Αρχική › ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ › Να δείξετε ότι: 1 x 2 x 3 x 4 x … = √(2π)

Να δείξετε ότι: 1 x 2 x 3 x 4 x … = √(2π)

By on • ( 2 )

H απλή μαθηματική λογική μας λέει ότι το απειρογινόμενο \prod\limits_{n=1}^\infty n=1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5 \times \cdots \rightarrow \infty, προφανώς τείνει στο άπειρο.

Όμως, κάποιοι ισχυρίζονται ότι μερικές φορές ισούται και με την τετραγωνική ρίζα του 2π, \prod\limits_{n=1}^\infty n =1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5 \times \cdots = \sqrt{2 \pi} (για παράδειγμα, δείτε εδώ την εξ. 7)

Θα μπορούσε λοιπόν κανείς, βλέποντας την παραπάνω εξίσωση, να ισχυριστεί ότι ο αριθμός \sqrt{2 \pi} διαιρείται ακριβώς … με κάθε ακέραιο αριθμό, οσοδήποτε μεγάλο!
Πως μπορεί κανείς να οδηγηθεί σ’ αυτό το παράδοξο αποτέλεσμα;
Αρκεί να ξεκινήσει από την συνάρτηση ζήτα του Riemman και την παράγωγο της σειράς Dirichlet:
-\zeta'(s) = \dfrac{\ln 1}{1^{s}} + \dfrac{\ln 2}{2^{s}} + \dfrac{\ln 3}{3^{s}}+ \cdots ή \zeta'(s) = -\dfrac{\ln 1}{1^{s}} + \dfrac{\ln (1/2)}{2^{s}} + \dfrac{\ln (1/3)}{3^{s}}+ \cdots , απ’ όπου για s=0 προκύπτει: \zeta'(0) = \ln \dfrac{1}{\sqrt{2 \pi}} = -\ln 1 + \ln (1/2) + \ln (1/3) + \cdots και - \ln \sqrt{2 \pi} = -(\ln 1 + \ln 2 + \ln 3 + \cdots ) ή \prod\limits_{n=1}^\infty n= \sqrt{2 \pi}.

Περισσότερες λεποτμέρειες θα βρείτε στο σχετικό βίντεο «I Found Out What Infinity Factorial Is»:

… αλλά και στο επόμενο βίντεο «UNBELIEVABLE: 1 x 2 x 3 x 4 x … = √2π», το οποίο μάλιστα μας θυμίζει ένα άλλο ‘απίστευτο’ αποτέλεσμα: \sum\limits_{n=1}^\infty n = 1+2+3+4+5+ \cdots \rightarrow -1/12 (δείτε σχετικά εδώ και εδώ):

διαβάστε επίσης: Muñoz García, E. and Pérez Marco, R. «The Product Over All Primes is 4π2» Preprint IHES/M/03/34. May 2003 – https://webusers.imj-prg.fr/~ricardo.perez-marco/publications/articles/CMP2008.pdf

‹
›

Κατηγορίες:ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

Ετικέτες: ,

2 replies

  1. Γιώργος Στεφάνου
    21/04/2024 • 12:09 μμ

    Είναι εσφαλμένος ο ισχυρισμός. Εφόσον ο s είναι πραγματικός αριθμός, η σειρά Dirichlet συγκλίνει για s>1 και αποκλίνει για s<=1. Επομένως η συνάρτηση ζ του Riemann ορίζεται για s>1 και δεν ορίζεται για s<=1. Η συνάρτηση ζ είναι παραγωγίσιμη στο πεδίο ορισμού της, δηλαδή για s>1. Για s=0 η συνάρτηση ζ δεν ορίζεται, καθώς η αντίστοιχη σειρά Dirichlet αποκλίνει. Εφόσον το s=0 είναι εκτός του πεδίου ορισμού της συνάρτησης ζ, τότε δεν ορίζεται η παράγωγός της σε αυτό το σημείο. Η σωστή απάντηση είναι ότι το απειρογινόμενο 1 x 2 x 3 x … αποκλίνει, δηλαδή τείνει στο +οο.

    Reply ↓

Σχολιάστε

Ο ιστότοπος χρησιμοποιεί το Akismet για την εξάλειψη των ανεπιθύμητων σχολίων. Μάθετε πως επεξεργάζονται τα δεδομένα των σχολίων σας.