22/7: ημέρα προσέγγισης του αριθμού π

Posted on 22/07/2017

0


Ενώ η 14η Μαρτίου (3/14) έχει καθιερωθεί ως η παγκόσμια ημέρα του αριθμού π, η 22η Ιουλίου (22/7) θεωρείται ως η παγκόσμια ημέρα προσέγγισης του αριθμού π.

Ο λόγος 22/7 χρησιμοποιήθηκε ως προσέγγιση του αριθμού π για πρώτη φορά από τον Αρχιμήδη.

Άσκηση

Με ένα απλό κομπιουτεράκι μπορούμε να δούμε ότι 22/7=3,142857>π=3,14159…

Αν όμως δεν γνωρίζαμε τα πρώτα ψηφία του π, θα μπορούσαμε να αποδείξουμε ότι 22/7>π ;

Η απόδειξη είναι πολύ σύντομη – πολύ συντομότερη από το να υπολογίσουμε ότι το π ισούται προσεγγιστικά με 3,14159. Αρκεί να δείξουμε ότι:
0< \int\limits_{0}^{1} \frac{x^{4}(1-x)^{4}} {1+x^{2}} dx = \frac{22}{7} - \pi
Το ολοκλήρωμα υπολογίζεται πολύ εύκολα ως εξής:

Ετικέτα: