Η περιστροφική αστάθεια ενός βιβλίου

Posted on 26/07/2014

0


Θα εκτελέσουμε ένα πείραμα περιστροφής ενός βιβλίου, πετώντας το στον αέρα, με τρεις συγκεκριμένους τρόπους (καλό είναι να κολλήσουμε με ένα σελοτέιπ την μπροστινή πλευρά του έτσι ώστε να μην ξεφυλλίζει όταν θα ίπταται…)
Πριν εκτελέσουμε το πείραμα παρατηρούμε προσεκτικά τους τρεις κύριους άξονες, γύρω από τους οποίους θέλουμε να περιστρέφεται το βιβλίο σε κάθε περίπτωση:
marsden

Ο άξονας x είναι παράλληλος προς την μικρότερη ακμή, ο άξονας z παράλληλος προς την μεγαλύτερη ακμή και ο άξονας y παράλληλος προς την τρίτη – ενδιάμεσου μήκους – ακμή.

Αρχικά πετάμε το βιβλίο με τέτοιο τρόπο έτσι ώστε αυτό να περιστρέφεται γύρω από τον άξονα x.
Επαναλαμβάνουμε το πείραμα κάνοντάς το να περιστρέφεται γύρω από τον άξονα z και στην συνέχεια το πετάμε με τέτοιο τρόπο έτσι ώστε να περιστρέφεται γύρω από τον άξονα y.

Αν είμαστε αρκετά προσεκτικοί στην εκτέλεση του πειράματος θα παρατηρήσουμε ότι η περιστροφή γύρω από τους άξονες x και z είναι σχετικά σταθερή:

Η περιστροφή γύρω από τον κύριο άξονα  y γίνεται ασταθής (η κινούμενη εικόνα είναι από το site: http://fouriestseries.tumblr.com/post/91685028535/rotational-stability

Η περιστροφή γύρω από τον κύριο άξονα x είναι ευσταθής (πηγή: fouriestseries.tumblr.com)

Η περιστροφή γύρω από τον κύριο άξονα z είναι ευσταθής (πηγή: <a href=

Η περιστροφή γύρω από τον κύριο άξονα z επίσης ευσταθής (fouriestseries)

Κάτι που δεν ισχύει για την περιστροφή γύρω από τον άξονα y. Η περιστροφή γύρω από τον άξονα y είναι ασταθής:

Η περιστροφή γύρω από τον κύριο άξονα y γίνεται ασταθής (πηγή: fouriestseries.tumblr.com)

Η περιστροφή γύρω από τον κύριο άξονα y γίνεται ασταθής (fouriestseries)

Γιατί η κίνηση γίνεται χαοτική όταν έχουμε περιστροφή γύρω από τον άξονα y;

Μάλλον δεν υπάρχει μια άμεση διαισθητική απάντηση. Η λύση του προβλήματος καθορίζεται από το θεώρημα της ευστάθειας στερεού σώματος σύμφωνα με το οποίο:
«Κατά την ελεύθερη κίνηση ενός στερεού σώματος, η περιστροφή γύρω από τον μεγάλο και μικρό άξονα είναι ευσταθής (κατά Liapunov), ενώ η περιστροφή γύρω από τον ενδιάμεσο άξονα είναι ασταθής»,  [από το «Introduction to Mechanics and Symmetry» των Marsden και Ratiu, σελ. 490].

Μια μαθηματική απόδειξη της αστάθειας περιστροφής γύρω από τον ενδιάμεσο άξονα (και της ευστάθειας στην περιστροφή γύρω από τους άλλους δύο) μπορεί να γίνει χρησιμοποιώντας τις εξισώσεις Euler για την περιστροφή ενός ελεύθερου στερεού σώματος (στο οποίο δεν ασκούνται δυνάμεις ή ροπές). Οι λεπτομέρειες βρίσκονται ΕΔΩ: physics.stackexchange.com

Σχετικά με τον «ασταθή τρόπο περιστροφής ενός βιβλίου γύρω από τον ενδιάμεσο άξονα» είναι και τα βίντεο που ακολουθούν:
1. Θεώρημα της περιστρεφόμενης ρακέτας του τένις. Εδώ το πείραμα με το βιβλίο επαναλαμβάνεται με μια ρακέτα του πιγκ-πογκ

2. Φαινόμενο Dzhanibekov, όπου βλέπουμε την αστάθεια περιστροφής κάποιων αντικειμένων να εμφανίζεται σε συνθήκες έλλειψης βαρύτητας

3. Και στο τελευταίο βίντεο βλέπουμε το πείραμα περιστροφής ενός βιβλίου, να πραγματοποιείται σε συνθήκες έλλειψης βαρύτητας στον Διεθνή Διαστημικό Σταθμό: