H ενέργεια στη φθίνουσα ταλάντωση

Posted on 29/12/2019

0


Θεωρούμε την φθίνουσα ταλάντωση ενός σώματος στο οποίο εκτός από την δύναμη επαναφοράς F = - Dx ασκείται και μια δύναμη απόσβεσης ανάλογη της ταχύτητας F_{b} = -b \,v \,\,(b>0) . Αναζητούμε την γραφική παράσταση της ενέργειας του ταλαντωτή συναρτήσει του χρόνου.
Η ενέργεια μιας τέτοιας ταλάντωσης μειώνεται συνεχώς εξαιτίας της δύναμης απόσβεσης. Αν πάρουμε κατά γράμμα την «θεωρία» που λέει ότι το πλάτος της ταλάντωσης μειώνεται εκθετικά σύμφωνα με την εξίσωση A=A_{0} e^{-\gamma t}, τότε θα περίμενε κανείς η ολική ενέργεια της ταλάντωσης να μειώνεται επίσης εκθετικά ως: E=\frac{1}{2}DA^{2}=E_{0} e^{-2\gamma t}. Όμως, οι δυο αυτές εξισώσεις δεν έχουν νόημα για κάθε χρονική στιγμή, παρά μόνο για τις χρονικές στιγμές που είναι ακέραια πολλαπλάσια της περιόδου της ταλάντωσης: t=k T \,\, (k=0,1, 2 \cdots).
Έτσι, αν θέλουμε να σχεδιάσουμε την ενέργεια της ταλάντωσης συναρτήσει του χρόνου πρέπει να χρησιμοποιήσουμε τις ακριβείς λύσεις της φθίνουσας ταλάντωσης.

Αποδεικνύεται (βλέπε ΕΔΩ: Η γενική λύση της φθίνουσας ταλάντωσης) ότι για τυχαίες αρχικές συνθήκες x(0)=x_{0} και x'(0)=v_{0} = 0, η απομάκρυνση του σώματος συναρτήσει του χρόνου δίνεται από την εξίσωση:

x(t) = e^{-\gamma t} \left[ x_{0} \cos \omega t + \frac{v_{0}+x_{0} \gamma}{\omega} \sin \omega t \right] ή
x(t) = A e^{-\gamma t} \sin (\omega t + \phi)

όπου A = \sqrt{x_{0}^{2} + \left( \frac{v_{0} + x_{0} \gamma}{\omega} \right)^2} , \tan\phi = \frac{x_{0} \omega}{v_{0} + x_{0} \gamma} και \omega = \sqrt{\omega_{0}^{2} - \gamma^{2}}

Αν θεωρήσουμε τις απλούστερες αρχικές συνθήκες x(0)=x_{0} και x'(0)=v_{0} = 0 , τότε για την απομάκρυνση ισχύει:

x(t) = \frac{x_{0} \omega_{0}}{\omega} e^{-\gamma t} \sin (\omega t + \theta) όπου \tan \theta = \frac{\omega}{\gamma}      (1)

και για την ταχύτητα:

v(t) = -\frac{x_{0} \omega_{0}^{2}}{\omega} e^{-\gamma t} \sin \omega t    (2)

Η ενέργεια της ταλάντωσης σε κάθε χρονική στιγμή θα είναι το άθροισμα της δυναμικής και κινητικής ενέργειας:  E(t)=U(t)+K(t) = \frac{1}{2}Dx^{2}(t) + \frac{1}{2}m v^{2}(t) ή διαμέσου των εξ. (1) και (2):

E(t)=E_{0}\frac{\omega_{0}^{2}}{\omega^{2}}e^{-2\gamma t} \left[\sin^{2}(\omega t+ \theta) + \sin^{2}\omega t\right]

όπου E_{0}=\frac{1}{2} D x_{0}^{2}.

Έχοντας κατά νου την παραπάνω εξίσωση, προκύπτει η γραφική παράσταση της ενέργειας ταλάντωσης συναρτήσει του χρόνου  (η μπλε καμπύλη):

Τις χρονικές στιγμές t=k T \,\, (k=0,1, 2 \cdots) η δυναμική ενέργεια (κόκκινη καμπύλη) εμφανίζει μέγιστα, ενώ κινητική ενέργεια (πράσινη καμπύλη) μηδενίζεται. Παρατηρείστε ότι όταν η κινητική ενέργεια είναι μέγιστη, η δυναμική δεν ισούται με μηδέν (γιατί;).
Η διακεκομμένη (μαύρη) καμπύλη παριστάνει την, ας πούμε, «μέση» ενέργεια της ταλάντωσης, \overline{E(t)}=E_{0} e^{-2\gamma t}, η οποία τέμνει την E(t) (μπλε) καμπύλη τις χρονικές στιγμές t=k \frac{T}{2} \,\, (k=0,1, 2 \cdots).
Παρατηρείστε επίσης την στιγμιαία ενέργεια ταλάντωσης (μπλε καμπύλη) να «ταλαντώνεται» γύρω από την «μέση ενέργεια ταλάντωσης» (μαύρη διακεκομμένη), στην οποία τείνει ασυμπτωτικά για t \rightarrow \infty.

μουσική επένδυση: «I Can’t Escape Myself» – The Sound