Αρχική › ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ › Μια ανισότητα με βαθύτερη φυσική σημασία

Μια ανισότητα με βαθύτερη φυσική σημασία

By on • ( 0 )

Η ανισότητα είναι γνωστή ως ανισότητα Cauchy–Schwarz και διατυπώνεται ως εξής:
Για οποιουσδήποτε πραγματικούς αριθμούς a_1, a_2, \dots, a_n και b_1, b_2, \dots, b_n, ισχύει: (a_1^2 + a_2^2 + \dots + a_n^2)(b_1^2 + b_2^2 + \dots + b_n^2) \geq (a_1 b_1 + a_2 b_2 + \dots + a_n b_n)^2
Γράφεται σύντομα και πιο κομψά με αθροίσματα: \displaystyle \left( \sum_{i=1}^n a_i^2 \right) \left( \sum_{i=1}^n b_i^2 \right) \geq \left( \sum_{i=1}^n a_i b_i \right)^2 .
Για δυο όρους η ανισότητα Cauchy–Schwarz γράφεται ως: (a_1^2 + a_2^2)(b_1^2 + b_2^2) \geq (a_1 b_1 + a_2 b_2)^2 και μπορεί να αποδειχθεί πολύ εύκολα.

Η ανισότητα θα μπορούσε να ιδωθεί και ως μια σχέση των συντεταγμένων διανυσμάτων, των \boldsymbol{u}=(a_1, a_2)​ και \boldsymbol{v}=(b_1, b_2). Για απλότητα περιοριζόμαστε στις δυο διαστάσεις αν και τα συμπεράσματα ισχύουν και για διανυσματικούς χώρους (εφόσον ορίζεται εσωτερικό γινόμενο) περισσότερων διαστάσεων. Δεδομένου ότι το εσωτερικό γινόμενο των δύο διανυσμάτων είναι: \boldsymbol{u} \cdot \boldsymbol{v} = a_1 b_1 + a_2 b_2, το δεύτερο μέλος γράφεται: (\boldsymbol{u} \cdot \boldsymbol{v})^2. Eπιπλέον ισχύει για τα μέτρα των δυο διανυσμάτων: | \boldsymbol{u}|^2 = \boldsymbol{u} \cdot \boldsymbol{u} = a_1^2 + a_2^2 και |\boldsymbol{v}|^2 = \boldsymbol{v} \cdot \boldsymbol{v} = b_1^2 + b_2^2, οπότε το πρώτο μέλος της ανισότητας γράφεται: |\boldsymbol{u}|^2 |\boldsymbol{v}|^2.
Επομένως η ανισότητα γίνεται |\boldsymbol{u}|^2 |\boldsymbol{v}|^2 \geq (\boldsymbol{u} \cdot \boldsymbol{v})^2 ή |\boldsymbol{u} \cdot \boldsymbol{v}| \leq |\boldsymbol{u}| \cdot |\boldsymbol{v}| .

Εφαρμογές στη φυσική

Η ανισότητα Cauchy–Schwarz σε μορφή διανυσμάτων έχει μια πολύ απλή γεωμετρική ερμηνεία: ότι το ίσον ισχύει όταν τα διανύσματα είναι γραμμικώς εξαρτημένα, δηλαδή συγγραμμικά. Έτσι, αν το ένα από τα δύο διανύσματα είναι μια δύναμη (F) που ασκείται σε ένα σώμα και το άλλο η μετατόπιση (d), τότε η ανισότητα γίνεται: |\boldsymbol{F} \cdot \boldsymbol{d}| \leq |\boldsymbol{F}| \cdot |\boldsymbol{d}| . Και μας λέει ότι για δεδομένα μέτρα δύναμης και μετατόπισης η μέγιστη μεταφερόμενη (ή αφαιρούμενη ενέργεια) από το σώμα διαμέσου του έργου, πραγματοποιείται όταν η δύναμη και η μετατόπιση είναι συγγραμμικά διανύσματα (η μέγιστη μεταφερόμενη ενέργεια επιτυγχάνεται όταν είναι ομόρροπα, ενώ η μέγιστη αφαίρεση ενέργειας όταν είναι αντίρροπα). Όποιος θεωρεί αυτό το παράδειγμα απλοϊκό θα μπορούσε να χρησιμοποιήσει την ανισότητα Cauchy–Schwarz για να καταλήξει π.χ. στην εξίσωση της αρχής αβεβαιότητας του Χάιζενμπεργκ.

Eδώ, θα αναφέρουμε άλλη μια απλή εφαρμογή της ανισότητας σε ένα κλασικό πρόβλημα ηλεκτρισμού για μαθητές: Να δείξετε ότι στο σημείο που μηδενίζεται η ένταση του ηλεκτρικού πεδίου δυο θετικών ηλεκτρικών φορτίων q1 και q2 που απέχουν απόσταση d, το δυναμικό ισούται με V=\frac{k}{d} (q_1+q_2 +2 \sqrt{q_1 q_2}).
Λύση(*): Έστω ένα τυχαίο σημείο ανάμεσα στα δυο φορτία που απέχει x1 από το πρώτο και x2 από το δεύτερο. Ισχύει: x1 + x2 = d. Το δυναμικό V σε αυτό το τυχαίο σημείο είναι: V = k \left( \frac{q_1}{x_1} + \frac{q_2}{x_2} \right). Γνωρίζουμε ότι στην ευθεία που ενώνει τα δύο φορτία, το ηλεκτρικό πεδίο συνδέεται με το δυναμικό με την σχέση E = -dV/dx. Επομένως, το σημείο όπου μηδενίζεται η ένταση του πεδίου (E=0) είναι το σημείο όπου το δυναμικό παρουσιάζει τοπικό ακρότατο, στη συγκεκριμένη περίπτωση τοπικό ελάχιστο. Θα υπολογίσουμε αυτό το ελάχιστο δυναμικό χρησιμοποιώντας την ανισότητα Cauchy–Schwarz: (a_1^2 + a_2^2)(b_1^2 + b_2^2) \geq (a_1 b_1 + a_2 b_2)^2. Θέτουμε: a_1 = \sqrt{\frac{q_1}{x_1}}, a_2 = \sqrt{\frac{q_2}{x_2}}, b_1 = \sqrt{x_1} και b_2 = \sqrt{x_2} οπότε προκύπτει: \left( \frac{q_1}{x_1} + \frac{q_2}{x_2} \right) (x_1 + x_2) \geq \left( \sqrt{\frac{q_1}{x_1}}\sqrt{x_1} + \sqrt{\frac{q_2}{x_2}}\sqrt{x_2} \right)^2 και απλοποιώντας, βλέπουμε ότι: \left( \frac{V}{k} \right) \cdot (d) \geq (\sqrt{q_1} + \sqrt{q_2})^2 ή V \geq \frac{k}{d} (\sqrt{q_1} + \sqrt{q_2})^2.
Eπομένως, η ελάχιστη τιμή του δυναμικού προκύπτει όταν στην τελευταία σχέση ισχύει το ίσον: V_{\text{min}} = \frac{k}{d}(\sqrt{q_1} + \sqrt{q_2})^2. Κι αυτό συμβαίνει στο σημείο όπου η ένταση του ηλεκτρικού πεδίου ισούται με μηδέν(**).

(*) Δείτε μια πιο φυσιολογική λύση ΕΔΩ: Το δυναμικό στο σημείο μηδενισμού της έντασης
(**) Υπενθυμίζεται ότι η ισότητα στην σχέση Cauchy-Schwarz ισχύει μόνο όταν \scriptstyle a_1/b_1 = a_2/b_2. Αντικαθιστώντας τους όρους όπως ορίστηκαν παραπάνω παίρνουμε ότι \scriptstyle \sqrt{q_1}/x_1 = \sqrt{q_2}/x_2 ή \scriptstyle q_1/x_1^2 = q_2/x_2^2. Έτσι επαληθεύεται ο μηδενισμός της έντασης του ηλεκτρικού πεδίου \scriptstyle E=E_1 - E_2=0, στο σημείο που το δυναμικό έχει την ελάχιστη τιμή του.

‹

Κατηγορίες:ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ, ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ, ΦΥΣΙΚΗ

Ετικέτες: ,

Σχολιάστε

Ο ιστότοπος χρησιμοποιεί το Akismet για την εξάλειψη των ανεπιθύμητων σχολίων. Μάθετε πως επεξεργάζονται τα δεδομένα των σχολίων σας.