Ένα άλυτο μαθηματικό πρόβλημα και το ατομικό πρότυπο Thomson

Posted on 20/07/2016

0


Το 1998 ο μαθηματικός Steve Smale δημοσίευσε μια λίστα από 18 άλυτα προβλήματα (Mathematical problems for the next century Steve Smale), έπειτα από αίτημα του τότε αντιπροέδρου της Διεθνούς Μαθηματικής Εταιρίας Vladimir Arnold. Ο Arnold ζήτησε από τους μαθηματικούς να προτείνουν μια λίστα προβλημάτων για τον 21ο αιώνα, εμπνεόμενος από την αντίστοιχη λίστα των προβλημάτων του Hilbert που δημοσιεύθηκε στις αρχές του 20ου αιώνα.

Το 7ο στη λίστα από τα 18 άλυτα προβλήματα που πρότεινε ο Smale, έχει άμεση σχέση με τη φυσική (αν και δεν μπορώ να φανταστώ ότι υπάρχει μαθηματικό πρόβλημα που να μην συνδέεται με τη φυσική). Πρόκειται για ένα πρόβλημα που έχει άμεση σχέση με το πρώτο ατομικό μοντέλο.

Το άτομο σύμφωνα με τον Thomson

H εικόνα του ατόμου σύμφωνα με τον J. J. Thomson

Ο φυσικός που ανακάλυψε το ηλεκτρόνιο, J. J. Thomson, είχε προτείνει το 1904 τη δική του θεωρία για τη δομή του ατόμου. Διατύπωσε το μοντέλο του «σταφιδόψωμου», σύμφωνα με το οποίο το θετικό ηλεκτρικό φορτίο κατανέμεται ομοιόμορφα σε μια σφαιρική περιοχή (δεν υπάρχουν πρωτόνια), μέσα στην οποία βρίσκονται τα ηλεκτρόνια, όπως οι σταφίδες στο σταφιδόψωμο.

O Joseph John Thomson βραβεύθηκε το 1906 με το νόμπελ φυσικής διότι απέδειξε ότι το ηλεκτρόνιο είναι σωματίδιο ενώ ο γιός του, George Paget Thomson , βραβεύθηκε με το νόμπελ φυσικής 1937 γιατί απέδειξε ότι το ηλεκτρόνιο συμπεριφέρεται και ως κύμα!

Tο ατομικό πρότυπο του Thomson ως γνωστόν απορρίφθηκε από τα πειράματα του Rutherford.

(α) Τα σωμάτια α αποκλίνουν κατά μικρή γωνία σύμφωνα με το πρότυπο του Thomson. (β) Τα σωμάτια α αποκλίνουν κατά μεγάλη γωνία σύμφωνα με το πρότυπο τον Rutherford.

(α) Τα σωμάτια α αποκλίνουν κατά μικρή γωνία σύμφωνα με το πρότυπο του Thomson. (β) Τα σωμάτια α αποκλίνουν κατά μεγάλη γωνία σύμφωνα με το πρότυπο του Rutherford.

Ένα πρόβλημα που αναδύεται κατά την εφαρμογή του ατομικού προτύπου του σταφιδόψωμου – άσχετα με το αν ισχύει ή όχι – είναι το εξής: πως πρέπει να τοποθετηθούν τα ηλεκτρόνια έτσι ώστε το σύστημα των ηλεκτρικών φορτίων να έχει την ελάχιστη δυναμική ηλεκτροστατική ενέργεια;

Το επονομαζόμενο ως πρόβλημα Thomson (ή 7ο πρόβλημα του Smale) εξετάζει το πως πρέπει να τοποθετηθούν Ν ηλεκτρόνια στην επιφάνεια μιας σφαίρας έτσι ώστε να έχουν την ελάχιστη δυναμική ηλεκτροστατική ενέργεια:

V(\vec{r}) = \sum e^{2}/r_{ij}

όπου r_{ij} = |\vec{r}_{i} - \vec{r}_{j}| oι αποστάσεις μεταξύ των ζευγών των ηλεκτρονίων που βρίσκονται στην επιφάνεια μιας σφαίρας με κέντρο την αρχή των συντεταγμένων  και e το ηλεκτρικό φορτίο του ηλεκτρονίου.

