνεται ελεύθερο το ένα. Θα περίμενε κανείς ότι το κινούμενο τμήμα της αλυσίδας , να πέφτει με επιτάχυνση g, μέχρι να ευθυγραμμιστεί με το υπόλοιπο τμήμα.

Όμως ένα απλό πείραμα, δείχνει ότι η επιτάχυνση γίνεται μεγαλύτερη από g!

Μπορούμε να μελετήσουμε την πτώση της αλυσίδας με τον ίδιο τρόπο που εξετάσαμε προηγουμένως το πρόβλημα του Cayley. Ενώ εκεί η μάζα της αλυσίδας που έπεφτε αυξανόταν, τώρα η μάζα του τμήματος της αλυσίδας που πέφτει μειώνεται και οι κρίκοι που ‘χάνονται’ διατάσσονται με τους κρίκους του ακίνητου τμήματος. Σ’ αυτή τη λεπτομέρεια κρύβεται και το μυστήριο του προβλήματος.

Είναι βολικό στους υπολογισμούς μας να θεωρήσουμε ότι μόλις ξεδιπλωθεί όλη η αλυσίδα, τότε το κάτω άκρο της μόλις που αγγίζει το έδαφος. Έτσι, αν x(t) είναι η απόσταση του ελεύθερου άκρου της από το έδαφος, τότε το κομμάτι της αλυσίδας που πέφτει έχει μήκος x(t)/2 (ας σημειωθεί ότι εδώ το x μειώνεται). Θα ισχύει για το τμήμα αυτό: [m(t)∙υ(t))’=g∙λ∙x(t)/2 ή -1/2∙[λx∙x’]’=g∙λ∙/2. Με παρόμοιους μετασχηματισμούς, όπως και προηγουμένως καταλήγουμε στην εξίσωση:

Παρατηρούμε ότι τη χρονική στιγμή t=0, όταν x(0)=L η επιτάχυνση είναι ίση με g. Στη συνέχεια καθώς το x(t) μειώνεται βλέπουμε ότι η επιτάχυνση του τμήματος που πέφτει να γίνεται μεγαλύτερη από το g!

πηγή: Μichael Spivak, ‘Physics for Mathematicians – Mechanics I’ – Chapter 3: Addendum 3A (Whips and chains – Why easy physics is so hard)

Aretha Franklin – Chain, chain, chain:

Κατηγορίες:ΒΑΡΥΤΗΤΑ, ΜΗΧΑΝΙΚΗ

Ετικέτες: Η ΑΣΚΗΣΗ ΤΗΣ ΕΒΔΟΜΑΔΑΣ, PHYSICS