Σε τι είδους επιφάνεια κυλάει άνετα ένα ποδήλατο με τετράγωνες ρόδες;

Posted on 28/06/2017

0


Απάντηση: Σε μια επιφάνεια που δημιουργείται από μια περιοδικά επαναλαμβανόμενη ανεστραμμένη αλυσοειδή καμπύλη. H αλυσοειδής καμπύλη ορίζεται από την συνάρτηση του υπερβολικού συνημιτόνου:

f(x) = \frac{e^{x} + e^{-x}}{2} = \cosh x

Το ερώτημα τέθηκε στις φετινές παν-ιταλικές(;) εξετάσεις στο μάθημα των μαθηματικών.

Συγκεκριμένα ζητήθηκε από τους μαθητές να επιβεβαιώσουν ότι ένα ποδήλατο με τετράγωνους τροχούς, με πλευρά τετραγώνου ίση με 2 (αυθαίρετες μονάδες), μπορεί να κινηθεί άνετα σε μια περιοδικά επαναλαμβανόμενη επιφάνεια που καθορίζεται από την συνάρτηση:
f(x) = \sqrt{2} - \frac{e^{x} + e^{-x}}{2}
Το πρώτο ζητούμενο ήταν να υπολογιστούν τα σημεία στα οποία η συνάρτηση τέμνει το άξονα χ. Αυτό υπολογίζεται εύκολα θέτοντας:
f(\alpha) = 0 = \sqrt{2} - \frac{e^{\alpha} + e^{-\alpha}}{2}
απ’ όπου προκύπτει: \alpha = \ln(\sqrt{2}+1)

Δείτε τα θέματα ΕΔΩ: istruzione.it

Στη συνέχεια αρκεί να δείξουμε ότι οι εφαπτόμενες της καμπύλης f(x) στα σημεία x=\alpha και x=-\alpha είναι κάθετες μεταξύ τους (έτσι ώστε οι γωνίες της τετράγωνης ρόδας να «εφαρμόζουν» στα σημεία που επαναλαμβάνεται η συνάρτηση).
Οι κλίσεις των ευθειών αυτών είναι \lambda_{1}=f'(\alpha) και \lambda_{2}=f'(-\alpha) .
Αν κάνετε τις πράξεις θα δείτε ότι \lambda_{1} \lambda_{2} =-1 – επομένως οι εφαπτόμενες είναι κάθετες μεταξύ τους.

Το επόμενο ερώτημα ζητούσε να δειχθεί ότι το μήκος του τόξου του ανεστραμμένου αλυσοειδούς, από  x=-\alpha έως x=\alpha , ισούται με την πλευρά του τετραγώνου. Αρκεί να δειχθεί ότι:
\int_{-\alpha}^{\alpha} \sqrt{1+ \left[f'(x)\right]^{2}} dx = 2
(υπενθυμίζεται ότι η πλευρά του τετραγώνου δίνεται ίση με 2).

Το πιο ωραίο ερώτημα είναι το τρίτο, όπου ζητείται να δειχθεί ότι το κέντρο του τετράγωνου τροχού κινείται πάνω σε μια ευθεία γραμμή, παράλληλη προς τον άξονα χ.
Υπολογίζουμε το μήκος: d = CA + f(x)
Για την γωνία \phi , σύμφωνα με το παραπάνω σχήμα ισχύει:
\cos \phi = 1 / CA , αλλά και
\cos \phi = 1 / \sqrt{1+ \tan^{2} \phi} , όπου f'(x) = \tan \phi
Aπό τις παραπάνω εξισώσεις προκύπτει ότι το κέντρο της τετράγωνης ρόδας, καθώς αυτή κυλάει πάνω στην επιφάνεια της καμπύλης, κινείται πάνω σε ευθεία παράλληλη με τον άξονα χ , που απέχει από αυτόν απόσταση d=\sqrt{2}  .
Στο τελευταίο ερώτημα δινόταν μια διαφορετική αλυσοειδής συνάρτηση
f(x) = \frac{2}{\sqrt{3}} - \frac{e^{x} + e^{-x}}{2}
Ποιο πολύγωνο-ρόδα θα κυλούσε άνετα σε μια τέτοια περιοδικά επαναλαμβανόμενη επιφάνεια; Αποδεικνύεται πως εκεί απαιτείται ποδήλατο με ρόδες σε σχήμα κανονικού εξαγώνου!

Βίντεο: Κίνηση ποδηλάτου με τετράγωνες ρόδες.