Μια παραλλαγή στο θέμα Δ της φυσικής

Posted on 31/05/2015

6


…. των πανελλαδικών εξετάσεων 2015

Το τέταρτο ζήτημα στα φετινά θέματα φυσικής κατεύθυνσης αναφερόταν στην κύλιση μιας σφαίρας μάζας m και ακτίνας r, στο εσωτερικό ενός ημισφαιρίου ακτίνας R. Στα δυο πρώτα ερωτήματα έπρεπε να υπολογιστεί η στατική τριβή και η κάθετη δύναμη που ασκεί το ημισφαίριο στη σφαίρα συναρτήσει της γωνίας φ:themaD1_2

Θεωρώντας εξ’ αρχής, από το σημείο Α, κύλιση  – από τις εξισώσεις για την σύνθετη κίνηση της σφαίρας και τη διατήρηση της ενέργειας προκύπτει εύκολα η στατική τριβή: Tσ=2mgσυνφ/7 και η κάθετη δύναμη Ν =17m·g·ημφ/7 (δείτε τις λύσεις ΕΔΩ).

Μια από τις ενστάσεις που διατυπώθηκαν για το θέμα αυτό είναι ότι είναι αδύνατον να αρχίσει η κύλιση από το σημείο Α, οπότε στην αρχή θα έχουμε ολίσθηση, γεγονός που δυσκολεύει επικίνδυνα την μελέτη της κίνησης …

Θα είχε ενδιαφέρον, πριν εξετάσουμε την περίπτωση της ολίσθησης+περιστροφή της σφαίρας, να αναλύσουμε μια μάλλον απλούστερη(;) περίπτωση. Την περίπτωση που η σφαίρα είναι υλικό σημείο και έχουμε μόνο ολίσθηση με τριβή.

Πρώτα ας επαναδιατυπώσουμε το πρόβλημα: Από το εσωτερικό άκρο ενός ημισφαιρίου ακτίνας R αφήνεται να ολισθήσει μια σημειακή μάζα m. O συντελεστής τριβής ολίσθησης είναι μ. Να υπολογιστεί η δύναμη της τριβής ολίσθησης Τ και η κάθετη δύναμη Ν συναρτήσει της γωνίας φ. Δίνεται η επιτάχυνση της βαρύτητας g.

sxhmad1

Θεωρούμε ότι η σφαίρα που τώρα ολισθαίνει στο ημισφαίριο είναι σημειακή

Η τριβή ολίσθησης θα είναι: Τ=μ·Ν.

Στο τυχαίο σημείο Γ ισχύει: ΣFR=Fκεντρ → Ν – mgημφ= m·υ2/R  (1)

Η διατήρηση της ενέργειας από το σημείο Α στο Γ δίνει:

m g R ημφ = ½ m υ2 + Q  (2)

όπου Q=|WΑ→Γ| η θερμότητα που παράγεται και ισούται με το έργο της τριβής ολίσθησης από το σημείο Α μέχρι το σημείο Γ.

Συνδυάζοντας τις εξ. (1) και (2) προκύπτει ότι:

Ν=3mgημφ – 2Q/R                  (3)

Υπολογισμός του έργου της τριβής Q=|WΑ→Γ|=y(φ)

dy=T·ds=μΝRdφ και διαμέσου της εξ. (3) παίρνουμε την διαφορική εξίσωση:

dy/dφ + 2μy  = 3μmgRημφ

όπου y(0)=0

Η γενική λύση της εξίσωσης είναι:

y(\phi)= \frac{3 \mu mgR}{1+4 \mu^{2}} \left( e^{-2 \mu \phi} + 2 \mu \sin \phi - \cos \phi \right)

Έτσι, από την εξ. (3) υπολογίζεται η κάθετη δύναμη και η τριβή από την Τ=μ·Ν. Θεωρώντας τις τιμές m=1kg, R=1m, μ=1 και g = 10m/s προκύπτει το παρακάτω διάγραμμα:

plot1

Το διάγραμμα της κάθετης δύναμης Ν συναρτήσει της γωνίας φ, από φ=0 έως φ=π/2. Η τριβή ολίσθησης παριστάνεται από το ίδιο διάγραμμα (μ=1)

Τελικά, όπως φαίνεται από τα παραπάνω όταν θεωρούμε κύλιση εξαρχής (όπως απαιτούσε το θέμα των πανελλαδικών), τότε η επίλυση είναι κατά πολύ ευκολότερη σε σχέση με την περίπτωση που θεωρούμε ολίσθηση υλικού σημείου με τριβή!

Για να ολοκληρωθεί η ιστορία, απομένει η επίλυση του ίδιου προβλήματος, θεωρώντας τη σφαίρα ακτίνας r αρχικά να ολισθαίνει  και στη συνέχεια εφόσον η ταχύτητα του κέντρου μάζας γίνει ίση με ω·r, η σφαίρα να συνεχίζει την κίνησή της με κύλιση – χωρίς να ολισθαίνει. Αλλά αυτό είναι θέμα για μια άλλη ανάρτηση.

Δείτε επίσης:
1. Βαγγέλης Κορφιάτης: Ολίσθηση σφαίρας σε ημισφαίριο
ή EΔΩ
2.
Με αφορμή ένα πρόβλημα Πανελλαδικών: Τι έμαθα από τα λάθη μου