H δύναμη Casimir και η συνάρτηση ζ του Riemann

Posted on 02/02/2014

0


photonics

Δυο αφόρτιστες μεταλλικές πλάκες στο απόλυτο κενό έλκονται (δύναμη Casimir) εξαιτίας των κβαντικών διακυμάνσεων του κενού

Μια από τις εντυπωσιακότερες ανατροπές της κβαντικής θεωρίας ήταν η ανακάλυψη ότι ο κενός χώρος δεν είναι κενός, αλλά γεμάτος από σωματίδια και αντισωματίδια που εμφανίζονται για λίγο και εξαφανίζονται. Δηλαδή ότι το κενό δεν μπορεί να υπάρξει.

Σύμφωνα με την κβαντική θεωρία το κενό δεν ισοδυναμεί με την κατάσταση του τίποτα – μια κατάσταση όπου τίποτα δεν υπάρχει και τίποτα δεν συμβαίνει .
Το τίποτα για ένα κβαντικό πεδίο (ηλεκτρομαγνητικό, βαρυτικό κ.λ.π.) είναι απλώς η κατάσταση ελάχιστης ενέργειας αυτού του πεδίου. Έχει μέση τιμή μηδέν αλλά με ισχυρότατες κβαντικές διακυμάνσεις γύρω απ’ αυτήν και οι διακυμάνσεις αυτές μπορούν να γίνουν αισθητές.

Όταν εφαρμόζουμε την κβαντική μηχανική στις ταλαντώσεις των ατόμων ενός κρυστάλλου, αποδεικνύεται ότι τα κύματα των ταλαντώσεων που δημιουργούνται μέσα στον κρύσταλλο έχουν χαρακτηριστικά σωματιδίων, όπως συμβαίνει και με τα φωτόνια. Αυτές οι κβαντικές ταλαντώσεις πλέγματος ονομάζονται φωνόνια.
Αν ψύξουμε το κρυσταλλικό πλέγμα τόσο ώστε να μην έχουμε διεγερμένα φωνόνια, πρέπει να διατηρείται ακόμα κάποια κίνηση, η «κίνηση μηδενικού σημείου» των ατόμων του κρυσταλλικού πλέγματος.

Ο κενός χώρος μοιάζει με το κρυσταλλικό πλέγμα.

Με τον ίδιο τρόπο που τα φωνόνια είναι κβαντικά αντικείμενα συνδεδεμένα με ταλαντώσεις των κρυσταλλικών θέσεων, έτσι μπορούμε να θεωρήσουμε πως τα φωτόνια συνδέονται με ταλαντώσεις του ηλεκτρομαγνητικού πεδίου. Παρατηρούμε τότε ότι, όπως στην περίπτωση των φωνονίων, πρέπει να υπάρχει και για τα ηλεκτρομαγνητικά πεδία μια κίνηση «μηδενικού σημείου».
Αυτές οι διακυμάνσεις κενού του ηλεκτρομαγνητικού πεδίου έχουν μερικές αρκετά σημαντικές συνέπειες που διαπιστώνονται πειραματικά.

Μια συνέπεια των διακυμάνσεων του κενού είναι το φαινόμενο Casimir.

Στο κενό επιτρέπονται όλες οι δυνατές συχνότητες των διακυμάνσεων για το ηλεκτρομαγνητικό πεδίο.
Σε ένα σύστημα που αποτελείται από δυο μεγάλες παράλληλες μεταλλικές πλάκες το ηλεκτρομαγνητικό πεδίο πρέπει να μηδενίζεται στις πλάκες. Ενώ έξω από τις πλάκες επιτρέπονται όλες οι συχνότητες του ηλεκτρομαγνητικού πεδίου, ανάμεσα στις πλάκες επιτρέπονται ορισμένες συχνότητες – θυμηθείτε τα στάσιμα κύματα σε μια χορδή με σταθερά άκρα …

casimirΗ παραπάνω εικόνα θα μπορούσε να ιδωθεί και ως εξής: ο κενός χώρος είναι γεμάτος από δυνάμει (εικονικά) σωματίδια, που εμφανίζονται και εξαφανίζονται διαρκώς. Αυτή η διαρκής παραβίαση της αρχής διατήρησης της ενέργειας είναι δυνατή εξαιτίας της αρχής της αβεβαιότητας του Heisenberg. Σύμφωνα με το παραπάνω σχήμα, τα «εν δυνάμει» σωματίδια είναι περισσότερα έξω από τις πλάκες και λιγότερα ανάμεσά τους.
Και γι αυτό εμφανίζεται μια ανεπαίσθητη ελκτική δύναμη μεταξύ των δυο μεταλλικών πλακών.
Πρόκειται για το φαινόμενο Casimir ή δύναμη Casimir. Το φαινόμενο προτάθηκε για πρώτη φορά από τον Ολλανδό φυσικό Ηendrik Casimir (1909 – 2000) ο οποίος υπήρξε μαθητής του Niels Bohr και μετρήθηκε πειραματικά από τον S. Lamoreaux το 1996 . Η δύναμη που μέτρησε ο Lamoreaux στο εργαστήριο του Los Alamos ήταν ίση με το 1/30000 της δύναμης του βάρους ενός μυρμηγκιού.

Δεν πρόκειται για ηλεκτρομαγνητική δύναμη (και εννοείται ούτε βαρυτική ούτε ισχυρή ή ασθενή πυρηνική δύναμη), αλλά οφείλεται αποκλειστικά και μόνο στις κβαντικές διακυμάνσεις του κενού. Λεπτομερείς υπολογισμοί δείχνουν ότι η δύναμη Casimir είναι ελκτική και αντιστρόφως ανάλογη της τέταρτης δύναμης της απόστασης μεταξύ των δυο μεταλλικών πλακών.

Η συνάρτηση ζήτα του Riemann και το φαινόμενο Casimir

Aς δούμε με μερικούς απλούς υπολογισμούς το πως συνδέεται η δύναμη Casimir με την συνάρτηση ζ του Riemann. Στην περίπτωση μιας διάστασης τα στάσιμα κύματα περιγράφονται από την εξίσωση:
\psi_{n}(x,t) = e^{-i\omega_{n}t}\sin(k_{n}x)
όπου k_{n}=\frac{n\pi}{\alpha}  και \alpha η απόσταση στην οποία περιορίζονται τα στάσιμα κύματα.
Ισχύει \omega_{n} = k_{n} c = \frac{n \pi c}{\alpha}
και η ενέργεια του κενού όλων των στάσιμων κυμάτων θα είναι το άθροισμα
E = \frac{\hbar}{2} \sum\limits_{n=1}^\infty \omega_{n} = \frac{\hbar \pi c}{2 \alpha} \sum\limits_{n=1}^\infty n
Φαίνεται πως το παραπάνω άθροισμα αποκλίνει:
\sum\limits_{n=1}^\infty n = 1+2+3+4+5+ \cdots \rightarrow \infty

Ή μήπως όχι;

Σύμφωνα με την φυσική η απάντηση είναι όχι. Αλλιώς η ενέργεια μεταξύ των δυο μεταλλικών πλακών θα έπρεπε να είναι άπειρη … κάτι που βέβαια ΔΕΝ παρατηρείται.

Για τον λόγο αυτό ας ξεφύγουμε λίγο από την μαθηματική αυστηρότητα, γράφοντας την τελευταία εξίσωση ως:

E = \frac{\hbar \pi c}{2 \alpha} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n^{-1}}  (1)

Βλέπουμε ότι το άθροισμα που εμφανίζεται στην παραπάνω εξίσωση είναι η συνάρτηση ζ του Riemann
\zeta(z) = \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n^{z}}
για z=-1 .
Συνεπώς χρειαζόμαστε την τιμή της συνάρτησης Riemann για z=-1 :
\zeta(-1) = \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n^{-1}} = 1+2+3+4+5+ \cdots
Την τιμή αυτή (αλλά και οποιαδήποτε άλλη τιμή της συνάρτησης Riemann) μπορούμε να βρούμε εύκολα ΕΔΩ ή ΕΔΩ για να διαπιστώσουμε  (όπως είχαμε δει και σε προηγούμενη ανάρτηση), ότι:
\zeta(-1) = \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n^{-1}} = \sum\limits_{n=1}^\infty n = 1+2+3+4+5+ \cdots = -1/12

zetaΑντικαθιστώντας το παραπάνω αποτέλεσμα στην εξίσωση (1) παίρνουμε:
E = -\frac{\hbar \pi c}{24 \alpha}
και η δύναμη μεταξύ των δυο πλακών θα είναι:
F= -\frac{\partial E}{\partial \alpha} = -\frac{\hbar \pi c}{24 \alpha^{2}}
Αυτή είναι η δύναμη Casimir όπως υπολογίζεται στην απλούστερη μονοδιάστατη περίπτωση, χρησιμοποιώντας την συνάρτηση ζήτα του Riemann – αλλά χωρίς καμία αναφορά στην μέθοδο της επανακανονικοποίησης (renormalization). Το  αρνητικό πρόσημο υποδεικνύει ότι η δύναμη είναι ελκτική.