Αποδείχθηκε ή όχι η υπόθεση Ρίμαν από τον Μάικλ Ατίγια;

Posted on 25/09/2018

0


Sir Michael Francis Atiyah

Τον Αύγουστο του 1859, ο Μπέρνχαρντ Ρίμαν έγινε αντεπιστέλλον μέλος της Ακαδημίας του Βερολίνου – εξαιρετική τιμή για έναν τόσο νεαρό μαθηματικό (ήταν μόλις 32 ετών). Όπως συνηθιζόταν σε τέτοιες περιπτώσεις, ο Ρίμαν υπέβαλε στην Ακαδημία μια εργασία στην οποία περιέγραφε μια από τις έρευνές του. Ο τίτλος του αντίστοιχου άρθρου ήταν: «Σχετικά με το πλήθος των πρώτων αριθμών που είναι μικρότεροι από κάποιο δεδομένο αριθμό». Μέσα στο άρθρο, ο Ρίμαν διερευνούσε ένα γνωστό πρόβλημα της κλασικής αριθμητικής. Για να καταλάβουμε το πρόβλημα ας αναρωτηθούμε: Πόσοι πρώτοι αριθμοί αριθμών (πρώτοι αριθμοί=διαιρούνται μόνο με το 1 και τον εαυτό τους) υπάρχουν, μικρότεροι από το 20; Η απάντηση είναι οκτώ: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 και 19. Πόσοι είναι μικρότεροι από το 10001 Από το 1 εκατομμύριο; Από το 1 δισεκατομμύριο;
Υπάρχει κάποιος γενικός τύπος ο οποίος μας δίνει το πλήθος των πρώτων αριθμών που είναι μικρότεροι από έναν δεδομένο αριθμό, χωρίς να χρειάζεται να τους μετρήσουμε; Ο Ρίμαν προσέγγισε το πρόβλημα με τα πιο προχωρημένα μαθηματικά της εποχής του, χρησιμοποιώντας «εργαλεία» που σήμερα διδάσκονται μόνο σε υψηλού επιπέδου πανεπιστημιακά μαθήματα, και επινοώντας για τις ανάγκες της έρευνάς του ένα πολύ ισχυρό και περίπλοκο μαθηματικό αντικείμενο. Κάπου προς το μέσο του άρθρου του, διατύπωσε μια εικασία σχετικά με αυτό το αντικείμενο και στη συνέχεια παρατήρησε:
«Θα θέλαμε φυσικά να είχαμε μια αυστηρή απόδειξη αυτού του ισχυρισμού. Ωστόσο, ύστερα από κάποιες σύντομες άκαρπες προσπάθειες να ανακαλύψω αυτή την απόδειξη, παρέκαμψα το θέμα αφού δεν είναι απαραίτητο για τους άμεσους στόχους της έρευνάς μου».
Η υπόθεση του Ρίμαν, όπως τελικά ονομάστηκε αυτή η εικασία, παρέμεινε βασανιστική μονομανία ολόκληρο τον 20ό αιώνα και έτσι παραμένει ως τις μέρες μας, αφού μέχρι σήμερα αντιστέκεται (;) σθεναρά σε κάθε προσπάθεια απόδειξης ή κατάρριψης.

H υπόθεση του Ρίμαν δεν είναι εύκολο να διατυπωθεί με όρους που θα κατανοούσε εύκολα ένας μη μαθηματικός, επειδή βρίσκεται στο επίκεντρο μιας ιδιαιτέρων περίπλοκης μαθηματικής θεωρίας. Η διατύπωσή της είναι η εξής: «Όλες οι μη τετριμένες ρίζες της συνάρτησης ζ έχουν πραγματικό μέρος ίσο με ½», όπου η συνάρτηση ζ του Riemann ορίζεται από την εξίσωση:

\zeta(s) = \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n^{s}}

Γι αυτή την εικασία, που εδώ και 160 χρόνια θεωρείται ως ένα από τα σημαντικότερα άλυτα πρόβλημα των μαθηματικών, ο 90χρονος Βρετανο-Λιβανέζος μαθηματικός Μάικλ Ατίγια (Michael Francis Atiyah) ισχυρίζεται πως βρήκε μια «απλή απόδειξη». Ο Ατίγια έχει σημαντικές συνεισφορές στη γεωμετρία, στην τοπολογία και στη θεωρητική φυσική και τιμήθηκε με τα δύο κυριότερα βραβεία μαθηματικών, Fields  το 1966 και Abel  το 2004. Έχει διατελέσει πρόεδρος της Μαθηματικής Εταιρείας του Λονδίνου, της Βασιλικής Εταιρείας επιστημών της Βρετανίας και της Βασιλικής Εταιρείας του Εδιμβούργου.

Ο Atiyah έδωσε χτες στην Χαϊδελβέργη μια διάλεξη με τίτλο: «Η Υπόθεση του Ρίμαν». Σύμφωνα με τον ίδιο, παρουσιάζει μια απλή απόδειξη της υπόθεσης, χρησιμοποιώντας μια ριζικά διαφορετική προσέγγιση, βασισμένη στο έργο των von Neumann (1936), Hirzebruch (1954) και Dirac (1928).

Το Φόρουμ της Χαϊδελβέργης που ανέβασε το βίντεο της διάλεξης του Ατίγια, διατηρεί τις επιφυλάξεις του σημειώνοντας ότι οι απόψεις που διατυπώνονται στο βίντεο αυτό αντιπροσωπεύουν μόνο τον ομιλητή.

Πολλοί μαθηματικοί αμφιβάλλουν για την ορθότητα της απόδειξης, δεδομένου ότι τα τελευταία χρόνια ο Ατίγια έκανε κάποιες «μαθηματικές γκάφες». Η επίλυση της υπόθεσης Ρίμαν έχει υποβληθεί για δημοσίευση στο περιοδικό «Proceedings of the Royal Society A» της Βασιλικής Εταιρείας της Βρετανίας (διαβάστε το άρθρο του Ατίγια με τίτλο Τhe Riemann Hypothesis ΕΔΩ). Η δημοσίευσή της θα είναι το ισχυρότερο κριτήριο της ορθότητας της απόδειξης.

Υπενθυμίζεται πως το Ινστιτούτο Μαθηματικών Clay έχει ορίσει βραβείο ενός εκατομμυρίου δολαρίων για όποιον λύσει οποιοδήποτε από τα έξι ακόμη άλυτα «Προβλήματα της Χιλιετίας», μεταξύ των οποίων είναι και η υπόθεση Ρίμαν.

πηγή: https://www.irishtimes.com/news/world/world-of-maths-aflutter-over-new-proof-of-160-year-old-hypothesis-1.3639722«Υπόθεση Ρίμαν», John Derbyshire, εκδόσεις Τραυλός

Ετικέτα: