Στα μαθηματικά τo παραγοντικό ενός φυσικού αριθμού n συμβολίζεται με n! και ορίζεται ως το γινόμενο όλων των θετικών ακεραίων μικρότερων ή ίσων με του n: n! = 1∙2∙3∙ … ∙n. Το ερώτημα που τίθεται είναι: αν γράψουμε τον αριθμό 100! με όλα τα ψηφία του, με πόσα διαδοχικά μηδενικά τελειώνει αυτός ο αριθμός;
…………………………………………………………………………
Ψάχνοντας τον αριθμό των μηδενικών με τα οποία τελειώνει ο αριθμός 100!=100∙99∙98∙ … ∙3∙2∙1 στην ουσία ψάχνουμε να βρούμε πόσες φορές διαιρείται ο αριθμός αυτός με το 10.
Ας ξεκινήσουμε: το 10 διαιρεί μια φορά τους αριθμούς 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90 και δυο φορές τον 100, που σημαίνει πως ο αριθμός 100! περιέχει στο τέλος του σίγουρα 11 μηδενικά. Παρατηρείστε ότι οι αριθμοί αυτοί διαιρούνται με το 5 και με το 2.
Επιπλέον, είναι δυνατό να πολλαπλασιάσουμε δύο αριθμούς που δεν τελειώνουν σε 0 και να δημιουργήσουμε έναν που τελειώνει. Για παράδειγμα, 8×5=23x5=40 ή 4×5=22x5=20 ή 2×15=30. Παρατηρούμε ότι και στις περιπτώσεις αυτές υπεισέρχεται ένα 2 και ένα 5, ώστε 2×5=10. Το ‘κόλπο’ λοιπόν είναι να βρούμε πόσες φορές εμφανίζεται το γινόμενο (2×5) στον αριθμό 100! αφού αναλύσουμε σε παράγοντες όλους τους αριθμούς από το 1 έως το 100.
Οι αριθμοί που έχουν ως παράγοντα το 5 είναι οι: 5, 10, 15, 20…90, 95, 100. Συνολικά 20 αριθμοί. Όμως οι αριθμοί: 25, 50, 75 και 100, έχουν το 5 ως παράγοντα δύο φορές. Επομένως το 5 εμφανίζεται ως παράγοντας 24 φορές.
Μπορούμε επίσης να δούμε ότι το 2 εμφανίζεται ως παράγοντας τουλάχιστον 24 φορές (μετρώντας απλά τους ζυγούς αριθμούς). Επομένως το γινόμενο (2×5) εμφανίζεται 24 φορές, και τα μηδενικά στο τέλος του αριθμού 100! είναι 24.
Πράγματι: 100!=93326215443944152681699238856266700490715968264381621468592963895217599993229915608941463976156518286253697920827223758251185210916864000000000000000000000000
Κατηγορίες:ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ
physicsgg 
Σχολιάστε