Η συνάρτηση Lambert W και το 2ο θέμα των Μαθηματικών

Σήμερα οι μαθητές της θετικής κατεύθυνσης των γενικών λυκείων εξετάστηκαν στα μαθηματικά. Όσοι ενδιαφέρονται για το σύνολο των θεμάτων θα τα βρούν ΕΔΩ: www.mathematica.gr. Δείτε τις ενδεικτικές απαντήσεις τις Κεντρικής Επιτροπής Εξετάσεωνι ΕΔΩ.

Στη συνέχεια θα ασχοληθούμε εντελώς ‘φιλολογικά’ με το δεύτερο θέμα:

Η συνάρτηση που κυριαρχεί στο θέμα αυτό είναι η f(x)=xe1-x της οποίας η γραφική παράσταση είναι κάπως έτσι:

Θα αναζητήσουμε μια «κλειστή μορφή» των ριζών της εξίσωσης f(x)=λ, όπου λ πραγματικός αριθμός. Έχουμε: xe^{1-x}=\lambda \Rightarrow -xe^{-x}=-\frac{\lambda}{e} και θέτοντας w=-x, προκύπτει: we^{w}=-\frac{\lambda}{e} . H εξίσωση αυτή μπορεί να λυθεί χρησιμοποιώντας την συνάρτηση Lambert Wσυνάρτηση ωμέγα).

Η συνάρτηση Lambert, σύμφωνα με την θεωρία των μιγαδικών συναρτήσεων, είναι μια πλειότιμη συνάρτηση, δηλαδή οι κλάδοι της αντίστροφης συνάρτησης f(w) = wew, όπου w είναι οποιοσδήποτε μιγαδικός αριθμός. Για κάθε ακέραιο k υπάρχει ένας κλάδος της πλειοτίμου συνάρτησης που συμβολίζεται με Wk(z). Το W0 ονομάζεται πρωτεύων κλάδος. Αυτές οι συναρτήσεις έχουν την εξής ιδιότητα: εάν τα z και w είναι μιγαδικοί αριθμοί, τότε η σχέση wew=z ισχύει αν και μόνο αν w=Wk(z) για κάποιον ακέραιο k.

Αλλά εδώ ενδιαφερόμαστε για πραγματικούς αριθμούς. Τότε αρκούν οι δυο κλάδοι W0 και W−1. Θεωρώντας πραγματικούς αριθμούς τα w και z η εξίσωση wew=z μπορεί να λυθεί ως προς w μόνον εφόσον z≥−1/e :

όταν z≥0, έχουμε μία ρίζα την w=W0(z), ενώ αν −1/e ≤ z < 0 έχουμε δύο ρίζες τις w= W0(z) και w=W−1(z).

Στο δεύτερο θέμα ζητούνται οι λύσεις της εξίσωσης we^{w}=z , όπου w=-x και z= -\frac{\lambda}{e}. Έτσι, σύμφωνα με τα παραπάνω, η εξίσωση έχει λύση(-εις) μόνο όταν -\frac{\lambda}{e} \geq -\frac{1}{e} \Rightarrow \lambda \leq 1, και

  • στην περίπτωση που z= -\frac{\lambda}{e}  \geq 0 \rightarrow  \lambda \leq 0 η ρίζα υπολογίζεται από την εξίσωση: x=-W_{0} \left( -\frac{\lambda}{e} \right) (π.χ για λ=−0,5 προκύπτει η ρίζα x≈−0,157185)
  • στην περίπτωση που -\frac{1}{e} \leq z <0 \Rightarrow 0 < \lambda \leq 1 έχουμε δύο ρίζες x_{1}=-W_{0}  \left( -\frac{\lambda}{e} \right) και x_{2}=-W_{1}  \left( -\frac{\lambda}{e} \right) (π.χ. για λ=+0,5 προκύπτουν οι ρίζες x1≈0,231 και x2≈2,678. Η περίπτωση λ=1 δίνει μια ‘διπλή’ ρίζα x=1).

Και δεδομένου ότι τα πάντα συσχετίζονται με την Φυσική, δείτε ένα παράδειγμα για το πως η συνάρτηση Lambert μπορεί να χρησιμοποιηθεί στην μαθηματική έκφραση του νόμου της μετατόπισης του Wien (διαβάστε σχετικά ΕΔΩ): \lambda_{max} T = \frac{hc}{k[W_{0}(-5/e^{5})+5]}



Κατηγορίες:ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

Ετικέτες: , ,

Σχολιάστε

Εισάγετε τα παρακάτω στοιχεία ή επιλέξτε ένα εικονίδιο για να συνδεθείτε:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

Φωτογραφία Google

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Google. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

Σύνδεση με %s

Ο ιστότοπος χρησιμοποιεί το Akismet για την εξάλειψη των ανεπιθύμητων σχολίων. Μάθετε πως επεξεργάζονται τα δεδομένα των σχολίων σας.

Αρέσει σε %d bloggers: