Αρχική › ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ › Η παραβολή του πολλαπλασιασμού

Η παραβολή του πολλαπλασιασμού

By on • ( 0 )

… και η ελλειπτική κρυπτογραφία

Η γραφική παράσταση της απλούστερης παραβολής y=x^2 μπορεί να μας βοηθήσει να βρούμε αμέσως γινόμενο δυο οποιωνδήποτε αριθμών(*). Για παράδειγμα, έστω ότι θέλουμε να βρούμε το αποτέλεσμα του γινομένου 4×10. Σημειώνουμε στην γραφική παράσταση τα σημεία A(x=10, y=102=100) και Β(x=–4, y=42=16). Η ευθεία ΑΒ τέμνει τον άξονα y στο σημείο C(0,40) – δίνοντας την σωστή απάντηση 4×10=40(*). Σημειώστε ότι παίρνετε επίσης την σωστή απάντηση αν χρησιμοποιούσατε αντίστροφα το –10 και το 4. (Μπορείτε να επαληθεύσετε το αποτέλεσμα αυτό με διαφορετικά νούμερα χρησιμοποιώντας την εφαρμογή ΕΔΩ: TheMultiplicationParabola).

Έτσι, αν βρεθείτε ποτέ χωρίς αριθμομηχανή και πρέπει να πολλαπλασιάσετε δύο αριθμούς, μπορείτε να σχεδιάσετε μια παραβολή για να σας βοηθήσει. Ομολογουμένως, δεν είναι και η πιο πρακτική μέθοδος, ειδικά όταν υπολογίζετε το γινόμενο μη ακέραιων αριθμών όπου πιθανότατα δεν θα μπορέσετε να προσδιορίσετε το αποτέλεσμα με ακρίβεια χρησιμοποιώντας π.χ. χαρτί μιλιμετρέ. Παρόλα αυτά, μπορείτε να κάνετε μια αξιοπρεπή εκτίμηση.

Από τις παραβολές στις ελλειπτικές καμπύλες

Τι σχέση μπορεί να έχει η παραπάνω εφαρμογή με την κρυπτογραφία; Καμμία!
Ο λόγος είναι ότι η διαδικασία είναι αναστρέψιμη. Αν γνωρίζουμε το σημείο τομής και τον έναν από τους δύο αριθμούς μπορούμε εύκολα με μια απλή διαίρεση να ανακαλύψουμε τον δεύτερο αριθμό. Στην κρυπτογραφία χρειάζεται μια «μαθηματική πράξη» που να υπολογίζεται εύκολα προς τη μία κατεύθυνση, αλλά να είναι πρακτικά αδύνατον να αντιστραφεί. Και γι αυτό εγκαταλείπουμε την απλή παραβολή και περνάμε στις ελλειπτικές καμπύλες(**). Σε μια προσέγγιση που θυμίζει την παραβολική αριθμομηχανή, η κρυπτογραφία εκμεταλλεύεται σημεία κατά μήκος μιας ελλειπτικής καμπύλης σε συνδυασμό με απλή αριθμητική για να δημιουργήσει δημόσια και ιδιωτικά κλειδιά.

Οι κρυπτογράφοι αναζητούν μαθηματικά προβλήματα που είναι εύκολο να λυθούν αλλά δύσκολο να αντιστραφούν. Για παράδειγμα, ο πολλαπλασιασμός δύο μεγάλων πρώτων αριθμών είναι εύκολος, αλλά ο προσδιορισμός των δύο πρώτων παραγόντων που οδήγησαν στο συγκεκριμένο γινόμενο είναι πολύ δύσκολος. Στην πραγματικότητα, μία από τις πρώτες σύγχρονες μεθόδους κρυπτογράφησης, η λεγόμενη μέθοδος Rivest-Shamir-Adleman (RSA), βασίζεται σε μαθηματικά που σχετίζονται με την παραγοντοποίηση πρώτων αριθμών.

Η εικόνα δείχνει τον γεωμετρικό κανόνα πρόσθεσης σημείων σε μια ελλειπτική καμπύλη: η ευθεία που περνά από τα σημεία P και Q τέμνει ξανά την καμπύλη στο σημείο R=P+Q. Η κρυπτογραφία ελλειπτικών καμπυλών βασίζεται πάνω στην πράξη αυτή, επαναλαμβάνοντάς την πολλές φορές. Έτσι, από ένα δημόσιο σημείο εκκίνησης P και το ιδιωτικό κλειδί, έναν μυστικό μεγάλο ακέραιο k, υπολογίζεται το δημόσιο κλειδί, το σημείο Q=kP, που μπορούμε να το στείλουμε σε οποιονδήποτε. Η ασφάλεια βασίζεται στο ότι η αντίστροφη διαδικασία, δηλαδή η εύρεση του k από τα P και Q, είναι πρακτικά αδύνατη.

Αυτή η μορφή κρυπτογραφίας είναι ταχύτερη, ασφαλής και περιλαμβάνει σχετικά μικρούς αριθμούς, κι αυτό προς το παρόν την κάνει μια πιο αποδοτική επιλογή σε σχέση με την μέθοδο RSA, η οποία βασίζεται σε μεγάλους πρώτους αριθμούς. Άραγε, ποιό θα είναι το επόμενο βήμα στην κρυπτογραφία, όταν στο μέλλον οι κβαντικοί υπολογιστές καταφέρουν να σπάσουν αυτά τα εμπόδια;

διαβάστε περισσότερες λεπτομέρειες: Why parabolas are crucial to cryptography – https://www.scientificamerican.com/article/why-parabolas-are-crucial-to-cryptography/

(*) Για την παραβολή y = x^2 και δύο τυχαία σημεία της \text{A}(x_1, x_1^2) και \text{B}(-|x_2|, x_2^2), μπορεί κανείς να αποδείξει εύκολα ότι η ευθεία που διέρχεται από τα A και B τέμνει τον άξονα y στο σημείο C(0, x_{1}x_{2}).
(**) Πρόκειται για καμπύλες της μορφής y^2 = x^3 +a \, x +b

‹

Κατηγορίες:ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

Ετικέτες: ,

Σχολιάστε

Ο ιστότοπος χρησιμοποιεί το Akismet για την εξάλειψη των ανεπιθύμητων σχολίων. Μάθετε πως επεξεργάζονται τα δεδομένα των σχολίων σας.