Πώς υπολογίζουμε την θερμοκρασία του ήλιου κοιτώντας έναν ηλιακό θερμοσίφωνα;

Είναι δυνατός ένας τέτοιος υπολογισμός;

Ναι, αρκεί να θυμόμαστε το νόμο των Stefan-Boltzmann και να γνωρίζουμε ότι απόσταση γης-ήλιου είναι r=150.000.000 km=15∙1010m=1AU (αστρονομική μονάδα).

O νόμος των Stefan-Boltzmann είναι πολύ απλός στην διατύπωσή του και περιέχεται στα σχολικά βιβλία του μαθήματος της φυσικής, αφού μεταξύ άλλων η γνώση του προαπαιτείται για την κατανόηση απλών μοντέλων κλιματικής αλλαγής, με την οποία συγκινούνται έντονα οι έφηβοι. Αναφέρεται στην ενέργεια που ακτινοβολείται, ανά μονάδα χρόνου και ανά μονάδα επιφάνειας ενός θερμού σώματος με θερμοκρασία Τ (σε Kelvin):

I \left( \frac{W}{m^{2}} \right)=\sigma \cdot T^{4} , όπου \sigma=5,67 \cdot 10^{-8}\frac{W}{m^{2}K^{4}}

Για να είμαστε απόλυτα ακριβείς, ο νόμος αυτός αναφέρεται σε ένα ιδανικό μέλαν σώμα, όμως ο ήλιος ακτινοβολεί σχεδόν όπως ένα μέλαν σώμα. Aν υπολογίσουμε την ισχύ ανά μονάδα επιφάνειας που εκπέμπει ο ήλιος, τότε ο νόμος Stefan-Blotzman θα μας δώσει αμέσως την επιφανειακή θερμοκρασία του ήλιου.

Ο ηλιακός θερμοσίφωνας θα μας βοηθήσει να εκτιμήσουμε την ένταση του ηλιακού φωτός που πέφτει πάνω στη Γη. Eίναι γεγονός πως οικιακές ηλεκτρικές συσκευές που θερμαίνουν (όπως η ηλεκτρική κουζίνα, ηλεκτρική σόμπα κ.λπ.) που χρησιμοποιούμε στο σπίτι συνήθως καταναλώνουν ισχύ της τάξης λίγων κιλοβάτ (kW), ενώ και ο συλλέκτης ηλιακού φωτός στις στέγες των σπιτιών είναι της τάξης του ενός τετραγωνικού μέτρου.

Έτσι, εύκολα μπορούμε να εκτιμήσουμε την ηλιακή ακτινοβολία (σε W ανά τετραγωνικό μέτρο) που πέφτει στη γη ως: ΙΓ ≈ 1kW/m2=1000 W/m2 , μια εκτίμηση που δεν απέχει πολύ από την πραγματική. Όμως, αυτό που μας ενδιαφέρει είναι η ισχύς ανά τετραγωνικό μέτρο ΙS που εκπέμπεται από την επιφάνεια του ήλιου. Δεδομένου ότι όλη η ενέργεια (ή η ισχύς) που εκπέμπεται από την σφαιρική επιφάνεια του ήλιου (με εμβαδόν 4 \pi R_{S}^{2}, όπου R_{S} η ακτίνα του ήλιου) φτάνει σε μια σφαιρική επιφάνεια με ακτίνα όση η απόσταση γης-ήλιου r, θα ισχύει: I_{S}\cdot 4\pi R_{S}^{2} = I_{\Gamma} \cdot 4 \pi r^{2}. Έτσι, αφού ΙΓ ≈ 1000 W/m2 προκύπτει ότι η ακτινοβολούμενη από τον ήλιο ισχύς ανά μονάδα εμβαδού : I_{S}=I_{\Gamma} \frac{r^{2}}{R_{S}^{2}} =10^{3} \frac{r^{2}}{R_{S}^{2}}, σε W/m2. Συνδυάζοντας την εξίσωση αυτή με το νόμο Stefan-Boltzmann παίρνουμε για την επιφανειακή θερμοκρασία του ήλιου:

 T=\sqrt[4]{\frac{r^{2}}{\sigma \cdot R_{S}^{2}}}    (1)

Στο σημείο αυτό θα μπορούσαμε να κάνουμε τους χαζούς και να ψάξουμε στο διαδίκτυο την τιμή της ακτίνας του ήλιου που δεν δίνεται στην «εκφώνηση» του προβλήματος. Αλλά δεν χρειάζεται. Μπορούμε να υπολογίσουμε «με το χέρι μας » την ακτίνα του ήλιου με τα δεδομένα που διαθέτουμε, χρησιμοποιώντας την γωνιακή διάμετρο του ήλιου.

Για την γωνία δ, την γωνιακή διάμετρο, με την οποία βλέπει ένας παρατηρητής τον ήλιο από τη γη ισχύει \tan \frac{\delta}{2}=\frac{D/2}{r}. Eπειδή όμως η γωνία είναι πολύ μικρή ισχύει \tan \frac{\delta}{2} \cong \frac{\delta}{2}, μπορούμε να γράψουμε με πολύ καλή ακρίβεια: \delta = \frac{D}{r}. Μπορούμε εύκολα να υπολογίσουμε την γωνία δ εκμεταλλευόμενοι την ομοιότητα τριγώνων. Τεντώνουμε το χέρι μας (μήκος 1m περίπου) και με την άκρη του δακτύλου μας (διάμετρος περίπου 1 cm) μπορούμε να κρύψουμε τον δίσκο του ήλιου. Aλλά μην το κάνετε με τον ήλιο γιατί θα τυφλωθείτε.

 Κάντε το με τον δίσκο φεγγαριού που κατά σύμπτωση έχει το ίδιο γωνιακό άνοιγμα με τον ήλιο (αυτό αποδεικνύουν οι ολικές εκλείψεις ηλίου). Έτσι, η γωνία δ ισούται με 1cm/1m=0,01 και η διάμετρος του ήλιου θα είναι 2R_{S}=0,01 \cdot 15 \cdot 10^{10}\,m και R_{S}=7,5 \cdot 10^{8} \,m .

Αντικαθιστώντας όλες τις τιμές στην εξίσωση (1) παίρνουμε:  T \cong \sqrt[4]{10^{15}}\cong 5600 K, που δεν απέχει και πολύ από αυτή που δίνει η βιβλιογραφία (5.778 K). Για την ιστορία, προς στο τέλος του 19ου αιώνα ο Josef Stefan χρησιμοποίησε το νόμο του και με μια παρόμοια μέθοδο προσδιόρισε την επιφανειακή θερμοκρασία του ήλιου.



Κατηγορίες:ΘΕΡΜΟΔΥΝΑΜΙΚΗ, ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ

Ετικέτες: ,

2 replies

  1. Ενδιαφέρον άρθρο! Ίσως θα μπορούσατε να προσθέσετε και ένα τρόπο εκτίμησης της απόστασης Γης-Ήλιου για να χρησιμοποιηθεί στους παραπάνω υπολογισμούς.

    • Νομίζω ότι η απόσταση Γης-Ήλιου (150 εκατομμύρια χιλιόμετρα) είναι ένα καλό νούμερο που μπορούμε εύκολα να θυμηθούμε. Κάτι που δεν συμβαίνει με την σταθερά του Stefan, \sigma=5,67 \cdot 10^{-8}\frac{W}{m^{2}K^{4}} με την οποία αξίζει να ασχοληθεί κανείς λίγο περισσότερο.
      Ο νόμος Stefan-Boltzman είχε αποδειχθεί στην προ-κβαντική εποχή με κλασική θερμοδυναμική, αλλά η τιμή της σταθεράς παρέμενε απροσδιόριστη και την μετρούσαν πειραματικά.
      Μπορούμε να την υπολογίσουμε αναλυτικά από το νόμο ακτινοβολίας μέλανος σώματος του Planck, ολοκληρώνοντας για όλες τις συχνότητες ή μήκη κύματος ακτινοβολίας. Αφού πρώτα υπολογίσουμε το ενδιαφέρον ολοκλήρωμα \int_{0}^{\infty} \frac{y^{3}dy}{e^{y}-1} καταλήγουμε στην σχέση: I(T)=\frac{12 \pi \zeta (4) k^{4}}{h^{3}c^{2}} T^{4} = \sigma T^{4}.
      Βλέπουμε ότι στην τελική έκφραση της σταθεράς Stefan \sigma, μεταξύ των άλλων παγκόσμιών σταθερών, υπεισέρχεται και η τιμή της συνάρτησης Riemann \zeta (4)=\frac{\pi^{4}}{90} !

Σχολιάστε

Εισάγετε τα παρακάτω στοιχεία ή επιλέξτε ένα εικονίδιο για να συνδεθείτε:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

Φωτογραφία Google

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Google. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

Σύνδεση με %s

Ο ιστότοπος χρησιμοποιεί το Akismet για την εξάλειψη των ανεπιθύμητων σχολίων. Μάθετε πως επεξεργάζονται τα δεδομένα των σχολίων σας.

Αρέσει σε <span>%d</span> bloggers: