Οι τετραδικοί αριθμοί του Hamilton

Posted on 07/06/2015

0


Ο William Rowan Hamilton(1805–1865) ήταν ο σπουδαιότερος Ιρλανδός φυσικο-μαθηματικός με τεράστια συνεισφορά στην κλασσική μηχανική, την οπτική και την άλγεβρα.

Ο Hamilton ανακάλυψε μια εκπληκτική μαθηματική αναλογία μεταξύ μηχανικής και οπτικής. Ενώ η μηχανική πραγματεύεται π.χ. τις τροχιές των πλανητών, κινήσεις βλημάτων ταλαντώσεις εκκρεμών, η οπτική μελετά εκ πρώτης όψεως εντελώς διαφορετικά φαινόμενα, όπως η ανάκλαση, η διάθλαση των ακτίνων φωτός, το ουράνιο τόξο.

Ο Hamilton δεν ανέδειξε μια απλή σύνδεση μεταξύ μηχανικής και οπτικής. Απέδειξε ότι από μαθηματική άποψη ήταν το ίδιο.

Η διατύπωση της μηχανικής διαμέσου της αρχής της ελάχιστης δράσης και της Χαμιλτονιανής συνάρτησης του συστήματος αρχικά έδωσε μια εντυπωσιακή κομψότητα στην κλασική μηχανική. Στη συνέχεια όμως η διατύπωση αυτή έπαιξε κεντρικό ρόλο στην εξέλιξη της σύγχρονης φυσικής.

Πάντως, ο ίδιος ο Hamilton θεωρούσε πως η μεγαλύτερη συνεισφορά του δεν είχε σχέση με την μηχανική, αλλά τα αλγεβρικά αντικείμενα που ονομάζονται τετραδικοί αριθμοί. Οι τετραδικοί αριθμοί ήταν μια προέκταση των μιγαδικών αριθμών.

Ο Hamilton αρχικά θεμελίωσε την θεωρία των μιγαδικών αριθμών ως εξής:

Αν συμβολίσουμε τους πραγματικούς αριθμούς με x, y, x´, y´ …. τότε αντιλαμβανόμαστε τους μιγαδικούς αριθμούς α και β ως α=(x,y) και β=( x´, y´).

Το άθροισμα των δυο μιγαδικών αριθμών α και β ορίζεται ως

α+β=(x+x´, y+y´)

και το γινόμενο ως μια μεταθετική πράξη

 α·β=(x·x´− y·y´, x·y´+ y·x´)

Οι μιγαδικοί αριθμοί δηλαδή μπορούν να θεωρηθούν ως διατεταγμένα ζεύγη πραγματικών αριθμών.

Στη συνέχεια ο Hamilton προσπάθησε να κάνει το ίδιο με διατεταγμένες τριάδες (x,y,z). Καθώς υπάρχουν ανυπέρβλητες δυσκολίες στο να οριστεί ο πολλαπλασιασμός μεταξύ των διατεταγμένων τριάδων, ο Hamilton συνειδητοποιεί ότι μια άλγεβρα τριών διαστάσεων δεν υπάρχει.

Μπορεί όμως να οριστεί άλγεβρα με διατεταγμένες τετράδες, τους τετραδικούς αριθμούς.

Στις 16 Οκτωβρίου 1843 ο Hamilton και η σύζυγός του περπατούσαν στη γέφυρα Broom. Εκεί συνέλαβε τον τρόπο με τον οποίο γίνεται ο πολλαπλασιασμός των διατεταγμένων τετράδων

Στις 16 Οκτωβρίου 1843 ο Hamilton και η σύζυγός του περπατούσαν στη γέφυρα Broom. Εκεί συνέλαβε τον τρόπο με τον οποίο γίνεται ο πολλαπλασιασμός των διατεταγμένων τετράδων. Ο Hamilton χάραξε τους τύπους που ορίζουν το γινόμενο των τετραδικών αριθμών στον τοίχο της γέφυρας. Ενώ, η γέφυρα σώζεται και σήμερα, οι τύποι που χάραξε ο Hamilton σβήστηκαν. Τοποθετήθηκε όμως εκ των υστέρων η αναμνηστική πλάκα της εικόνας.

Διαβάστε περισσότερα για τους τετραδικούς αριθμούς του Hamilton στο άρθρο των A. Mishchenko και Y. Solovyov, που ακολουθεί:

περιοδικό QUANTUM, Νοέμβριος/Δεκέμβριος 2000