Για Ν=2, η απάντηση είναι εύκολη. Τοποθετούμε τα ηλεκτρόνια στις αντιδιαμετρικές θέσεις μιας οποιαδήποτε διαμέτρου της σφαίρας. Για Ν=3, τα τοποθετούμε στις κορυφές ενός ισοπλεύρου τριγώνου εγγεγραμμένου σε έναν μέγιστο κύκλο της σφαίρας. Όμως καθώς ο αριθμός των σημείων αυξάνεται, άλλο τόσο δυσκολεύει η επίλυση του προβλήματος.

https://en.wikipedia.org/wiki/Thomson_problem

Το πρόβλημα Thomson έχει λυθεί για 2, 3, 4, 6 και 12 φορτία. (en.wikipedia.org)

Γιατί ο μαθηματικός Steve Smale τοποθέτησε το πρόβλημα αυτό ως το 7ο στη λίστα με τα 18 άλυτα προβλήματα-προκλήσεις για τον 21ο αιώνα;
Ένας λόγος για την επιλογή αυτή ήταν οι σημαντικές εφαρμογές του προβλήματος σε διαφόρους τομείς. Το μοντέλο Thomson μπορεί να έχει απορριφθεί οριστικά, αλλά εξακολουθεί να βρίσκει εφαρμογή στη χημεία (στο πως κατανέμονται τα ηλεκτρόνια στους ατομικούς φλοιούς), στην βιολογία (για το πώς διατάσσονται οι πρωτεΐνες σε ιούς με σφαιρικό σχήμα), στη φυσική, στην επιστήμη των υπολογιστών, αλλά και σε πρακτικές εφαρμογές, όπως την τοποθέτηση τηλεπικοινωνιακών δορυφόρων γύρω από τη Γη.

Σε εργασία που δημοσιεύθηκε στο Physical Review Letters γίνεται μια νέα προσέγγιση στο πρόβλημα Thomson βάσει της οποίας είναι πιο εύκολος ο προσδιορισμός της διάταξης χαμηλότερης ενέργειας.

Για Ν= 132, 135, 138, 141, 144, 147, 150 κατασκευάστηκαν δενδροειδή διαγράμματα, όπου ο κατακόρυφος άξονας  ή «κορμός» αντιστοιχεί στην ενέργεια μιας συγκεκριμένης διάταξης των φορτίων. Κάθε «κλαδί» καταλήγει σε ένα τοπικό ελάχιστο, που αντιστοιχεί στην διάταξη με την μικρότερη ενέργεια από όλες τις γειτονικές καταστάσεις, έτσι ώστε να είναι υποψήφια για την διάταξη με συνολικά χαμηλότερη ενέργεια, το ολικό ελάχιστο.

thomson1Οπτικοποιώντας το πρόβλημα μ’ αυτόν τον τρόπο διαπιστώθηκε ότι από αυτά τα σχήματα προκύπτουν σημαντικές ενδείξεις για την εύρεση του ολικού ελαχίστου με τον κατάλληλο αλγοριθμικό προγραμματισμό, τουλάχιστον για τους παραπάνω επτά αριθμούς ηλεκτρονίων. Περισσότερες λεπτομέρειες της μεθόδου, μπορεί να βρει κανείς εδώ: «Kinetic Transition Networks for the Thomson Problem and Smale’s 7th Problem» .

Προφανώς, η αναλυτική επίλυση του 7ο προβλήματος του Smale φαίνεται άπιαστη προς το παρόν – άλλωστε είμαστε ακόμα στις αρχές του 21ο αιώνα – όμως η παραπάνω εργασία είναι ένα βήμα που σίγουρα θα βοηθήσει προς αυτή την κατεύθυνση.

διαβάστε επίσης: Researchers chip away at Smale’s 7th unsolved problem in mathematics

Ετικέτα: