Το μικρό ρομπότ, οι μαύρες τρύπες και η σπαγγετοποίηση

Οι παλιρροϊκές δυνάμεις που δημιουργούνται από μια μαύρη τρύπα μπορεί να είναι τόσο ισχυρές ώστε να προκαλέσουν σε κάποιο αντικείμενο απεριόριστο τέντωμα – αυτό που είναι γνωστό ως μακαρονοποίηση ή σπαγγετοποίηση. H λεπτομερής ανάλυση αυτού του φαινομένου απαιτεί την χρήση της θεωρίας της γενικής σχετικότητας του Αϊνστάιν.

Θα κάνουμε μια υπόθεση. Έστω ότι στα σχολεία μέσης εκπαίδευσης διδασκόταν κάποιο σχετικό μάθημα που θα παρουσίαζε την εξέλιξη των άστρων, επομένως και το τελικό τους στάδιο, τις μαύρες τρύπες (το μάθημα θα μπορούσε να ονομάζεται π.χ. «Αστρονομία»). Τίθεται το εξής ερώτημα: στο πλαίσιο ενός τέτοιου μαθήματος θα ήταν δυνατόν να γίνει μια προσιτή παρουσίαση του φαινομένου της σπαγγετοποίησης, όπου τα πολύπλοκα μαθηματικά της θεωρίας του Αϊνστάιν να αντικατασταθούν με τις απλούστερες και πιο κατανοητές έννοιες της νευτώνειας βαρύτητας; Η απάντηση είναι μάλλον καταφατική.

Το φαινόμενο της σπαγγετοποίησης, ένα από τα πιο ακραία φαινόμενα που προκαλούνται από την βαρύτητα μιας μαύρης τρύπας, έγινε ευρέως γνωστό από τον Stephen Hawking μέσα από το διάσημο βιβλίο του «Το χρονικό του χρόνου» που κυκλοφόρησε το 1988. Για να απεικονίσει αυτό το φαινόμενο, ο Hawking φαντάζεται έναν άτυχο αστροναύτη να πέφτει σε μια μαύρη τρύπα. Η βαρύτητα γίνεται πιο ισχυρή όσο πιο κοντά βρίσκεται κανείς στην μαύρη τρύπα. άστρο. Έτσι η δύναμη της βαρύτικής έλξης στα πόδια του ατρόμητου αστροναύτη θα ήταν μεγαλύτερη από τη δύναμη στο κεφάλι του. Η διαφορά αυτή θα επιμήκυνε το σώμα του και θα τον διαμέλιζε, μετατρέποντάς τον σε μια μακριά, λεπτή γραμμή υποατομικών σωματιδίων. Ένας αστροναύτης «τεντωμένος σαν μακαρόνι». Η εξήγηση αυτού του φαινομένου είναι απλή διαμέσου των παλιρροϊκών δυνάμεων, ένα βαρυτικό φαινόμενο που περιγράφεται απλούστερα στο πλαίσιο της νευτώνειας φυσικής, χωρίς τα πολύπλοκα μαθηματικά της θεωρία της σχετικότητας.

Παλιρροϊκές δυνάμεις

Σύμφωνα με τη νευτώνεια φυσική η βαρυτική δύναμη μεταξύ ενός σωματίου μάζας m και ενός ομογενούς σφαιρικού σώματος μάζας M είναι:

F= \frac{Gm \, M}{r^{2}}

όπου r η απόσταση του σωματιδίου από το κέντρο του σφαιρικού σώματος.

Στο παραπάνω σχήμα σημειώνονται οι δυνάμεις που ασκούνται σε τέσσερα σωματίδια μάζας m που βρίσκονται στα σημεία A, B, C, D, από το ομογενές σφαιρικό σώμα μάζας M>>m. Eίναι φανερό ότι τα σωματίδια στα σημεία Α και Β δέχονται διαφορετικού μέτρου δύναμη – η δύναμη στο Β είναι μεγαλύτερη από το Α – γεγονός που τα αναγκάζει να απομακρυνθούν μεταξύ τους (ακτινικές παλλιροιακές δυνάμεις). Από την άλλη, τα C και D, που βρίσκονται στην εγκάρσια κατεύθυνση, βιώνουν βαρυτικές δυνάμεις ίδιου μέτρου, αλλά με διαφορετικές κατευθύνσεις. Οι δυνάμεις αυτές αναγκάζουν τα σωματίδια να πλησιάσει το ένα το άλλο (εγκάρσιες
παλιρροιακές δυνάμεις).

Aν τώρα θεωρήσουμε ότι τα σωματίδια Α, B, C, D ανήκουν σε οιοδήποτε στερεό αντικείμενο, συμπεραίνουμε ότι το αντικείμενο θα βιώσει ακτινικό τέντωμα και εγκάρσια συμπίεση καθώς θα πλησιάζει το μεγάλης μάζας σφαιρικό σώμα.

Άσκηση 1: Αν Δr είναι η απόσταση που φαίνεται στο παρακάτω σχήμα, να δείξετε ότι το μέτρο της διαφοράς των ακτινικών δυνάμεων είναι: \Delta F_{R}=F_{B}-F_{A}=\frac{2G\,M\,m\,\Delta r}{r^{3}} \, \,\, (1)

Άσκηση 2: Αν ΔR είναι η απόσταση που φαίνεται στο παρακάτω σχήμα, να δείξετε ότι η διαφορά των εγκάρσιων συνιστωσών των δυνάμεων \vec{F}_{C} και \vec{F}_{D}, σύμφωνα με το παρακάτω σχήμα έχει μέτρο: \Delta F_{T}=F_{C,T}-(-F_{D, T})=\frac{G\,M\,m\,\Delta R}{r^{3}} \, \,\, (2)

Ας εστιάσουμε τώρα τις επιπτώσεις των παλιρροϊκών δυνάμεων σε ένα μικρό ρομπότ μάζας 1kg και ύψους 1m που πέφτει σε μια μαύρη τρύπα. Στην περίπτωση αυτή θέτοντας Δr=ΔR=1m και m=1kg στις εξισώσεις (1) και (2), παιρνουμε: \Delta F(N)=\frac{2G\,M}{r^{3}} =\Delta F_{R} (N)= 2 \Delta F_{T} \, \, \, (3) (Το Ν στην παρένθεση δηλώνει ότι η μονάδα μέτρησης της δύναμης είναι το 1 Newton).

Ας σημειωθεί ότι όταν το ρομπότ βρίσκετιαι στην επιφάνεια της Γης, τότε οι παλιρροϊκές δυνάμεις που δέχεται από την Γη, είναι πολύ μικρές, της τάξης των 10-6Ν.

Τι θα συμβεί στο μικρό ρομπότ όταν θα πέφτει σε μια μαύρη τρύπα;

Για να περιγράψουμε τις παλιρροϊκές δυνάμεις που ασκούνται από μια μαύρη τρύπα στο μικρό ρομπότ, είναι βολικό να ξαναγράψουμε την εξ. (3) ως συνάρτηση της ακτίνας Schwarzschild (RS=2GM/c2): \,\, \Delta F(N)=\frac{R_{S}c^{2}}{r^{3}}=\frac{c^{2}/R_{S}^{2}}{r^{3}/R_{S}^{3}}  \,\,\, (4)

Η εξίσωση (4) δείχνει το μέγεθος των παλιρροϊκών δυνάμεων στην εξωτερική περιοχή μιας μαύρης τρύπας (r ≥ RS). Είναι σημαντικό να τονιστεί ότι αν και η εξ. (4) συμπίπτει με το αποτέλεσμα που δίνει η γενική θεωρία της σχετικότητας, μια αυστηρή μαθηματική αντιμετώπιση του προβλήματος απαιτεί την θεωρία του Αϊνστάιν. Η νευτώνεια φυσική μας δίνει μόνο μια πρώτη προσέγγιση, το πλεονέκτημα της οποίας είναι η απλότητα, η οποία την καθιστά ιδιαίτερα χρήσιμη στο ‘υποθετικό μάθημα Αστρονομίας’.

Αν θεωρήσουμε r=RS παίρνουμε τις παλιρροϊκές δυνάμεις που ασκούνται στο μικρό ρομπότ στον ορίζοντα των γεγονότων της μαύρης τρύπας: \Delta F(N)=\frac{c^{2}}{R_{S}^{2}} = \frac{c^{6}}{4G^{2}M^{2}} \,\,\, (5)

Η παραπάνω εξίσωση μας δίνει ένα πρώτο μη αναμενόμενο (διαισθητικά) αποτέλεσμα: οι παλιρροϊκές δυνάμεις είναι πολύ μικρότερες όταν μια μαύρη τρύπα είναι τεράστια. Πρόκειται για μια άμεση συνέπεια του ότι η ακτίνα Schwarzschild είναι ανάλογη με τη μάζα της μαύρης τρύπας – μια θεμελιώδης πρόβλεψη της γενικής σχετικότητας.

Αν και είναι δύσκολο να εξηγηθεί διαισθητικά η εξ. (5), μπορούμε να πούμε εν συντομία ότι οι παλιρροϊκές δυνάμεις είναι το νευτώνειο ισοδύναμο της καμπυλότητας του χωροχρόνου, που είναι η κεντρική έννοια της γενικής σχετικότητας.Η εξ. (5) εκφράζει το γεγονός ότι η καμπυλότητα στον ορίζοντα είναι αντιστρόφως ανάλογη της μάζας: όσο μεγαλύτερη είναι η μάζα μιας μαύρης τρύπας, τόσο μικρότερη είναι η καμπυλότητα στον ορίζοντα.

Οι μεγαλύτερες μαύρες τρύπες, οι λεγόμενες υπερμεγέθεις μαύρες τρύπες, βρίσκονται στα κέντρα των περισσότερων γαλαξιών. Η μάζα μιας υπερμεγέθους τρύπας μπορεί να φτάσει τιμές της τάξης των 1010M (όπου M η μάζα του Ήλιου=2×1030 kg) με ακτίνα Schwarzschild R_{S} \sim 3 \times10^{13}m. Γι αυτές τις τιμές προκύποτει ότι στον ορίζοντα μιας υπερμεγέθους μαύρης τρύπας (r/RS=1), οι παλιρροϊκές δυνάμεις είναι της τάξης των 10−10N. Πολύ μικρότερες από τις αντίστοιχες παλιρροιακές δυνάμεις στην επιφάνεια της γης. Επομένως οι υπερμεγέθεις τρύπες δεν δημιουργούν σπαγγετοποίηση, τουλάχιστον στην εξωτερική περιοχή του ορίζοντα των γεγονότων της.

Τι συμβαίνει στις αστρικές μαύρες τρύπες των οποίων οι μάζες είναι πολλαπλάσιο της μάζας M του ήλιου και με ακτίνα Schwarzschild R_{S} \sim 3 \times10^{3}m;

Θεωρώντα πάλι r/RS=1 προκύπτουν παλιρροϊκές δυνάμεις της τάξης των 1010N, που είναι 1016 φορές μεγαλύτερες από την παλιρροιακή δύναμη στην επιφάνεια της γης και 1020 φορές μεγαλύτερες από τις αντίστοιχες των υπερμεγέθων μαύρων τρυπών. Αυτή είναι μια κολοσσιαία δύναμη που θα διαμέλιζε το άτυχο ρομπότ. Στην πραγματικότητα, το μικρό ρομπότ θα σπαγγετοποιηθεί, πολύ πριν φτάσει στον ορίζοντα των γεγονότων.

Tρείς διαδοχικές θέσεις του μικρού ρομπότ καθώς πέφτει ελέυθερα σε μια μάυρη τρύπα

Πάντως ανεξάρτητα από τη μάζα ή το μέγεθος μιας μαύρης τρύπας, η σπαγγετοποίηση είναι αναπόφευκτη για κάθε αντικείμενο που πέφτει προς αυτή και το τελικό αποτέλεσμα είναι η μετατροπή του σε μια μακριά και λεπτή γραμμή υποατομικών σωματιδίων σαν μακαρόνι.

περισσότερες λεπτομέρειες (+ οι απαντήσεις των ασκήσεων) βρίσκονται ΕΔΩ: Jorge Pinochet, ‘The little robot, black holes, and spaghettification



Κατηγορίες:ΒΑΡΥΤΗΤΑ, ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ, ΜΑΥΡΕΣ ΤΡΥΠΕΣ, ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑ

Ετικέτες: ,

Σχολιάστε

Εισάγετε τα παρακάτω στοιχεία ή επιλέξτε ένα εικονίδιο για να συνδεθείτε:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

Σύνδεση με %s

Ο ιστότοπος χρησιμοποιεί το Akismet για την εξάλειψη των ανεπιθύμητων σχολίων. Μάθετε πως επεξεργάζονται τα δεδομένα των σχολίων σας.

Αρέσει σε %d bloggers: