Ανακαλύφθηκε μια «περίεργη» ιδιότητα των πρώτων αριθμών

Posted on 15/03/2016

0


O Kannan Soundararajan, αριστερά, και ο Robert Lemke Oliver στο πανεπιστήμιο του Stanford

O Kannan Soundararajan, αριστερά, και ο Robert Lemke Oliver στο πανεπιστήμιο του Stanford ανακάλυψαν μια νέα ιδιότητα των πρώτων αριθμών ( Πρώτοι αριθμοί είναι οι αριθμοί που διαιρούνται μόνο με τον εαυτό τους και το 1).

Δυο μαθηματικοί ανακάλυψαν μια απλή ιδιότητα των πρώτων αριθμών. Φαίνεται πως τα τελευταία ψηφία των διαδοχικών πρώτων αριθμών δεν κατανέμονται εντελώς τυχαία. Για παράδειγμα: στο πρώτο δισεκατομμύριο των πρώτων αριθμών ένας πρώτος αριθμός που λήγει σε 9 είναι πιθανότερο κατά 65% περίπου να ακολουθείται από έναν πρώτο αριθμό που λήγει σε 1, παρά σε έναν άλλο πρώτο που λήγει σε 9.

Σε μια εργασία που δημοσιεύθηκε με τίτλο «Unexpected biases in the distribution of consecutive primes» οι Robert J. Lemke Oliver και Kannan Soundararajan, από το πανεπιστήμιο Stanford, ισχυρίζονται ότι πρώτοι αριθμοί «απεχθάνονται» να ακολουθούνται από πρώτους αριθμούς που λήγουν στο ίδιο μ’ αυτούς ψηφίο. Η απόδειξη που δίνουν είναι και θεωρητική (βασιζόμενη όμως σε άλλες μαθηματικές εικασίες) και αριθμητική.

Η ανακάλυψη αυτή αντιβαίνει στην μαθηματική διαίσθηση. Φαίνεται να παραβιάζει μια υπόθεση που υιοθετούν οι αριθμοθεωρητικοί εδώ και πολλά χρόνια: ότι οι πρώτοι αριθμοί «συμπεριφέρονται» ως τυχαίοι αριθμοί. Έτσι, οι τέσσερις περιπτώσεις, ένας πρώτος αριθμός να έχει ως επόμενο έναν πρώτο αριθμό που να λήγει στο 1, ή στο 3, ή στο 7, ή στο 9 θεωρούνταν ισοπίθανες ( 1, 3, 7 και 9 είναι οι αριθμοί που μπορούν να είναι το τελευταίο ψηφίο των πρώτων αριθμών – εξαίρεση αποτελούν οι πρώτοι 2 και 5).

Το έναυσμα για την μελέτη των διαδοχικών πρώτων αριθμών δόθηκε στον Soundararajan όταν παρακολούθησε μια διάλεξη του μαθηματικού Tadashi Tokieda, από το πανεπιστήμιο του Cambridge, στην οποία ανέφερε ένα αποτέλεσμα ρίψης νομίσματος κόντρα στη διαίσθησή μας: Η Αλίκη επαναλαμβάνει τις ρίψεις ενός νομίσματος μέχρι να πετύχει διαδοχικά «κορώνα» και αμέσως μετά «γράμματα». Από την άλλη ο Μπομπ ρίχνει το νόμισμα μέχρι να πετύχει διαδοχικά δυο «κορώνες». Η Αλίκη χρειάζεται κατά μέσο όρο 4 ρίψεις, ενώ ο Μπομπ 6 ρίψεις (δοκιμάστε το στο σπίτι!)

Ο Soundararajan αναρωτήθηκε αν τέτοια παρόμοια φαινόμενα αντίθετα με τη διαίσθησή μας εμφανίζονται και στο πλαίσιο των πρώτων αριθμών.

Έτσι, μετά από εντατικές έρευνες σε συνεργασία με τον Lemke Oliver διαπίστωσαν ότι οι πρώτοι αριθμοί «αποφεύγουν» να ακολουθούνται από πρώτους αριθμούς με το ίδιο τελικό ψηφίο.  Σύμφωνα με τον Lemke Oliver , οι πρώτοι αριθμοί απεχθάνονται να επαναλαμβάνουν τους εαυτούς τους.

Για παράδειγμα ένας πρώτος αριθμός που λήγει σε 3 είναι πιο πιθανό να ακολουθείται από έναν πρώτο αριθμό που λήγει σε 7, 9 ή 1 παρά σε κάποιον που λήγει επίσης σε 3. Θα έλεγε κανείς ότι αυτό είναι λογικό διότι π.χ. από τον αριθμό 43 μέχρι τον 53 μεσολαβούν οι αριθμοί 47, 49 και 51 και από αυτούς ο 47 είναι πρώτος.

Όμως οι δυο μαθηματικοί βρήκαν ότι κάτι τέτοιο δεν ισχύει. Έτσι, για έναν πρώτο αριθμό που λήγει σε 3 είναι πιο πιθανό ο επόμενος πρώτος να λήγει σε 9, παρά σε 1 ή 7 (και πολύ λιγότερο πιθανό σε 3).

Οι προτιμήσεις των πρώτων αριθμών σχετικά με τα τελικά ψηφία των πρώτων που τους ακολουθούν ερμηνεύονται από τους Soundararajan και Lemke Oliver με τη χρήση μιας τροποποιημένης μορφής ενός μοντέλου τυχαιότητας των πρώτων αριθμών. Η εικασία που διατυπώθηκε για πρώτη φορά από τους G. H. Hardy και J. Ε Littlewood το 1923 , παρέχει ακριβείς εκτιμήσεις της συχνότητας εμφάνισης κάθε δυνατής διάταξης πρώτων με δεδομένη απόσταση μεταξύ τους. Οι περιορισμοί που διαπίστωσαν οι  Soundararajan και Lemke Oliver για τους διαδοχικούς πρώτους βρίσκονται πολύ κοντά σε ότι προβλέπει η εν λόγω εικασία.

Πάντως, σ’ αυτό το πρώιμο στάδιο είναι δύσκολο να γνωρίζουμε αν αυτοί οι περιορισμοί είναι απομονωμένες ιδιαιτερότητες ή αν έχουν βαθύτερες συνδέσεις με άλλες μαθηματικές δομές των πρώτων αριθμών. Το σίγουρο είναι ότι υπάρχουν παρά πολλά που δεν ξέρουμε ακόμα για τους πρώτους αριθμούς.

Διαβάστε περισσότερα
1. www.quantamagazine.org: «Mathematicians Discover Prime Conspiracy«

2. www.nature.com: «Peculiar pattern found in ‘random’ prime numbers»
3. terrytao.wordpress.com: «Biases between consecutive primes«