Μια παραλλαγή στο θέμα Δ της φυσικής

…. των πανελλαδικών εξετάσεων 2015

Το τέταρτο ζήτημα στα φετινά θέματα φυσικής κατεύθυνσης αναφερόταν στην κύλιση μιας σφαίρας μάζας m και ακτίνας r, στο εσωτερικό ενός ημισφαιρίου ακτίνας R. Στα δυο πρώτα ερωτήματα έπρεπε να υπολογιστεί η στατική τριβή και η κάθετη δύναμη που ασκεί το ημισφαίριο στη σφαίρα συναρτήσει της γωνίας φ:themaD1_2

Θεωρώντας εξ’ αρχής, από το σημείο Α, κύλιση  – από τις εξισώσεις για την σύνθετη κίνηση της σφαίρας και τη διατήρηση της ενέργειας προκύπτει εύκολα η στατική τριβή: Tσ=2mgσυνφ/7 και η κάθετη δύναμη Ν =17m·g·ημφ/7 (δείτε τις λύσεις ΕΔΩ).

Μια από τις ενστάσεις που διατυπώθηκαν για το θέμα αυτό είναι ότι είναι αδύνατον να αρχίσει η κύλιση από το σημείο Α, οπότε στην αρχή θα έχουμε ολίσθηση, γεγονός που δυσκολεύει επικίνδυνα την μελέτη της κίνησης …

Θα είχε ενδιαφέρον, πριν εξετάσουμε την περίπτωση της ολίσθησης+περιστροφή της σφαίρας, να αναλύσουμε μια μάλλον απλούστερη(;) περίπτωση. Την περίπτωση που η σφαίρα είναι υλικό σημείο και έχουμε μόνο ολίσθηση με τριβή.

Πρώτα ας επαναδιατυπώσουμε το πρόβλημα: Από το εσωτερικό άκρο ενός ημισφαιρίου ακτίνας R αφήνεται να ολισθήσει μια σημειακή μάζα m. O συντελεστής τριβής ολίσθησης είναι μ. Να υπολογιστεί η δύναμη της τριβής ολίσθησης Τ και η κάθετη δύναμη Ν συναρτήσει της γωνίας φ. Δίνεται η επιτάχυνση της βαρύτητας g.

sxhmad1

Θεωρούμε ότι η σφαίρα που τώρα ολισθαίνει στο ημισφαίριο είναι σημειακή

Η τριβή ολίσθησης θα είναι: Τ=μ·Ν.

Στο τυχαίο σημείο Γ ισχύει: ΣFR=Fκεντρ → Ν – mgημφ= m·υ2/R  (1)

Η διατήρηση της ενέργειας από το σημείο Α στο Γ δίνει:

m g R ημφ = ½ m υ2 + Q  (2)

όπου Q=|WΑ→Γ| η θερμότητα που παράγεται και ισούται με το έργο της τριβής ολίσθησης από το σημείο Α μέχρι το σημείο Γ.

Συνδυάζοντας τις εξ. (1) και (2) προκύπτει ότι:

Ν=3mgημφ – 2Q/R                  (3)

Υπολογισμός του έργου της τριβής Q=|WΑ→Γ|=y(φ)

dy=T·ds=μΝRdφ και διαμέσου της εξ. (3) παίρνουμε την διαφορική εξίσωση:

dy/dφ + 2μy  = 3μmgRημφ

όπου y(0)=0

Η γενική λύση της εξίσωσης είναι:

y(\phi)= \frac{3 \mu mgR}{1+4 \mu^{2}} \left( e^{-2 \mu \phi} + 2 \mu \sin \phi - \cos \phi \right)

