Χρησιμοποιώντας την αρχή διατήρησης της ενέργειας …

… να λυθεί η διαφορική εξίσωση:
2y^{3} y''+ 5 = 0
με αρχικές συνθήκες y(0)=1 και y'(0)=\sqrt{5/2}

difequ

Eφαρμόζοντας τον μετασχηματισμό που περιγράφεται παρακάτω, η δοθείσα εξίσωση μετατρέπεται σε μια διαχωρίσιμη εξίσωση πρώτης τάξης που λύνεται εύκολα

Οι διαφορικές εξισώσεις της μορφής

y''= f(y) \, \, \, \, \, \, (1)

με f(y) μια τυχούσα συνάρτηση του y λύνονται εύκολα εισάγοντας την συνάρτηση «δυναμικού» V(y) μέσω της σχέσης
f(y)=-dV/dy
Έτσι, η διαφορική εξίσωση (1) μετασχηματίζεται στην απλούστερη:
\frac{1}{2} y'^{2} + V(y)=C , (η σταθερά C προσδιορίζεται από τις αρχικές συνθήκες)
Πίσω από την τελευταία εξίσωση κρύβεται η Αρχή Διατήρησης της Ενέργειας, αν δούμε την εξίσωση y''= f(y) ως τον δεύτερο νόμο του Newton….
… (συνεχίζεται ΕΔΩ)



Κατηγορίες:ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ, ΜΗΧΑΝΙΚΗ, ΦΥΣΙΚΗ

Ετικέτες:

2 replies

  1. Κάτι τέτοιο μου είχε έρθει στο μυαλό πέρσι το καλοκαίρι, όχι όμως με δυναμικό, αλλά με δυναμική ενέργεια. Είχε πάει το μυαλό μου, διότι από 2ο νόμο του Νεύτωνα πας εύκολα σε διατήρηση της ενέργειας, οπότε αν θεωρήσεις «κομμάτια» της εξίσωσης ως ενέργειες, θα μετατρέψεις στην ουσία την εξίσωση, σε απλή διατήρηση της ενέργειας. Κάπως έτσι το είχα σκεφτεί. Τελικά, δεν απέχει πάρα πολύ απ’ ότι φανταζόμουν… Περιμένουμε την συνέχεια!

    • Όταν λέει «συνάρτηση δυναμικού» εννοεί «συνάρτηση δυναμικής ενέργειας».
      Απλά έτσι έχει καθιερωθεί να λέγεται σε όλα σχεδόν τα συγγράμματα Κλασικής Μηχανικής.

Σχολιάστε

Εισάγετε τα παρακάτω στοιχεία ή επιλέξτε ένα εικονίδιο για να συνδεθείτε:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

Φωτογραφία Google

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Google. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

Σύνδεση με %s

Ο ιστότοπος χρησιμοποιεί το Akismet για την εξάλειψη των ανεπιθύμητων σχολίων. Μάθετε πως επεξεργάζονται τα δεδομένα των σχολίων σας.

Αρέσει σε %d bloggers: