Η σάλπιγγα του Γαβριήλ (ή τρομπέτα του Torricelli)

Posted on 14/07/2014

0


gabriel's horn1Η σάλπιγγα του Γαβριήλ ή αλλιώς τρομπέτα του Torricelli δημιουργείται από την περιστροφή της γραφικής παράστασης της συνάρτησης y = \frac{1}{x} γύρω από τον άξονα x (για x>1).gabriel's horn2

O όγκος του στερεού που προκύπτει μ’ αυτόν τον τρόπο (θεωρώντας ότι η βάση του στερεού αρχίζει από το σημείο x=1) είναι πεπερασμένος:

V= \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^{2} dx = \pi \int_{1}^{\infty} = \frac{1}{x^{2}} dx = \pi

ενώ το εμβαδόν της επιφανείας του τείνει στο άπειρο:

A = 2 \pi \int_{1}^{\infty} f(x) \sqrt{1+[df(x)/dx]^{2}} dx = 2 \pi \int_{1}^{\infty} \frac{1}{x} \sqrt{1+ 1/x^{4}} dx < 2 \pi \int_{1}^{\infty} \frac{1}{x} dx \rightarrow \infty

Αυτό μας οδηγεί στο παράδοξο του μπογιατζή: η σάλπιγγα του Γαβριήλ μπορεί μεν να γεμίζει με 3,14 κυβικές μονάδες μπογιάς, αλλά για να καλυφθεί η επιφάνειά της χρειάζονται άπειρες τετραγωνικές μονάδες μπογιάς!

Τώρα βέβαια σχετικά με το αν υπάρχει μπογιά … με μόρια που χωράνε (από ένα σημείο και μετά) στον «απείρως» λεπτό λαιμό της σάλπιγγας του Γαβριήλ, είναι μια άλλη ιστορία….
….διαβάστε περισσότερα: mathworld.wolfram.com – www.skepticink.com – wikipedia.org