Έτσι, από την εξ. (3) υπολογίζεται η κάθετη δύναμη και η τριβή από την Τ=μ·Ν. Θεωρώντας τις τιμές m=1kg, R=1m, μ=1 και g = 10m/s προκύπτει το παρακάτω διάγραμμα:

plot1

Το διάγραμμα της κάθετης δύναμης Ν συναρτήσει της γωνίας φ, από φ=0 έως φ=π/2. Η τριβή ολίσθησης παριστάνεται από το ίδιο διάγραμμα (μ=1)

Τελικά, όπως φαίνεται από τα παραπάνω όταν θεωρούμε κύλιση εξαρχής (όπως απαιτούσε το θέμα των πανελλαδικών), τότε η επίλυση είναι κατά πολύ ευκολότερη σε σχέση με την περίπτωση που θεωρούμε ολίσθηση υλικού σημείου με τριβή!

Για να ολοκληρωθεί η ιστορία, απομένει η επίλυση του ίδιου προβλήματος, θεωρώντας τη σφαίρα ακτίνας r αρχικά να ολισθαίνει  και στη συνέχεια εφόσον η ταχύτητα του κέντρου μάζας γίνει ίση με ω·r, η σφαίρα να συνεχίζει την κίνησή της με κύλιση – χωρίς να ολισθαίνει. Αλλά αυτό είναι θέμα για μια άλλη ανάρτηση.

Δείτε επίσης:
1. Βαγγέλης Κορφιάτης: Ολίσθηση σφαίρας σε ημισφαίριο
ή EΔΩ
2.
Με αφορμή ένα πρόβλημα Πανελλαδικών: Τι έμαθα από τα λάθη μου



Κατηγορίες:ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ, ΜΗΧΑΝΙΚΗ, ΦΥΣΙΚΗ

Ετικέτες:

6 replies

  1. Νομίζω ότι, όταν η σφαίρα ολισθαίνει, προκύπτει μη γραμμική διαφορική εξίσωση: Η κινητική ενέργεια δε συνδέεται πλέον γραμμικά με την Τ ή τη Ν.

  2. Ο φυσικός Βαγγέλης Κορφιάτης εδώ:

    http://ylikonet.gr/profiles/blogs/3647795:BlogPost:304044

    παρουσιάζει την επίλυση του προβλήματος για σφαίρα ακτίνας r η οποία αρχικά ολισθαίνει και κατόπιν συνεχίζει κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει.

  3. Αν εφαρμόσουμε τη μέθοδο λύσης του Κορφιάτη σε υλικό σημείο που ολισθαίνει (η περίπτωση που εξετάζετε εσείς) τότε βγαίνει διαφορετικό αποτέλεσμα από το δικό σας

  4. Καταρχάς συμμεριζόμαστε τις ενστάσεις σας για το θέμα Δ.Η αναλυτική επίλυση του προβλήματος έχει επιστημονικό ενδιαφέρον.Η ανάδειξη της αντίφασης στο ότι υπάρχει κύλιση χωρίς ολίσθηση από την αρχή οδηγεί σε άτοπο και μάλιστα με απλά εργαλεία φυσικής γνωστά στους μαθητές.Το σημαντικό όμως είναι, όπως προκύπτει απ αυτά τα γεγονότα, η κοινότητα των φυσικών να επαναπροσδιορίσει τα προτεινόμενα θέματα σε έντυπο και ηλεκτρονικό υλικό.Το ανθολόγιο των θεμάτων που προτείνουμε να μην έχει επιστημονικά λανθασμένες απλουστεύσεις ούτε άσκοπη πολυπλοκότητα, που δημιουργούν σύγχυση…και ζημιά σε όλους.

Σχολιάστε

Εισάγετε τα παρακάτω στοιχεία ή επιλέξτε ένα εικονίδιο για να συνδεθείτε:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

Φωτογραφία Google

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Google. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

Σύνδεση με %s

Ο ιστότοπος χρησιμοποιεί το Akismet για την εξάλειψη των ανεπιθύμητων σχολίων. Μάθετε πως επεξεργάζονται τα δεδομένα των σχολίων σας.

Αρέσει σε %d bloggers: