Διαφορικές εξισώσεις και αρχή διατήρησης ενέργειας

Posted on 04/09/2013

1


… η συνέχεια της ανάρτησης: «Χρησιμοποιώντας την αρχή διατήρησης της ενέργειας…»

Η επιτάχυνση είναι η δεύτερη παράγωγος της μετατόπισης
a = d^{2}x/dt^{2} = x''(t)
και ο δεύτερος νόμος του Νewton για μια δύναμη συντηρητική F(x) γράφεται
m x''(t) = F(x)
ή θεωρώντας την μάζα ίση με την μονάδα:

x''(t) = F(x)

Η δύναμη F(x) που ασκείται στη μοναδιαία μάζα (m=1) θα μπορούσε για παράδειγμα να είναι η δύναμη ενός ελατηρίου:
F(x) = -k x
Στην περίπτωση αυτή η μοναδιαία μάζα εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση στην οποία διατηρείται σταθερή η μηχανική ενέργεια (κινητική + δυναμική).
Η δυναμική ενέργεια υπολογίζεται από την σχέση
F(x) = - dV(x) / dx \Rightarrow V(x) =-\int F(x) dx

Από την παραπάνω εξίσωση προκύπτει εύκολα η εξίσωση της δυναμικής ενέργειας συστήματος μάζας – ελατηρίου:
V(x) = k x^{2}/2
Kαι βέβαια ισχύει η αρχή διατήρησης της ενέργειας
\frac{1}{2} m v^{2}(t) + \frac{1}{2} k x^{2}(t) = C
όπου C μια σταθερά.

Συνεπώς η συνάρτηση x(t) που ικανοποιεί την εξίσωση
x''(t) = F(x) ,
θα ικανοποιεί και την
\frac{1}{2} x'^{2}(t) + V(x) = C
όπου V(x) =-\int F(x) dx

Αν αλλάξουμε τον συμβολισμό ως εξής t \leftrightarrow x και x(t) \leftrightarrow y(x) τότε η διαφορική εξίσωση της μορφής
y''(x) = F(y)
θα είναι ισοδύναμη με την
\frac{1}{2} y'^{2}(x) + V(y) = C
όπου V(y) =-\int F(y) dy

Το αρχικό ζητούμενο ήταν η επίλυση της διαφορικής εξίσωσης:
2y^{3} y''+ 5 = 0
με αρχικές συνθήκες y(0)=1  και y'(0)=\sqrt{5/2}

Η εξίσωση γράφεται y'' = -\frac{5}{2 y^{3}} = F(y)

Σύμφωνα με τα προηγούμενα η εξίσωση αυτή μεταπίπτει στην αντίστοιχη εξίσωση «αρχής διατήρησης ενέργειας»:
\frac{1}{2} y'^{2}(x) + V(y) = C
και δεδομένου ότι
V(y) =-\int F(y) dy = - \int \frac{5 \, dy}{2 y^{3}} = - \frac{5}{4 \, y^{2}}
θα έχουμε τελικά την απλούστερη διαφορική εξίσωση:
\frac{1}{2} y'^{2}(x) - \frac{5}{4 \, y^{2}} = C
Από τις αρχικές συνθήκες προκύπτει εύκολα η τιμή της σταθεράς C=0
οπότε
\frac{1}{2} y'^{2}(x) = \frac{5}{4 \, y^{2}}
ή
y dy = \sqrt{\frac{5}{2}} dx
… και τελικά …
y = \sqrt{\sqrt{10}x+1} difequ