Ελεύθερη πτώση προς το κέντρο της Γης

Πόσο χρόνο χρειάζεται ένα αντικείμενο να διασχίσει υποθετικό τούνελ, που διέρχεται από το κέντρο της Γης, πέφτοντας ελεύθερα από το ένα άκρο στο άλλο;
elevator_1Σε ένα υποθετικό πηγάδι που διέρχεται από το κέντρο της Γης και συνδέει δυο αντιδιαμετρικά της σημεία, αφήνουμε να πέσει ελεύθερα ένα σώμα. Σε πόσο χρόνο το σώμα θα φθάσει στο άλλο άκρο του πηγαδιού;

Αν υποθέσουμε ότι η μάζα της Γης είναι ομοιόμορφα κατανεμημένη σε έναν τέλεια σφαιρικό όγκο (σταθερή πυκνότητα) και ότι δεν υπάρχει αντίσταση του αέρα, τότε το πρόβλημα μπορεί να απαντηθεί εύκολα, χρησιμοποιώντας τον νόμο του Gauss για το βαρυτικό πεδίο της Γης ή που είναι το ίδιο, χρησιμοποιώντας τον νόμο της παγκόσμιας έλξης, με κάποια απλά επιχειρήματα συμμετρίας.

Εκ πρώτης όψεως φαίνεται πως απαιτείται αρκετός χρόνος, εφόσον το σώμα που πέφτει στη σήραγγα πρέπει να διανύσει μια απόσταση ίση με τη διάμετρο της Γης – 12.800 km περίπου. Αλλά τι εννοούμε όταν λέμε αρκετός χρόνος; ένα έτος; κάποιοι μήνες; μερικές μέρες; λίγες ώρες; ή αρκετά λεπτά της ώρας;

Θα μπορούσαμε να πάρουμε πολύ γρήγορα μια χονδρική εκτίμηση του χρόνου αυτού, χωρίς την χρήση των νόμων της φυσικής, διαμέσου της μεθόδου της διαστατικής ανάλυσης.

Διαστατική ανάλυση

Ο χρόνος πτώσης σε πεδίο βαρύτητας ως γνωστόν δεν εξαρτάται από την μάζα m του σώματος που πέφτει. Εξαρτάται, όμως από την μάζα της Γης M που δημιουργεί το βαρυτικό πεδίο. Περιμένουμε επίσης να εξαρτάται από την ακτίνα της Γης R , καθώς επίσης και ότι στην τελική εξίσωση θα περιέχεται η σταθερά της παγκόσμιας έλξης G .

Με λίγα λόγια ο ζητούμενος χρόνος θα υπολογίζεται από μια σχέση της μορφής:
t \sim M^{x} R^{w} G^{y}
Οι μονάδες μέτρησης του πρώτου μέλους θα πρέπει να είναι ίδιες με τις μονάδες μέτρησης του δεύτερου μέλους.

Έτσι, αντικαθιστώντας τις μονάδες των μεγεθών που περιέχονται στην παραπάνω σχέση προκύπτει η εξίσωση:
s = kg^{x-y} m^{3y+w} s^{-2y}
η οποία ικανοποιείται μόνο όταν
x-y=0 , 3y+w=0 και -2y=1
ή όταν x=y=-\frac{1}{2} και w=\frac{3}{2} .

Συνεπώς μια εκτίμηση για τον χρόνο που χρειάζεται ένα σώμα για να διασχίσει μια σήραγγα που διέρχεται από το κέντρο της Γης, πέφτοντας ελεύθερα μόνο υπό την επίδραση του πεδίου βαρύτητας, θα δίνεται από την σχέση
t \sim \sqrt{\frac{R^{3}}{GM}}

Σε ανάλογη σχέση καταλήξαμε εφαρμόζοντας την ίδια συλλογιστική στην ανάρτηση με τίτλο «Σε πόσο χρόνο θα κατέρρεε βαρυτικά ο Ήλιος αν ξαφνικά σταματούσαν οι πυρηνικές αντιδράσεις στο εσωτερικό του;«

Αν θέσουμε τις τιμές της σταθεράς της παγκόσμιας έλξης, της ακτίνας και της μάζας της Γης – που εύκολα βρίσκει κανείς στο google –, προκύπτει ότι
t \sim 13,4 min

Υποθέτοντας ότι η Γη έχει σταθερή πυκνότητα

Λύνοντας το πρόβλημα με τον κανονικό τρόπο αποδεικνύεται πως όταν μάζα βρίσκεται σε μια απόσταση r από το κέντρο της Γης, τότε η βαρυτική δύναμη που δέχεται είναι
F =\frac{G m M}{R^{3}} r

Aυτό σημαίνει ότι το σώμα εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση με σταθερή επαναφοράς
D = \frac{G m M}{R^{3}}
και περίοδο
T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{D}} = 2\pi \sqrt{\frac{R^{3}}{GM}}
Επομένως ο χρόνος για να φτάσει το σώμα από το ένα άκρο του τούνελ στο άλλο θα είναι
t = T/2 = \pi \sqrt{\frac{R^{3}}{GM}}= 42 min

Καταρχήν παρατηρούμε ότι η σχέση που υπολογίσαμε χρησιμοποιώντας την διαστατική ανάλυση δίνει την σωστή τάξη μεγέθους και διαφέρει από την ακριβή εξίσωση μόνο κατά τον αριθμητικό παράγοντα π=3,14. Όμως, αυτό ήταν αναμενόμενο, διότι η διαστατική ανάλυση αδυνατεί να προσδιορίσει τις αδιάστατες αριθμητικές σταθερές.

Υποθέτοντας ότι η επιτάχυνση της βαρύτητας είναι σταθερή

Αν υποθέσουμε ότι η ένταση του πεδίου βαρύτητας στο εσωτερικό της Γης είναι σταθερή και ίση με την τιμή που έχει στην επιφάνεια της Γης g_{0} =\frac{G M}{R^{2}}
τότε θεωρώντας ότι το σώμα εκτελεί ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση, ο χρόνος κίνησης από το ένα άκρο της σήραγγας μέχρι το άλλο θα είναι
T = 2 \sqrt{\frac{2R}{g_{0}}} = 2 \sqrt{\frac{2R^{3}}{GM}} = 38 min

Σταθερή πυκνότητα ή σταθερή επιτάχυνση;

Στην πραγματικότητα όμως, ούτε η πυκνότητα της Γης είναι ομοιόμορφη – σύμφωνα με την υπόθεση της σταθερής πυκνότητας υπολογίστηκε ο χρόνος των 42 λεπτών – ούτε βέβαια υπόθεση ότι της σταθερής έντασης του πεδίου βαρύτητας στο εσωτερικό της Γης ισχύει – βάσει της οποίας υπολογίζεται ο χρόνος των 38 λεπτών.

Ποιος από τους δυο χρόνους είναι ο πιο ρεαλιστικός; Όσοι επιλέγουν τον χρόνο που προκύπτει υποθέτοντας ότι η Γη έχει σταθερή πυκνότητα (42 min) κάνουν λάθος!

Η ένταση του βαρυτικού πεδίου (μαύρο χρώμα) και η πυκνότητα στο εσωτερικό της Γης (κόκκινο) συναρτήσει της απόστασης από το κέντρο της Γης σύμφωνα με το Preliminary Earth Reference Model (PREM)

Η ένταση του βαρυτικού πεδίου (μαύρο χρώμα) και η πυκνότητα (κόκκινο) στο εσωτερικό της Γης συναρτήσει της απόστασης από το κέντρο της Γης σύμφωνα με το Preliminary Earth Reference Model (PREM)

To παραπάνω διάγραμμα μας δείχνει πως μεταβάλλεται η πυκνότητα της Γης συναρτήσει της απόστασης από το κέντρο της, σύμφωνα με το μοντέλο PREM.
Οι αριθμητικοί υπολογισμοί του Alexander R. Klotz, στην εργασία του με τίτλο «The Gravity Tunnel in a Non-Uniform Earth» που λαμβάνουν υπόψη την ρεαλιστική πυκνότητα της Γης δείχνουν ότι ο χρόνος που απαιτείται για να διασχίσει ένα σώμα το τούνελ που διέρχεται από το κέντρο της Γης είναι 38 λεπτά και 11 δευτερόλεπτα.

Συμπερασματικά,
αν ανοίξουμε μια σήραγγα στη Γη που θα περνάει από το κέντρο της και θα φτάνει στην άλλη πλευρά της και στη συνέχεια αφήσουμε μια πέτρα να πέσει μέσα, τότε
η πέτρα θα φτάσει στο άλλο άκρο της σήραγγας σε χρόνο λιγότερο της μιας ώρας.
Για την ακρίβεια,
αν λύσουμε το πρόβλημα ως συνήθως, θεωρώντας την πυκνότητα της Γης σταθερή, τότε βρίσκουμε ότι η πέτρα φτάνει στο άλλο άκρο,  εκτελώντας απλή αρμονική ταλάντωση, μετά από 42 λεπτά και 12 δευτερόλεπτα,
ενώ οι αριθμητικοί υπολογισμοί που παίρνουν υπόψη τους την πραγματική κατανομή της μάζας στο εσωτερικό της Γης, δίνουν χρόνο 38 λεπτά και 11 δευτερόλεπτα.
Αν λύσουμε το πρόβλημα θεωρώντας την χοντροκομμένη υπόθεση ότι το σώμα εκτελεί κίνηση με σταθερή επιτάχυνση και ίση με την επιτάχυνση της βαρύτητας στην επιφάνεια της Γης, τότε βρίσκουμε ότι η πέτρα φτάνει στο άλλο άκρο μετά από 38 λεπτά και 0 δευτερόλεπτα,
μια τιμή που διαφέρει μόνο 11 δευτερόλεπτα από την ρεαλιστικότερη προσέγγιση του προβλήματος!

(νεώτερη ενημέρωση 6/8/2016)
Διαβάστε σχετικά: Gravity Tunnel Drag



Κατηγορίες:ΒΑΡΥΤΗΤΑ, ΜΗΧΑΝΙΚΗ, ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ, ΦΥΣΙΚΗ

Ετικέτες: , ,

16 replies

  1. Ομως επειδη το εχω στο μυαλο μου χρονια ……. η πετρα υπαρχει περιπτωση ποτε (ας υποθεσουμε οτι κανουμε το τουνελ) να φτασει στην αλλη ακρη του ?
    Αφου η βαρυτητα ειναι προς το κεντρο της Γης οποτε ????
    Απλα θα φτασει εκει προς το κεντρο και θα παραμεινει αιωρουμενη ( η πετρα ) .
    Ετσι δεν ειναι ???
    Το σκεφτομαι απο παλια και θα ηθελα μια απαντηση παρακαλω πολυ.

    • μόλις φτάσει στο κέντρο της Γης η δύναμη που δέχεται η πέτρα είναι μηδενική, όμως έχει ταχύτητα (και μάλιστα την μέγιστη της διαδρομής), οπότε συνεχίζει να κινείται επιβραδυνόμενα μέχρι να σταματήσει στιγμιαία στο αντιδιαμετρικό άκρο του πηγαδιού – φαντάσου ένα εκκρεμές … δεν σταματάει μόλις φτάσει στο κατώτερο σημείο (θέση ισορροπίας) αλλά συνεχίζει την κίνησή του …

      • Σωστά. Το σώμα θα εκτελέσει απλή αρμονική ταλάντωση μέσα στο τούνελ & επειδή η πυκνότητα & η επιτάχυνση της βαρύτητας της Γης δεν είναι σταθερές, η ταλάντωση θα είναι φθίνουσα λόγω απωλειών (ακόμη & με έλλειψη ατμόσφαιρας) & κάποια στιγμή το σώμα θα ακινητοποιηθεί στο κέντρο της Γης.

