Τι είναι μια μερική διαφορική εξίσωση;

Posted on 22/04/2019

0



Στα μαθηματικά μερική διαφορική εξίσωση είναι μια διαφορική εξίσωση η οποία περιέχει άγνωστες συναρτήσεις με πολλές μεταβλητές [π.χ. f(x,y,z)] και τις μερικές παραγώγους τους.(Σε αντίθεση με τις συνήθεις διαφορικές εξισώσεις, οι οποίες περιέχουν συναρτήσεις μιας μεταβλητής και τις παραγώγους τους). Οι μερικές διαφορικές εξισώσεις αποτελούν τον κανόνα και όχι την εξαίρεση στα φυσικά προβλήματα. Στα περισσότερα φυσικά προβλήματα εμφανίζονται οι επόμενες τρεις μερικές διαφορικές εξισώσεις:
η κυματική εξίσωση \nabla^{2}f - \frac{1}{c^{2}} \frac{\partial^{2}f}{\partial t^{2}}=0  
η εξίσωση θερμότητας a\nabla^{2}f - \frac{\partial f}{\partial t}=0  
και η εξίσωση Laplace \nabla^{2}f =0  
όπου \nabla^{2} = \frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}} + \frac{\partial^{2}}{\partial z^{2}}  ο τελεστής Laplace.

Το βίντεο που ακολουθεί μας εισάγει στο νόημα των μερικών διαφορικών εξισώσεων ξεκινώντας από την εξίσωση θερμότητας σε μία διάσταση: