Χρησιμοποιώντας την αρχή διατήρησης της ενέργειας …

Posted on 01/09/2013

2


… να λυθεί η διαφορική εξίσωση:
2y^{3} y''+ 5 = 0
με αρχικές συνθήκες y(0)=1 και y'(0)=\sqrt{5/2}

difequ

Eφαρμόζοντας τον μετασχηματισμό που περιγράφεται παρακάτω, η δοθείσα εξίσωση μετατρέπεται σε μια διαχωρίσιμη εξίσωση πρώτης τάξης που λύνεται εύκολα

Οι διαφορικές εξισώσεις της μορφής

y''= f(y) \, \, \, \, \, \, (1)

με f(y) μια τυχούσα συνάρτηση του y λύνονται εύκολα εισάγοντας την συνάρτηση «δυναμικού» V(y) μέσω της σχέσης
f(y)=-dV/dy
Έτσι, η διαφορική εξίσωση (1) μετασχηματίζεται στην απλούστερη:
\frac{1}{2} y'^{2} + V(y)=C , (η σταθερά C προσδιορίζεται από τις αρχικές συνθήκες)
Πίσω από την τελευταία εξίσωση κρύβεται η Αρχή Διατήρησης της Ενέργειας, αν δούμε την εξίσωση y''= f(y) ως τον δεύτερο νόμο του Newton….
… (συνεχίζεται ΕΔΩ)