Εξισώσεις Maxwell για μαθητές Λυκείου

Posted on 04/04/2016

4


ή μήπως Γυμνασίου;

maxwell111

Οι 4 εξισώσεις Maxwell που συμπυκνώνουν όλους τους νόμους του ηλεκτρομαγνητισμού

Ένα πρόσφατο εγχειρίδιο (έκδοση 2013) με oδηγίες για τον εκπαιδευτικό(1) της μέσης εκπαίδευσης αναφέρει τα εξής:

Οι –μόλις– τέσσερις εξισώσεις Maxwell, όπως διαμορφώθηκαν από τα μέσα του 19ου αιώνα και απεδείχθησαν έως τώρα θεωρητικά επαρκείς και πειραματικά συνεπείς, αλλά και «αναλλοίωτες» μετά από το σχετικιστικό και κβαντικό έλεγχο, εκφράζουν μαθηματικά την πλέον πλήρη επιστημονική θεωρία η οποία έχει διατυπωθεί ποτέ, την ηλεκτρομαγνητική θεωρία. Αυτή περιγράφει, ερμηνεύει και ενοποιεί όλα τα ηλεκτρικά και μαγνητικά φαινόμενα, αλλά και προβλέπει την ύπαρξη και παραγωγή των ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων.
Η ποιητική του Maxwell
Αν η μαθηματική έκφραση μιας επιστημονικής θεωρίας, όπως και η ποιητική έκφραση, – πρέπει να– χαρακτηρίζονται από απλότητα, λιτότητα, πληρότητα, συμμετρία και ομορφιά, τότε οι εξισώσεις Maxwell συνθέτουν (και) το ωραιότερο ποίημα το οποίο έχει γραφεί ποτέ στη μαθηματική γλώσσα:εξισωσεις maxwell1

Τα παραπάνω απευθύνονται σε καθηγητές δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης που καλούνται με τη σειρά τους να εμπνεύσουν τους μαθητές με την ηλεκτρομαγνητική θεωρία. Το ερώτημα που αναδύεται αυθόρμητα είναι: «Μα διδάσκονται οι εξισώσεις Maxwell στη δευτεροβάθμια εκπαίδευση;»

Πριν όμως διερευνήσουμε αυτό το ερώτημα αξίζει να θυμηθούμε – για άλλη μια φορά – την μαθηματική δομή των εξισώσεων Maxwell και τη φυσική τους σημασία.

Οι εξισώσεις Maxwell

Eξίσωση 1η: Πρόκειται για το νόμο του Gauss για το ηλεκτρικό πεδίο, σύμφωνα με τον οποίο η ηλεκτρική ροή μέσα από μια κλειστή επιφάνεια είναι ανάλογη με το συνολικό φορτίο Qin που περικλείει η επιφάνεια.

gaussians

Από τις διαφορετικές επιφάνειες S1, S2 και S3 διέρχεται η ίδια ηλεκτρική ροή εφόσον περικλείουν την ίδια ποσότητα ηλεκτρικού φορτίου

Η διαφορική μορφή του νόμου του Gauss είναι:

και η φυσική σημασία της παραπάνω μορφής είναι ότι συνδέει το ηλεκτρικό πεδίο Ε σε κάποιο σημείο του χώρου με την κατανομή φορτίου, που εκφράζεται με την πυκνότητα ρ, στο ίδιο σημείο του χώρου. Εκφράζει δηλαδή, μια τοπική σχέση μεταξύ των δυο αυτών φυσικών ποσοτήτων. Έτσι μπορούμε να πούμε ότι τα ηλεκτρικά φορτία είναι οι πηγές του ηλεκτρικού πεδίου και ότι η κατανομή και το μέγεθός τους ορίζουν το ηλεκτρικό πεδίο σε κάθε σημείο του χώρου.
Εξίσωση 2η:Είναι ο νόμος του Gauss για το μαγνητικό πεδίο

Η μαγνητική ροή που διέρχεται μέσα από μια κλειστή επιφάνεια είναι πάντοτε μηδέν. Και αυτό είναι συνέπεια του γεγονότος ότι οι μαγνητικές δυναμικές γραμμές είναι κλειστές (αφού δεν υπάρχουν μαγνητικά μονόπολα).

Εφόσον δεν υπάρχουν μαγνητικά μονόπολα η συνολική μαγνητική ροή που διασχίζει μια κλειστή επιφάνεια

Εφόσον δεν υπάρχουν μαγνητικά μονόπολα η συνολική μαγνητική ροή που διασχίζει μια κλειστή επιφάνεια ισούται με μηδέν

Η διαφορική μορφή θα είναι:

Εξίσωση 3η: Είναι ο νόμος του Faraday-Henry ή νόμος της επαγωγής σύμφωνα με τον οποίο, ένα μαγνητικό πεδίο που μεταβάλλεται με τον χρόνο δημιουργεί ηλεκτρικό πεδίο, τέτοιου ώστε η κυκλοφορία του (αλλιώς, η ηλεκτρεγερτική δύναμη) κατά μήκος ενός αυθαίρετου κλειστού δρόμου, να ισούται με τον (αρνητικό) ρυθμό μεταβολής της μαγνητικής ροής μέσα από μια επιφάνεια που ορίζεται από τον δρόμο

Σε διαφορική μορφή γράφεται

faradyanimH 3η εξίσωση μας λέει ότι μεταβαλλόμενο μαγνητικό πεδίο δημιουργεί μεταβαλλόμενο ηλεκτρικό πεδίο.
Εξίσωση 4η:  Πρόκειται για το νόμο Ampere-Maxwell. Ο νόμος του Ampere συσχετίζει ένα ηλεκτρικό ρεύμα με το μαγνητικό πεδίο που παράγει. Ο νόμος Ampere-Maxwell πηγαίνει ένα βήμα μακρύτερα και υποδεικνύει ότι στο μαγνητικό πεδίο συνεισφέρει επίσης και ένα μεταβαλλόμενο ηλεκτρικό πεδίο.

Η διαφορική μορφή

συσχετίζει το μαγνητικό πεδίο Β, το ηλεκτρικό πεδίο Ε και την πυκνότητα ρεύματος j στο ίδιο σημείο του χώρου. Ο δεύτερος όρος στην 4η εξίσωση είναι συνεισφορά του Maxwell και αποτελεί το περίφημο ρεύμα μετατόπισης. Μας λέει ότι το μεταβαλλόμενο ηλεκτρικό πεδίο δημιουργεί μεταβαλλόμενο μαγνητικό πεδίο.

To ρεύμα μετατόπισης δημιουργεί μαγνητικό πεδίο

To ρεύμα μετατόπισης δημιουργεί μαγνητικό πεδίο

Το μεταβαλλόμενο μαγνητικό πεδίο με τη σειρά του (λόγω της εξίσωσης 3) δημιουργεί μεταβαλλόμενο ηλεκτρικό πεδίο κ.ο.κ.
Με λίγα λόγια το ηλεκτρομαγνητικό πεδίο μπορεί να «αυτοσυντηρηθεί» χωρίς να χρειάζεται την ύπαρξη της αρχικής πηγής του, του φορτίου και του ρεύματος…. Και βέβαια διαμέσου των εξισώσεων Maxwell αποδεικνύεται πως το φως είναι ηλεκτρομαγνητικό κύμα.

Οι εξισώσεις Maxwell στη δευτεροβάθμια εκπαίδευση

Χωρίς αμφιβολία, η σημασία των εξισώσεων Maxwell είναι τεράστια. Άραγε είναι δυνατόν να διδαχθούν οι εξισώσεις Maxwell στη δευτεροβάθμια εκπαίδευση; (εννοείται αφού διδαχθούν πρώτα ξεχωριστά οι νόμοι του ηλεκτρισμού και του μαγνητισμού)

Το ερώτημα είχε απαντηθεί στην δεκαετία του 1980 καταφατικά. Οι εξισώσεις διδάσκονταν στην Γ’ Λυκείου. Υπήρχε ένα ξεχωριστό κεφάλαιο με τίτλο Ηλεκτρομαγνητική θεωρία (το 8ο μεταξύ των 12 κεφαλαίων της εξεταστέας ύλης), στο οποίο, αφού γινόταν η παρουσίαση των νόμων Gauss,  Ampere, Faraday, του ρεύματος μετατόπισης κ.λπ, στην τελευταία παράγραφο του κεφαλαίου παρουσιάζονταν οι εξισώσεις του Maxwell (σε pdf ΕΔΩ):

glyk_maxwellΌπως βλέπουμε, τα σύμβολα της παραγώγισης και ολοκλήρωσης έχουν αντικατασταθεί με Δ/Δt(ρυθμός μεταβολής) και Σ (το σύμβολο άθροισης) αντίστοιχα. Προφανώς ο μαθηματικός φορμαλισμός των εξισώσεων δεν είναι κατανοητός από έναν μέσο μαθητή Λυκείου και γι αυτό απλοποιήθηκε με τον παραπάνω τρόπο.
Έτσι ο μαθητής αποκτούσε μια πρώτη εικόνα για τις περίφημες εξισώσεις στις οποίες βασίζεται ο δυτικός τεχνολογικός πολιτισμός.  Για αρκετά χρόνια οι εξισώσεις Maxwell εξετάζονταν και στις πανελλήνιες εξετάσεις, μέχρι που τελικά αφαιρέθηκαν (το 1990;) από την εξεταστέα ύλη. Βέβαια η διδασκαλία των νόμων του ηλεκτρομαγνητισμού συνεχίστηκε στις δυο τελευταίες τάξεις του Λυκείου, χωρίς πλέον να γίνεται αναφορά στις  εξισώσεις Maxwell.

Η επανεμφάνιση των εξισώσεων Maxwell στην σχολική διδακτέα ύλη έγινε το 2013. Όχι στην Γ’ Λυκείου αλλά στην … Α’ Γυμνασίου!!maxwell34

Οι εξισώσεις Maxwell εμφανίζονται στο βιβλίο της Φυσικής Α’ Γυμνασίου ως εξής:

H 3η εξίσωση Maxwell στο βιβλίο της Α' Γυμνασίου

H 3η εξίσωση Maxwell στο βιβλίο της Α’ Γυμνασίου(2)

H 4η εξίσωση Maxwell

H 4η εξίσωση Maxwell στο βιβλίο της Α’ Γυμνασίου(3)

Την δεκαετία του 80 οι μαθητές της Γ’ Λυκείου εξετάζονταν πανελλαδικά στις εξισώσεις Maxwell. Σήμερα, 30 χρόνια μετά, οι μαθητές έρχονται σε «οπτική επαφή» με τις εξισώσεις με το καλημέρα – στην Α΄Γυμνασίου. Ας τις κρατήσουν λοιπόν στην μνήμη τους γιατί δεν θα τις ξαναδούν.
Και το ότι δεν θα ξαναδούν τις εξισώσεις Maxwell είναι το λιγότερο. Το τραγικό είναι ότι δεν θα ξαναδούν ούτε καν τους νόμους που εκφράζουν αυτές τις εξισώσεις. Όπως, τον νόμο του Gauss, το πείραμα του Oersted,  τον νόμο Biot-Savart, τον νόμο της επαγωγής (ή νόμο Faraday).

Πηγές:
(1) «Βιβλίο για τον Εκπαιδευτικό«
(2) http://micro-cosmos.uoa.gr/gr/a_gymnasiou/pdf/FE_11.pdf
(3) http://micro-cosmos.uoa.gr/gr/a_gymnasiou/pdf/FE_12.pdf
(4) Φυσική Γ’ Λυκείου, Βλάχος Ι. – Ζάχος Κ. – Κόκκοτας Π. – Τιμοθέου Γ. ,ΟΕΔΒ, έκδοση Ι’, 1992

(νεώτερη ενημέρωση 7-4-2016)
Οι εξισώσεις Maxwell – χωρίς να διδάσκονται – περιέχονταν ως ένθετο στο βιβλίο Φυσική Θετικής κ Τεχνολογικής κατεύθυνσης, Β’ τάξη Ενιαίου Λυκείου, Αλέκος Ιωάννου, Γιάννης Ντάνος, Άγγελος Πήττας, Σταύρος Ράπτης, ΟΕΔΒ, Αθήνα 2000

Σύμφωνα με το σχόλιο του Τάσου (βλέπε παρακάτω): «…Πλέον με την νέα αναμόρφωση των προγραμμάτων σπουδών έχει αλλάξει η ύλη,τα βιβλία παρέμειναν στη Β Λυκείου ίδια (προς το παρόν) με χρήση κοπτοραπτικής από τα παλαιά και το πολλαπλό βιβλίο που εφαρμόστηκε αρχές 2000,προέκυψαν τα τωρινά του Θετικού Προσανατολισμού που δεν αναφέρεται καν ως ένθετο!»

Ετικέτα: