Η περίοδος του κατεψυγμένου εκκρεμούς

Posted on 02/07/2020

0


Ένα φυσικό εκκρεμές είναι κατασκευασμένο από μια αβαρή κοίλη σφαίρα ακτίνας R γεμάτη με νερό που είναι στερεωμένη σε αβαρή ράβδο και αναρτάται στο σημείο Ο, όπως φαίνεται στο σχήμα. Η απόσταση του σημείου Ο από το κέντρο της σφαίρας είναι ℓ. Το φυσικό εκκρεμές εκτελεί μικρές ταλαντώσεις έτσι ώστε ημθ≈θ. Θα μεταβληθεί η περίοδος του εκκρεμούς αν το νερό παγώσει και κολλήσει στον σφαιρικό φλοιό; (Αγνοήστε το ιξώδες του νερού και την διαστολή του όγκου του όταν παγώνει).

απάντηση:
Αν είχαμε ένα απλό εκκρεμές – σημειακή μάζα m που αναρτάται με αβαρές νήμα μήκους ℓ από το σημείο Ο – τότε εφαρμόζοντας την θεμελιώδη εξίσωση της στροφικής κίνησης παίρνουμε:
\tau_{O}= I_{O}\frac{d^{2}\theta}{dt} \Rightarrow -mg \ell \sin\theta = m\ell^{2} \frac{d^{2}\theta}{dt}, όπου I_{O}=m \ell^{2}.
Τελικά, \theta''(t)+\frac{g}{\ell}\sin\theta = 0, απ’ όπου προκύπτει η πασίγνωστη σχέση της περιόδου του απλού εκκρεμούς(*): \omega_{0}^2=\frac{g}{\ell}=\frac{2\pi}{T} \Rightarrow T=2\pi\sqrt{\frac{\ell}{g}}
Τώρα στην περίπτωσή του φυσικού εκκρεμούς το μόνο που αλλάζει είναι η ροπή αδράνειας:
-mg \ell \sin\theta = I_{O}\frac{d^{2}\theta}{dt} \Rightarrow ή \theta''(t)+\frac{g}{\ell'}\sin\theta = 0, όπου \ell'=\frac{I_{O}}{m\ell}
Eπομένως η περίοδος θα δίνεται από την σχέση: T=2\pi\sqrt{\frac{I_{O}/m\ell}{g}}.

Στην περίπτωση που το νερό είναι παγωμένο και κολλημένο στον σφαιρικό φλοιό, η ροπή αδράνειας από θεώρημα Steiner θα είναι: I_{O}=I_{CM}+m \ell^{2}= \frac{2}{5}mR^{2}+m \ell^{2} και η περίοδος του κατεψυγμένου φυσικού εκκρεμούς: T_{\pi a \gamma}=2\pi \sqrt{\left(\frac{2R^{2}}{5\ell^{2}}+1\right)\frac{\ell}{g}}.
Όταν το νερό είναι υγρό δεν περιστρέφεται και η περίοδος του συστήματος θα ισούται με την περίοδο του απλού εκκρεμούς (εφόσον ράβδος και σφαιρικός φλοιός είναι αβαρή): T_{\upsilon\gamma\rho}=2\pi\sqrt{\frac{\ell}{g}}. Το κατεψυγμένο εκκρεμές λοιπόν θα έχει μεγαλύτερη περίοδο από το απλό εκκρεμές κατά έναν παράγοντα \sqrt{\frac{2R^{2}}{5\ell^{2}}+1}.

πηγή: πρόβλημα 4.43 από το βιβλίο “Problems in General Physics”, I.E. Irodov, με αφορμή το σχόλιο ΕΔΩ και το περιβόητο ερώτημα Δ5 των πανελλαδικών εξετάσεων.

(*) Υπενθυμίζεται ότι η ταλάντωση του απλού εκκρεμούς δεν διδάσκεται στους μαθητές των Λυκείων εδώ και 20 χρόνια, παρά το γεγονός ότι οι μαθητές βασανίζονται «μεθοδολογικά» με τους πιο απίθανους συνδυασμούς ταλαντώσεων ελατηρίων. Οι εκάστοτε μεταρρυθμιστές των φυσικών επιστημών προφανώς θεωρούν ότι το απλό εκκρεμές ανήκει στον 18ο αιώνα και η μελέτη του δεν έχει να προσφέρει κάτι καινούργιο στους μαθητές.

Posted in: ΜΗΧΑΝΙΚΗ