Ο αριθμός 78557 και οι πρώτοι αριθμοί Proth

Posted on 13/11/2017

0


To top 10 των πρώτων αριθμών: οι μεγαλύτεροι πρώτοι αριθμοί που έχουν βρεθεί μέχρι σήμερα

Στη θεωρία αριθμών, ένας αριθμός Proth (από το όνομα του μαθηματικού François Proth), είναι ένας αριθμός της μορφής Ν=k∙2n+1, όπου k ένας περιττός θετικός ακέραιος και n θετικός ακέραιος τέτοιος ώστε 2n>k. Ενδιαφέρον έχουν οι αριθμοί Proth που είναι πρώτοι αριθμοί. Ο μεγαλύτερος γνωστός πρώτος αριθμός Proth είναι ο 10223∙231172165+1, ο οποίος συνίσταται από 9,383,761 ψηφία. Ανακαλύφθηκε από τον Szabolcs Peter στα πλαίσια του προγράμματος PrimeGrid , στις 31 Οκτωβρίου του 2016.

Στο βίντεο που βρίσκεται στο τέλος της ανάρτησης, ο James Grime μας μιλάει για τους πρώτους αριθμούς, τους αριθμούς Proth, τον μεγαλύτερο πρώτο αριθμό Proth, αλλά και για τους σχετικούς αριθμούς Sierpinski.

Ένας αριθμός Sierpinski είναι ένας περιττός φυσικός αριθμός k τέτοιος ώστε ο αριθμός k∙2n+1 να είναι σύνθετος. Το 1960 ο Wacław Sierpiński απέδειξε ότι υπάρχουν άπειροι περιττοί αριθμοί k με αυτήν την ιδιότητα. Το 1962 ο John Selfridge απέδειξε ότι ο αριθμός 78557 είναι ένας αριθμός Sierpiński, δηλαδή κανένας αριθμός της μορφής 78557∙2n+1 δεν είναι πρώτος.

Άραγε ο αριθμός 78557 είναι ο μικρότερος αριθμός Sierpiński; Στις αρχές του 21ου αιώνα οι αριθμοθεωρητικοί κατέληξαν σε 17 αριθμούς μικρότερους του 78557, πιθανούς υποψήφιους για τον μικρότερο αριθμό Sierpiński. Ψάχνοντας περισσότερο κατέληξαν σε έξι από αυτούς (βλέπε εικόνα) και εννέα χρόνια μετά απέρριψαν τον αριθμό 10223, δεδομένου ότι ο 10223∙231172165+1 αποδείχθηκε πως είναι πρώτος…

Περισσότερες λεπτομέρειες στο βίντεο του Numberphile: