To ιδεατό πείραμα συμβολής ηλεκτρονίων του Feynman

Posted on 17/03/2013

1


… πραγματοποιήθηκε με επιτυχία!

O Richard Feynman υπήρξε ένας εξαιρετικός δάσκαλος. Το βιβλίο του «Οι διαλέξεις φυσικής», που πρωτοεκδόθηκε το 1963, εξακολουθεί να είναι o ιδανικότερος οδηγός για δασκάλους και για φοιτητές που κάνουν τα πρώτα βήματά τους στο πεδίο της Φυσικής. Στις διαλέξεις του ο Feynman επιχείρησε μεταξύ άλλων να αποσαφηνίσει τα πιο γενικά και θεμελιώδη χαρακτηριστικά της κβαντικής μηχανικής. Έτσι ο τρίτος τόμος των «Διαλέξεων» που έχει ως αντικείμενο την κβαντομηχανική, αρχίζει με την περιγραφή της συμπεριφοράς των ηλεκτρονίων στο περίφημο πείραμα συμβολής.

Για να κατανοήσουμε την κβαντική συμπεριφορά των ηλεκτρονίων, την αντιπαραβάλει αρχικά με την συμπεριφορά μικρών μακροσκοπικών σφαιριδίων, καθώς επίσης και με την συμπεριφορά των κυμάτων νερού.
Πρώτα λοιπόν ο Feynman περιγράφει την συμπεριφορά των κλασικών σφαιριδίων στην παρακάτω πειραματική διάταξη.
feynman_bullets
Ένα πυροβόλο εκτοξεύει σφαίρες τυχαία προς διάφορες κατευθύνσεις όπως δείχνει το σχήμα. Μπροστά από το πυροβόλο υπάρχει ένας τοίχος με δυο οπές των οποίων το μέγεθος επιτρέπει τη διέλευση μόνο ενός σφαιριδίου. Μετά από τον τοίχο υπάρχει ένα πέτασμα στο οποίο καταλήγουν οι σφαίρες. Εκεί υπάρχει και ένας «ανιχνευτής» των σφαιριδίων (σύμφωνα με τον Feynman θα μπορούσε να είναι ένα κουτί με άμμο που θα φρέναρε και θα συνέλεγε κάθε σφαιρίδιο που θα εισερχόταν σ’ αυτό). Ο ανιχνευτής μπορεί να κινείται κατά μήκος του πετάσματος (διεύθυνση x).
Με Ρ12 συμβολίζεται η πιθανότητα να περάσει ένα σφαιρίδιο είτε από τη μια είτε από την άλλη οπή, όταν και οι δυο είναι ανοιχτές. Βλέπουμε ότι η πιθανότητα Ρ12 παίρνει την μέγιστη τιμή της στη θέση x=0.
Επαναλαμβάνουμε το πείραμα καλύπτοντας την οπή 2, οπότε η κατανομή των σφαιριδίων είναι η καμπύλη Ρ1, ενώ αν καλύψουμε την οπή 1 παίρνουμε την κατανομή Ρ2.
Το μέγιστο της καμπύλης Ρ1 εμφανίζεται στην ίδια ευθεία με την οπή 1, και το μέγιστο της καμπύλης Ρ2 εμφανίζεται στην ίδια ευθεία με την οπή 2.
Συγκρίνοντας τα αποτελέσματα συμπεραίνουμε ότι:

Ρ12= Ρ1+ Ρ2

Με λίγα λόγια οι πιθανότητες αθροίζονται. Το αποτέλεσμα όταν και οι δυο οπές είναι ανοιχτές είναι το άθροισμα των αποτελεσμάτων με την μια οπή ανοιχτή. Δηλαδή δεν παρατηρείται συμβολή, όπως στο αμέσως επόμενο πείραμα με κύματα νερού.

Στη συνέχεια πραγματοποιούμε το ίδιο πείραμα, αλλά με κύματα νερού. Η πειραματική διάταξη φαίνεται στο επόμενο σχήμα.
feynman_waves
Φροντίζουμε το πέτασμα να είναι ένας απορροφητής των κυμάτων έτσι ώστε να μην υπάρχουν ανακλώμενα κύματα. Ο ανιχνευτής αυτή τη φορά μετράει την ένταση των κυμάτων. Αυτό μπορεί να γίνει αν η συσκευή μετράει το ύψος (πλάτος) των κυμάτων και δίνει ως ένδειξη το τετράγωνο του πλάτους (που είναι ευθέως ανάλογο με την ένταση του κύματος).
Η ένταση είναι ανάλογη με την ενέργεια που μεταφέρει το κύμα, οπότε ο ανιχνευτής μετράει τον ρυθμό απορρόφησης ενέργειας.
Η πρώτη βασική διαφορά με την προηγούμενη πειραματική διάταξη είναι ότι τώρα το μετρούμενο μέγεθος, η ένταση, μπορεί να έχει οποιαδήποτε τιμή σε αντίθεση με τα σφαιρίδια που φτάνουν σε στοιχειώδη ποσά (ο ανιχνευτής ανιχνεύει πάντα μια σφαίρα).
Αν αυξήσουμε τη συχνότητα της πηγής των κυμάτων, τότε παίρνουμε μεγαλύτερες ενδείξεις στον ανιχνευτή. Ενώ, αν αυξήσουμε τον ρυθμό των βολών του πυροβόλου σφαιρών στο προηγούμενο πείραμα, θα ανιχνεύεται πάντα μια σφαίρα κάθε φορά.

Μετρώντας την ένταση, όταν και οι δυο οπές είναι ανοιχτές, για διάφορες τιμές του x παίρνουμε την καμπύλη Ι12 . Κλείνοντας την οπή 2, παίρνουμε την καμπύλη Ι1, ενώ κλείνοντας την οπή 1 παίρνουμε την καμπύλη 2.
Παρατηρούμε ότι το άθροισμα των εντάσεων Ι1 και Ι2 δεν ισούται με την ένταση Ι12 όταν και οι δυο οπές είναι ανοιχτές. Αυτό είναι το φαινόμενο της συμβολής.
Όταν τα κύματα που έρχονται από τις οπές 1 και 2 βρίσκονται σε φάση, τότε αθροίζονται δίνοντας μέγιστη ένταση. Όταν όμως τα κύματα φτάνουν με διαφορά φάσης π τότε προκύπτει η ελάχιστη ένταση.
Αν εκφράσουμε το στιγμιαίο πλάτος (ύψος) του κύματος νερού ως he^{i\omega t}
τότε θα ισχύει για τις εντάσεις του πειράματος
I_{1} = |h_{1}|^{2} , I_{2} = |h_{2}|^{2} και
I_{12} = |h_{1}+h_{2}|^{2} = |h_{1}|^{2} + |h_{2}|^{2} + 2|h_{1}h_{2}|\cos\delta
όπου δ η διαφορά φάσης μεταξύ h1 και h2. Σε όρους εντάσεων των κυμάτων μπορούμε να γράψουμε:
I_{12} = I_{1} + I_{2} + 2 \sqrt{I_{1}I_{2}}\cos\delta
O τελευταίος όρος είναι ο όρος συμβολής

Στη συνέχεια ο Feynman περιγράφει το ίδιο πείραμα με ηλεκτρόνια, ως εξής:

«…. κατασκευάζουμε ένα «πυροβόλο» ηλεκτρονίων το οποίο συνίσταται από ένα σύρμα βολφραμίου, θερμαινόμενο από ηλεκτρικό ρεύμα, και περιβαλlόμενο από ένα μεταλλικό κουτί που έχει μια οπή. Αν το σύρμα βρίσκεται σε μια αρνητική τάση ως προς το κουτί, τότε εκπέμπονται ηλεκτρόνια από το σύρμα που επιταχύνονται προς τα τοιχώματα και μερικά απ’ αυτά διέρχονται από την οπή.
Όλα τα ηλεκτρόνια που εξέρχονται από το «πυροβόλο» θα έχουν (σχεδόν) την ίδια ενέργεια.
Μπροστά από το πυροβόλο βρίσκεται πάλι ένα τοίχωμα (ένα λεπτό μεταλλικό επίπεδο) που φέρει δυο οπές στην επιφάνειά του. Πέρα από το τοίχωμα βρίσκεται ένα άλλο επίπεδο που χρησιμεύει ως «πέτασμα». Μπροστά από το πέτασμα τοποθετούμε έναν μετακινούμενο ανιχνευτή. Ο ανιχνευτής μπορεί να είναι ένας απαριθμητής Geiger ή ακόμα καλύτερα ένας ηλεκτρονικός πολλαπλασιαστής που συνδέεται με ένα μεγάφωνο.
feynman1
Θα πρέπει να πούμε ευθύς αμέσως ότι δεν πρέπει να προσπαθήσετε να πραγματοποιήσετε αυτό το πείραμα, όπως θα μπορούσατε να κάνετε με τα άλλα δυο πειράματα που ήδη έχουμε περιγράψει (πειράματα συμβολής με σφαίρες ή κύματα νερού).
Αυτό το πείραμα δεν έχει πραγματοποιηθεί ποτέ μ’ αυτόν ακριβώς τον τρόπο.
Το πρόβλημα είναι ότι η διάταξη πρέπει να κατασκευαστεί σε απίστευτα μικρή κλίμακα έτσι ώστε να αναδεικνύονται τα φαινόμενα που μας ενδιαφέρουν.
Θα κάνουμε λοιπόν ένα «πείραμα σκέψης», που το έχουμε επιλέξει διότι είναι εύκολο να το φανταστούμε. Γνωρίζουμε τα αποτελέσματα που θα προέκυπταν επειδή υπάρχουν πολλά πειράματα που έχουν γίνει, στα οποία η κλίμακα και οι αναλογίες έχουν επιλεχθεί έτσι ώστε να εμφανίζουν τα φαινόμενα θα περιγράψουμε.
Το πρώτο πράγμα που παρατηρούμε στο πείραμά μας με τα ηλεκτρόνια είναι ότι ακούμε ξεχωριστά «κλικ» από τον ανιχνευτή (από το μεγάφωνό του). Και όλα τα «κλικ» είναι τα ίδια. Δεν υπάρχουν «μισά κλικ».
Θα μπορούσαμε επίσης να προσέξουμε πώς τα «κλικ» ακούγονται με ακανόνιστο ρυθμό. Κάπως έτσι: κλικ … κλικ-κλικ … κλικ … … … κλικ….. κλικ-κλικ ……κλικ ……, κλπ, όπως ακριβώς ένας απαριθμητής Geiger σε λειτουργία, που πιθανώς να έχετε ακούσει.
Αν μετρήσουμε τα κλικ που φθάνουν για ένα αρκετά μεγάλο χρονικό διάστημα – ας πούμε για μερικά λεπτά – και στη συνέχεια επαναλάβουμε την μέτρηση για ίση χρονική περίοδο, βρίσκουμε ότι οι δυο αριθμοί είναι σχεδόν ίσοι. Έτσι, μπορούμε να μιλάμε για έναν μέσο ρυθμό με τον οποίο ακούγονται τα κλικ (ώστε να έχουμε κατά μέσο όρο πολλά κλικ ανά λεπτό).
Καθώς μετακινούμε τον ανιχνευτή προς όλες τις κατευθύνσεις, ο ρυθμός με τον οποίο εμφανίζονται τα κλικ είναι ποιο γρήγορος ή πιο αργός, αλλά το μέγεθος (του ήχου) για κάθε κλικ είναι το ίδιο. Αν χαμηλώσουμε τη θερμοκρασία του σύρματος του «πυροβόλου» ηλεκτρονίων, ο ρυθμός των κλικ μειώνεται, αλλά τα κλικ ακούγονται το ίδιο όπως πριν. Θα μπορούσαμε να παρατηρήσουμε επίσης ότι αν τοποθετήσουμε δυο ξεχωριστούς ανιχνευτές στο πέτασμα, τότε θα ακούγαμε κλικ ή από τον έναν ή από τον άλλο, ποτέ όμως ταυτόχρονα και από τους δυο. (Εκτός από κάποιες σπάνιες περιπτώσεις, όταν ακούγονται δυο κλικ τόσο μικρή χρονική διαφορά, που το αυτί μας δεν μπορεί να τα ξεχωρίσει). Συνεπώς συμπεραίνουμε πως ότι κι αν είναι αυτό που φτάνει στο πέτασμα φτάνει σε μορφή «βώλων». Όλοι οι «βώλοι» έχουν το ίδιο μέγεθος: μόνο ολόκληροι «βώλοι» φτάνουν στο πέτασμα, και μάλιστα φτάνει ένας κάθε φορά. Θα λέμε λοιπόν: «Τα ηλεκτρόνια φθάνουν πάντα σαν να ήταν πανομοιότυποι βώλοι».
Όπως ακριβώς και στο πείραμά μας με τις σφαίρες, τώρα μπορούμε να ψάξουμε την απάντηση στην ερώτηση: «Ποια είναι η σχετική πιθανότητα ώστε ένα ηλεκτρόνιο «βώλος» να φθάσει στο πέτασμα σε διάφορες αποστάσεις x από το μέσον;».
Όπως και πριν, μετράμε την σχετική πιθανότητα παρατηρώντας τον ρυθμό των κλικ, θεωρώντας την λειτουργία του «πυροβόλου» σταθερή. Η πιθανότητα των βώλων να φτάσουν σε μια συγκεκριμένη απόσταση x είναι ανάλογη του μέσου ρυθμού των κλικ για το συγκεκριμένο x.
Το αποτέλεσμα του πειράματος είναι η ενδιαφέρουσα καμπύλη που συμβολίζεται με Ρ12 στο σχήμα που ακολουθεί. Μάλιστα! Αυτός είναι ο τρόπος με τον οποίο κινούνται τα ηλεκτρόνια…..»

Αυτό το τελευταίο πείραμα το οποίο Feynman μας αποτρέπει να το προσπαθήσουμε διότι: «η διάταξη πρέπει να κατασκευαστεί σε απίστευτα μικρή κλίμακα έτσι ώστε να αναδεικνύονται τα φαινόμενα που μας ενδιαφέρουν”, πραγματοποίησαν οι ερευνητές Roger Bach, Damian Pope, Sy-Hwang Liou και Herman Batelaan.

Το πείραμα περιγράφεται στην εργασία τους με τίτλο «Controlled double-slit electron diffraction» που δημοσιεύεται στο New Journal of Physics  και προφανώς επιβεβαιώνει το «πείραμα σκέψης» του Feynman.

Στην πειραματική τους διάταξη οι Bach et al χρησιμοποίησηαν μια δέσμη ηλεκτρονίων ενέργειας 600 eV (αντιστοιχεί σε μήκος κύματος de Broglie 50 pm) ένα διάφραγμα από πυρίτιο και χρυσό, πάνω στο οποίο υπήρχαν δύο σχισμές εύρους 62 nm 62-nm που απείχαν μεταξύ τους 272 nm. Οι σχισμές έκλειναν με τις μάσκες ελέγχονταν με έναν πιεζοηλεκτρικό ενεργοποιητή.

Στην πειραματική τους διάταξη οι Bach et al χρησιμοποίησαν μια δέσμη ηλεκτρονίων ενέργειας 600 eV (αντιστοιχεί σε μήκος κύματος de Broglie 50 pm) ένα διάφραγμα από πυρίτιο και χρυσό, πάνω στο οποίο υπήρχαν δύο σχισμές εύρους 62 nm  που απείχαν μεταξύ τους 272 nm. Οι σχισμές έκλειναν με  μάσκες που ελέγχονταν με έναν πιεζοηλεκτρικό ενεργοποιητή.
Μια διαφορά με το ιδεατό πείραμα του Feynman είναι η χρήση της ειδικής οθόνης φωσφόρου και η καταγραφή των ηλεκτρονίων (των «κλικ») με κάμερα (αντί του απαρχαιωμένου μετρητή Geiger). 

Μπορείτε να δείτε ένα βίντεο που δείχνει το αποτέλεσμα του πειράματος:

Στην εικόνα που ακολουθεί βλέπουμε το τελευταίο στιγμιότυπο της συμβολής των ηλεκτρονίων από το βίντεο αυτό: 

To αποτέλεσμα που κατέγραψε το πείραμα ήταν η συμβολή των ηλεκτρονίων.

Ετικέτα: