Τι είναι η Λαγκρανζιανή;

Posted on 22/07/2019

0


Τι είναι η Λαγκρανζιανή; Η διαφορά μεταξύ κινητικής και δυναμικής ενέργειας ενός μηχανικού συστήματος (L=K–U) θα απαντούσε κάποιος βιαστικός. Μπορεί αυτό να ισχύει στις περισσότερες των περιπτώσεων, δεν είναι όμως μια ικανοποιητική ή η θεμελιώδης απάντηση.

Ένα σύστημα, ανάλογα με την επιλογή του συστήματος συντεταγμένων, περιγράφεται από τις ποσότητες qi , τις γενικευμένες συντεταγμένες, που καθορίζουν πλήρως την θέση του συστήματος και τις παραγώγους τους dqi/dt, τις γενικευμένες ταχύτητες. Γνωρίζουμε εμπειρικά πως αν είναι γνωστές οι συντεταγμένες και οι ταχύτητες σε κάποια χρονική στιγμή τότε η κατάσταση και η εξέλιξη του συστήματος είναι πλήρως καθορισμένη. Στην μαθηματική γλώσσα αυτό σημαίνει ότι, αν όλες οι συντεταγμένες και ταχύτητες είναι γνωστές σε κάποια χρονική τότε οι επιταχύνσεις την ίδια χρονική στιγμή είναι μοναδικά καθορισμένες. Οι σχέσεις μεταξύ των επιταχύνσεων, ταχυτήτων και συντεταγμένων αποτελούν τις  λεγόμενες εξισώσεις κίνησης. Η ολοκλήρωσή τους επιτρέπει τον προσδιορισμό των συντεταγμένων qi συναρτήσει του χρόνου, άρα και της τροχιάς της κίνησης.

Η Λαγκρανζιανή συνάρτηση συνδέεται με την γενικότερη διατύπωση του νόμου που διέπει την κίνηση μηχανικών συστημάτων, την αρχή της ελάχιστης δράσης: κάθε μηχανικό σύστημα χαρακτηρίζεται από κάποια συνάρτηση L(q_{1}, q_{2}, ..., q_{s}, \dot{q}_{1}, \dot{q}_{2}, ..., \dot{q}_{s}) [η Λαγκρανζιανή επιλέγεται να μην εξαρτάται π.χ. και από τις δεύτερες παραγώγους των γενικευμένων συντεταγμένων, διότι από τη Νευτώνεια φυσική γνωρίζουμε ότι η κατάσταση ενός συστήματος καθορίζεται πλήρως αν γνωρίζουμε τις θέσεις και τις ταχύτητες όλων των σωματιδίων του σε μια δεδομένη χρονική στιγμή.], εν συντομία L(q_{i},  \dot{q}_{i},t), για την οποία το ολοκλήρωμα:

S= \int_{t_{1}}^{t_{2}} L(q_{i}, \dot{q}_{i},t) dt                (1)

ελαχιστοποιείται (τις χρονικές στιγμές t1 και t2 το σύστημα καθορίζεται από τις συντεταγμένες q(1) και q(2). Το παραπάνω ολοκλήρωμα ονομάζεται δράση.

διαβάστε επίσης: Richard Feynman, Η Αρχή της Ελάχιστης Δράσης

Η αρχή της ελάχιστης δράσης θα μας δώσει τις εξισώσεις κίνησης, τις διαφορικές εξισώσεις δηλαδή που ελαχιστοποιούν το ολοκλήρωμα (1).

Πως γίνεται αυτό;

Χάριν απλότητας, θεωρούμε ότι το σύστημα έχει μόνο έναν βαθμό ελευθερίας, οπότε αναζητούμε μια συνάρτηση q(t). Έστω λοιπόν q=q(t) η συνάρτηση για την οποία το S είναι ελάχιστο. Αυτό σημαίνει ότι το S αυξάνεται όταν η q(t)  αντικαθίσταται από οποιαδήποτε συνάρτηση της μορφής q(t)+δq(t), όπου δq(t) είναι η μεταβολή της συνάρτησης q(t). Στις ακραίες τιμές t1 και t2 όλες οι συναρτήσεις q(t)+δq(t) πρέπει να παίρνουν τις τιμές q(1) και q(2), οπότε δq(t1)=δq(t2)=0.
Η αντικατάσταση q→q+δq μεταβάλλει την δράση: \delta S= \int_{t_{1}}^{t_{2}} L(q + \delta q, \dot{q} + \delta \dot{q},t) dt - \int_{t_{1}}^{t_{2}} L(q, \dot{q}, t) dt
Στο ανάπτυγμα της διαφοράς ως προς τις δυνάμεις των \delta q και \delta \dot{q}, αναγκαία συνθήκη ώστε το S να έχει ελάχιστο είναι αυτοί οι όροι να μηδενίζονται. Έτσι, η αρχή της ελάχιστης δράσης μπορεί να γραφεί:
\delta S= \delta \int_{t_{1}}^{t_{2}} L(q, \dot{q}, t) dt = 0 ή διενεργώντας την μεταβολή: \int_{t_{1}}^{t_{2}} \left( \frac{\partial L}{\partial q} \delta q + \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} \delta \dot{q} \right) dt = 0
Aφού \delta \dot{q} = d \, \delta q/dt , μια ολοκλήρωση κατά μέρη του δεύτερου όρου δίνει:

\left[\frac{\partial L}{\partial \dot{q}} \delta q \right]^{t_{2}}_{t_{1}} + \int_{t_{1}}^{t_{2}} \left( \frac{\partial L}{\partial q} - \frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} \right) \delta q \, dt = 0

Επειδή δq(t1)=δq(t2)=0 ο ολοκληρωμένος όρος στην παραπάνω εξίσωση ισούται με μηδέν. Το ολοκλήρωμα που απομένει πρέπει να μηδενίζεται για όλες τις τιμές των δq, οπότε:

\frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} \right)- \frac{\partial L}{\partial q} =0

Όταν το σύστημα περιγράφεται από περισσότερους βαθμούς ελευθερίας, οι s διαφορετικές συναρτήσεις qi(t) πρέπει να μεταβάλλονται ανεξάρτητα. Προκύπτουν έτσι s εξισώσεις της μορφής

\frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{i}} \right)- \frac{\partial L}{\partial q_{i}} =0 \, \, \, \, \, \, (i=1, 2 ...., s)

Oι εξισώσεις αυτές είναι γνωστές ως εξισώσεις Lagrange (στον λογισμό των μεταβολών ονομάζονται εξισώσεις Euler). Αν η Λαγκρανζιανή ενός δεδομένου μηχανικού συστήματος είναι γνωστή, οι παραπάνω εξισώσεις δίνουν τις σχέσεις μεταξύ επιταχύνσεων, ταχυτήτων και συντεταγμένων, δηλαδή αποτελούν τις εξισώσεις κίνησης του συστήματος.
Από μαθηματικής απόψεως αποτελούν ένα σύστημα s διαφορικών εξισώσεων δεύτερης τάξης για s άγνωστες συναρτήσεις qi(t). Η γενική λύση περιέχει 2s αυθαίρετες σταθερές. Για να προσδιορίσουμε αυτές τις σταθερές και, επομένως, για να ορίσουμε μοναδικώς την κίνηση του μηχανικού συστήματος, είναι απαραίτητο να γνωρίζουμε τις αρχικές συνθήκες που χαρακτηρίζουν την κατάσταση του συστήματος σε κάποια δεδομένη στιγμή – τις αρχικές τιμές όλων των συντεταγμένων και ταχυτήτων.

Ας σημειωθεί ότι η Λαγκρανζιανή χαρακτηρίζεται από την αθροιστική ιδιότητα. Δηλαδή, αν ένα μηχανικό σύστημα αποτελείται από δυο τμήματα Α και Β, τα οποία αν ήταν κλειστά θα είχαν Λαγκρανζιανές LΑ και LΒ, τότε στο όριο που η απόσταση μεταξύ των τμημάτων είναι τόσο μεγάλη ώστε να μην αλληλεπιδρούν, η συνολική Λαγκρανζιανή του συνολικού συστήματος τείνει στην τιμή: limL = LΑ+LΒ.
Επίσης είναι φανερό ότι ο πολλαπλασιασμός της Λαγκρανζιανής ενός μηχανικού συστήματος με μια αυθαίρετη σταθερά δεν επηρεάζει τις εξισώσεις κίνησης.
Πρέπει να κάνουμε μια ακόμα γενική παρατήρηση. Ας θεωρήσουμε δυο συναρτήσεις L'(q,\dot{q}, t) και L(q,\dot{q}, t) οι οποίες διαφέρουν μεταξύ τους κατά μια ολική παράγωγο ως προς το χρόνο κάποιας συνάρτησης f(q, t) των συντεταγμένων και του χρόνου:

L'(q,\dot{q}, t) = L(q,\dot{q}, t) + \frac{d}{dt} f(q, t)

Ολοκληρώνοντας σύμφωνα με την εξ. (1) παίρνουμε:
S'= \int_{t_{1}}^{t_{2}} L'(q, \dot{q}, t) dt = \int_{t_{1}}^{t_{2}} L(q, \dot{q}, t) dt + \int_{t_{1}}^{t_{2}} \frac{df}{dt} dt = S + f(q^{(2)}, t_{2}) - f(q^{(1)}, t_{1})
δηλαδή διαφέρουν κατά μια σταθερή ποσότητα. Οι συνθήκες δS’=0 και δS=0 είναι λοιπόν ισοδύναμες και η μορφή των εξισώσεων της κίνησης παραμένει αμετάβλητη. Οπότε η Λαγκρανζιανή ορίζεται μόνο με ακρίβεια πρόσθεσης ολικής χρονικής παραγώγου οποιασδήποτε συνάρτησης των συντεταγμένων και του χρόνου.

πηγή: E. M. Lifshitz, Lev Landau, ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ Ι, ΜΗΧΑΝΙΚΗ, μετάφραση: Γιάννης Φούτσης, Χρήστος Γραμματίκας (Η Μηχανική συνιστά τον πρώτο τόμο της θρυλικής σειράς Μαθημάτων Θεωρητικής Φυσικής των Λεβ Λαντάου και Ευγκένι Λίφσιτς, έργου αναφοράς για γενεές θεωρητικών φυσικών από την πρώτη έκδοσή της έως σήμερα. Το κλασικό θέμα του βιβλίου εκτίθεται με κομψότητα και σαφήνεια. Οι πολυάριθμες ασκήσεις και οι, συχνά συνοπτικές, λύσεις τους αποτελούν συμπληρωματική τροφή για τη σκέψη.
Ίσως το κυριότερο, ο τρόπος προσέγγισης της Μηχανικής επιδεικνύει την ουσία της μεθόδου της Θεωρητικής Φυσικής. Ο νέος (και όχι μόνο) επιστήμονας θα βρει εδώ, σε συνδυασμό με συγκεκριμένα προβλήματα, στοιχεία απάντησης στο κεντρικό ερώτημα για τη μελέτη των φαινομένων: τι είναι ουσιώδες και τι μπορεί να θεωρηθεί αμελητέο – Από την παρουσίαση στο οπισθόφυλλο του βιβλίου)

Posted in: ΜΗΧΑΝΙΚΗ