        • @matthew
          Αν δεν υπάρχει αντίσταση αέρα ή άλλου είδους τριβές το σώμα δεν σταματάει ποτέ.

          • Σωστός ο stathis. Θα ισχύσει η αρχή διατήρησης της μηχανικής ενέργειας.

          • Ναι, σωστά. Έχεις δίκιο. Στο απόλυτο κενό δε θα σταματήσει ποτέ χωρίς την παρουσία άλλων δυνάμεων εκτός της βαρύτητας.

  2. Ωραία προσέγγιση!

  3. Δεν θα φθάσει ποτέ απέναντι, αφού όταν περάσει το κέντρο η βαρύτητα θα το επαναφέρει σε αυτό.

    • Όπως λέει ο admin πιο πάνω «μόλις φτάσει στο κέντρο της Γης η δύναμη που δέχεται η πέτρα είναι μηδενική, όμως έχει ταχύτητα (και μάλιστα την μέγιστη της διαδρομής), οπότε συνεχίζει να κινείται επιβραδυνόμενα μέχρι να σταματήσει στιγμιαία στο αντιδιαμετρικό άκρο του πηγαδιού – φαντάσου ένα εκκρεμές … δεν σταματάει μόλις φτάσει στο κατώτερο σημείο (θέση ισορροπίας) αλλά συνεχίζει την κίνησή του», δηλαδή θα κάνει απλή αρμονική ταλάντωση με πλάτος την απόλυτη τιμή της μέγιστης απομάκρυνσης από τη θέση ισορροπίας, που είναι η επιφάνεια της γης.

  4. να με συγχωρείτε που επεμβαίνω, αλλά μήπως, λέω μήπως, μόλις περιγράψατε το αεικίνητο ??
    και για να σας βάλω σε λίγη σκέψη, μόλις φτάσειι το σώμα το σημείο μηδέν βαρύτητας, ακόμη και με όλη την ταχύτητα που θα έχει εκείνη την στιγμή, δεν θα δέχεται δυνάμεις από το σώμα της γής, πρός τυχαίες κατευθύνσεις ??
    Αυτές οι αλλαγές πορείας, δεν θα το φέρουν τελικά σε σύγκρουση με τα τοιχώματα του πηγαδιού, με αποτέλεσμα την αύξηση των τριβών και το σταμάτημα του σώματος ??
    Συμπαθάτε με αλά δεν είμαι φυσικός.
    Απλή απορία εκφράζω, γιατί απ’ ότι γνωρίζω, το αεικίνητο είναι αδύνατον να υπάρξει.
    ευχαριστώ

    • α) Οποιοδήποτε σώμα εκτελεί ταλάντωση σε ιδανικές συνθήκες (χωρίς τριβές, αντίσταση αέρα κτλ) θα μπορούσαμε να πούμε ότι είναι «αεικίνητο», αλλά δεν μπορεί να προσφέρει έργο. Οποιαδήποτε απόπειρα να μας προσφέρει έργο θα έχει σαν αποτέλεσμα την ελάττωση της κινητικής του ενέργειας με αποτέλεσμα να εκτελέσει φθίνουσα ταλάντωση και κάποτε να σταματήσει να κινείται.

      β) Υποθέσαμε ότι η μάζα της Γης είναι ομοιόμορφα κατανεμημένη σε έναν τέλεια σφαιρικό όγκο, άρα και οι βαρυτικές δυνάμεις που θα δέχεται το σώμα προς τυχαίες κατευθύνσεις θα είναι συμμετρικές και θα αλληλοεξουδετερώνονται.

  5. Θέλω να κάνω κάποιες παρατηρήσεις και ερωτήσεις. Δεν είμαι φυσικός οπότε συγχωρέστε μου τα όποια λάθη.
    1) Η γη έχει κλίση. Αυτό δεν παίζει κάποιο ρόλο?
    2) Η γη περιστρέφεται. Αν θεωρούσαμε ότι η τρύπα δεν ανοίγεται στο Βόρειο ή στον Νότιο Πόλο, αλλά σε ένα οποιοδήποτε άλλο σημείο του πλανήτη δεν θα έπρεπε να λάβουμε υπόψη την φυγόκεντρο δύναμη? Τι θα συνέβαινε τότε στο αντικείμενο?

    • Πάρα πολύ καλή παρατήρηση!

      2) Η γη περιστρέφεται γύρω από έναν άξονα, άρα έχουμε ένα μη αδρανειακό σύστημα αναφοράς και θα εμφανίζεται δύναμη Coriolis. Το αποτέλεσμα θα είναι παρόμοιο με αυτό που παρατηρούμε όταν πχ ένας πύραυλος εκτοξεύεται κάθετα από την επιφάνεια της γης (από οπουδήποτε εκτός των πόλων). Η τροχιά που θα ακολουθούσε το αντικείμενο ως προς τον παρατηρητή που βρίσκεται στην επιφάνεια της γης δεν θα ήταν ευθεία, άρα θα προσέκρουε στα τοιχώματα με αποτέλεσμα την απώλεια ενέργειας και τον εξαναγκασμό του σε φθίνουσα ταλάντωση. Θα έπρεπε να διευκρινίζεται αυτό στις αρχικές προϋποθέσεις του προβλήματος.

      1) Η κλίση που έχει ο άξονας περιστροφής της γης σε σχέση με τη κίνησή της γύρω από τον ήλιο, δεν επηρεάζει. Αν όμως συνυπολογίσουμε και την περιστροφική κίνηση του άξονά της γύρω από έναν νοητό άξονα (όπως συμβαίνει και με τις σβούρες), τότε ασκείται κι άλλη δύναμη Coriolis. Με το ίδιο σκεπτικό όμως, μπορούμε να συμπεριλάβουμε και δυνάμεις Coriolis λόγω της περιστροφής της γης γύρω από τον Ήλιο, του Ήλιου γύρω από το αστρικό του σμήνος, το αστρικό σμήνος γύρω από το κέντρο του γαλαξία, κ.ο.κ…

      ***Προς αποφυγή παρεξηγήσεων, ούτε εγώ είμαι Φυσικός (ακόμα), ηλεκτρονικός μηχανικός είμαι και τώρα κάνω σπουδές στις φυσικές επιστήμες του ΕΑΠ. Όπου έχω λάθος διορθώστε με.

  6. μετα απο 2 χρόνια. American Journal of Physics http://scitation.aip.org/content/aapt/journal/ajp/83/3/10.1119/1.4898780

  7. Καλησπέρα. Ούτε εγώ είμαι φυσικός αλλά σαν άνθρωπος έχω ερωτήσεις. Απ΄ότι ξέρω η ταχύτητα έλξης αυξάνεται όσο πλησιάζουμε το κέντρο της γης. Η μέγιστη ταχύτητα που θα φτάσει το τελευταίο απειροελάχιστο του δευτερολέπτου είναι γνωστή?! Αυτή η απορία με βασανίζει εδώ και πολύ καιρό.

    • Υποθέτοντας ότι η Γη έχει σταθερή πυκνότητα υπολογίζεται περίπου 8 χιλιόμετρα το δευτερόλεπτο

Σχολιάστε

Εισάγετε τα παρακάτω στοιχεία ή επιλέξτε ένα εικονίδιο για να συνδεθείτε:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

Φωτογραφία Google

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Google. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

Σύνδεση με %s

Ο ιστότοπος χρησιμοποιεί το Akismet για την εξάλειψη των ανεπιθύμητων σχολίων. Μάθετε πως επεξεργάζονται τα δεδομένα των σχολίων σας.

Αρέσει σε %d bloggers: