Μια Απολλώνια ισοδυναμική επιφάνεια

Posted on 05/11/2019

0


Στα σημεία Β και Γ, που απέχουν μεταξύ τους απόσταση ΒΓ=12cm, τοποθετούνται δυο σημειακά ηλεκτρικά φορτία QB=1μC και QΓ=–2μC. Να προσδιοριστούν τα σημεία στα οποία το δυναμικό του ηλεκτροστατικού πεδίου των δυο ηλεκτρικών φορτίων είναι μηδέν. Δίνεται ηλεκτροστατική σταθερά k=9·109 Nm2/C2.

Λύση:
Ας ψάξουμε πρώτα για κάποιο σημείο με δυναμικό μηδέν πάνω στην ευθεία που ενώνει τα φορτία Β και Γ. Έστω ότι στο σημείο Δ το δυναμικό είναι μηδέν. Τότε θα ισχύει:  V_{\Delta}=k\frac{Q_{B}}{\Delta B} + k \frac{Q_{\Gamma}}{\Delta \Gamma}=0 \Rightarrow \frac{\Delta B}{\Delta\Gamma} =- \frac{Q_{B}}{Q_{\Gamma}} ή \frac{\Delta B}{\Delta\Gamma} =\frac{1}{2}    (1)
Εφόσον ΒΔ+ΔΓ=12cm, εύκολα προκύπτει ότι ΒΔ=4cm.
Στη συνέχεια θα ψάξουμε για δεύτερο σημείο με δυναμικό μηδέν πάνω στην ευθεία που ενώνει τα φορτία Β και Γ. Το σημείο αυτό, έστω το σημείο Ε, είναι λογικό να βρίσκεται αριστερά του φορτίου Β (αφού QB<|QΓ|).
Όπως και πριν, θα ισχύει V_{E}=k\frac{Q_{B}}{EB} + k \frac{Q_{\Gamma}}{B \Gamma}=0 \Rightarrow \frac{EB}{E\Gamma} =- \frac{Q_{B}}{Q_{\Gamma}} ή \frac{EB}{E\Gamma} =\frac{1}{2}    (2)
Εφόσον ΕΓ–ΕΒ=12cm, θα έχουμε ΕΒ=12cm.

Παρατηρώντας τις εξισώσεις (1) και (2) βλέπουμε ότι και για τα δύο σημεία Δ και Ε όπου το δυναμικό είναι μηδέν ο λόγος των αποστάσεών τους από τα δύο φορτία είναι ίσος με 1/2 (στην γενικότερη περίπτωση ισούται με τον λόγο των φορτίων QB/|QΓ|). Επομένως και κάθε σημείο του επιπέδου για το οποίο ο λόγος των αποστάσεων από τα δυο φορτία ισούται με QB/|QΓ|=1/2, προφανώς θα έχει δυναμικό μηδέν. Έστω Α ένα τέτοιο σημείο (έξω από την ευθεία που ενώνει τα φορτία Β και Γ), τότε
V_{A}=k\frac{Q_{B}}{AB} + k \frac{Q_{\Gamma}}{A\Gamma}=0 ή \frac{AB}{A\Gamma}=\frac{1}{2}=\frac{\Delta B}{\Delta\Gamma}=\frac{EB}{E\Gamma}   (3)

Η εξίσωση (3) εκφράζει τα δύο γνωστά θεωρήματα της γεωμετρίας:

  • Θεώρημα εσωτερικής διχοτόμου τριγώνου: Η διχοτόμος μιας γωνίας τριγώνου διαιρεί την απέναντι πλευρά εσωτερικά σε λόγο ίσο με το λόγο των προσκείμενων πλευρών: \frac{\Delta B}{\Delta\Gamma} = \frac{AB}{A\Gamma}
  • Θεώρημα εξωτερικής διχοτόμου τριγώνου: Η διχοτόμος μιας εξωτερικής γωνίας τριγώνου τέμνει την προέκταση της απέναντι πλευράς σε ένα σημείο, το οποίο διαιρεί εξωτερικά την πλευρά αυτή σε λόγο ίσο με το λόγο των προσκείμενων πλευρών: \frac{EB}{E\Gamma}= \frac{AB}{A\Gamma}

Επομένως, το σημείο Α θα βρίσκεται σε τέτοια θέση ώστε αν σχηματίσουμε το τρίγωνο (ΑΒΓ), οι ΑΔ και ΑΕ να είναι εσωτερική και εξωτερική διχοτόμος. Από την εξίσωση (3) βλέπουμε επίσης πως το αρχικό πρόβλημα ανάγεται στο να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων των οποίων οι αποστάσεις τους από δύο ορισμένα σημεία Β και Γ του επιπέδου έχουν λόγο 1/2.  Αφού ΑΔ και ΑΕ είναι διχοτόμοι των δύο εφεξής και παραπληρωματικών γωνιών ΒÂΓ και ΒÂΗ, θα είναι κάθετες μεταξύ τους και η γωνία ΔÂΕ θα είναι 90ο. Άρα το Α ανήκει σε κύκλο με διάμετρο το τμήμα ΔΕ, που είναι ίσο με ΔΕ=ΕΒ+ΒΔ=16cm (R=8cm). Το κέντρο του κύκλου θα απέχει από το φορτίο Β απόσταση: ΚΒ=ΕΒΚΕ=ΕΒ–R=12–8=4cm.

Ο κύκλος αυτός ονομάζεται Απολλώνιος κύκλος, και κάθε σημείο Μ το κύκλου αυτού θα ικανοποιεί την σχέση \frac{MB}{M\Gamma}=\frac{1}{2} , η οποία ισοδυναμεί με το γεγονός ότι στα σημεία αυτά το δυναμικό είναι μηδέν. Κι αν από τον χώρο των δυο διαστάσεων, περάσουμε στον τρισδιάστατο χώρο, τότε τα σημεία στα οποία το δυναμικό του ηλεκτρικού πεδίου των QB και QΓ είναι μηδέν, ανήκουν στην επιφάνεια μιας σφαίρας με κέντρο το σημείο Κ (που απέχει 4cm από το φορτίο Β) και ακτίνα R=8cm.

πηγή: http://ebooks.edu.gr/modules/ebook/show.php/DSGL-A101/571/3713,16240/