Η ενέργεια του φωτονίου και το απλό εκκρεμές

Τα φωτόνια (ή κβάντα φωτός) είναι τα «σωματίδια» από τα οποία συνίσταται το φως. Ο Planck ήταν ο πρώτος που προέβλεψε θεωρητικά την ύπαρξή τους το 1900, στην προσπάθειά του να εξηγήσει την ακτινοβολία θερμών σωμάτων (ακτινοβολία του μέλανος σώματος).
Αναγκάστηκε να δεχθεί ότι η ηλεκτρομαγνητική ακτινοβολία εκπέμπεται και απορροφάται από την ύλη σε διακριτά πακέτα ενέργειας και όχι κατά συνεχή ροή.
Μετά από πέντε χρόνια ο Einstein ερμήνευσε το φωτοηλεκτρικό φαινόμενο (την εκπομπή ηλεκτρονίων από μέταλλα όταν προσπίπτει πάνω σ’ αυτά ηλεκτρομαγνητική ακτινοβολία – φως), χρησιμοποιώντας την ιδέα του Planck.
Η ενέργεια του φωτονίου – ενός κβάντου φωτός – υπολογίζεται από την εξίσωση

Ε = h f

όπου
h μια σταθερά – η σταθερά του Planck – και
f η συχνότητα του ηλεκτρομαγνητικού κύματος.
Έτσι άρχισε η κβαντική φυσική…
Πίσω από τις μεγάλες θεωρίες πολλές φορές κρύβονται ιδέες και προβλήματα απλής φυσικής. Πολλοί φυσικοί στις αρχές του αιώνα στην προσπάθειά τους να κατανοήσουν τα κβαντικά φαινόμενα αναζητούσαν σανίδα σωτηρίας σε έννοιες και φαινόμενα της κλασικής φυσικής.
Έτσι ο Lorentz πρότεινε στον Einstein κατά τη διάρκεια του Solvay Conference το 1911, το παρακάτω πρόβλημα κλασσικής μηχανικής:
Να μελετηθεί η κίνηση ενός απλού εκκρεμούς το οποίο εκτελεί ελεύθερες ταλαντώσεις και ταυτόχρονα το μήκος του μεταβάλλεται αργά σε σχέση με την περίοδο του εκκρεμούς.

Καθώς το εκκρεμές ταλαντώνεται όταν μειώνουμε με αργό ρυθμό το μήκος του παρατηρούμε ότι η συχνότητα ταλάντωσής του αυξάνεται. Η μείωση του μήκους του εκκρεμούς ισοδυναμεί με ανύψωση του σφαιριδίου, άρα με αύξηση της ολικής ενέργειάς του. Αντίστοιχα, Η αύξηση του μήκους του εκκρεμούς (μείωση ενέργειας) προκαλεί, μείωση της συχνότητας.
Ο Einstein – προφανώς έλυσε το πρόβλημα, δεν είναι δύσκολο! – και απέδειξε ότι το πηλίκο της ενέργειας του εκκρεμούς προς την συχνότητα ταλάντωσής του παραμένει σταθερό ή που είναι το ίδιο ότι η ενέργεια είναι ανάλογη της συχνότητας:

Ε = (σταθερά) f
Η εξίσωση αυτή είναι ίδια με την εξίσωση της ενέργειας των κβάντων φωτός, αν στη θέση της σταθεράς βάλουμε την σταθερά του Planck !

Τα μεγέθη, όπως το πηλίκο της ενέργειας προς την συχνότητα του απλού εκκρεμούς, τα οποία διατηρούνται σταθερά κάτω από πολύ αργές μεταβολές κάποιων παραμέτρων ονομάζονται αδιαβατικά αναλλοίωτα (adiabatic invariant).
Το όνομα προκύπτει από το γεγονός ότι η έκφραση αδιαβατική μεταβολή παραπέμπει σε συνεχείς αργές μεταβολές κάποιων χαρακτηριστικών του συστήματος, αργές σε σχέση με την περίοδο του συστήματος.
Για τέτοιου είδους καταστάσεις αναπτύχθηκε μια θεωρία που έχει τις ρίζες της στον Boltzmann και ο Bohr ονόμασε αρχή της μηχανικής μετασχηματιστικότητας (mechanical transformability), ενώ αργότερα σύμφωνα με τον Ehrenfest ονομάστηκε αδιαβατικό θεώρημα.
Το θεώρημα εφαρμόστηκε στα πρώτα βήματα της κβαντικής μηχανικής από τους Bohr και Sommerfeld.
Τα αδιαβατικά αναλλοίωτα βρίσκουν εφαρμογή εκτός από την κβαντομηχανική, στην κίνηση φορτισμένων σωματιδίων σε ηλεκτρομαγνητικό πεδίο (στους επιταχυντές φορτισμένων σωματιδίων), στην μελέτη διαφορικών εξισώσεων με χρονικά εξαρτώμενους συντελεστές και σε άλλους τομείς της σύγχρονης έρευνας.



Κατηγορίες:ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ, ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ

Ετικέτες: , , , ,

12 replies

  1. Είναι γνωστό ότι τα αποτελέσματα της ανάλυσης των μηχανικών ταλαντώσεων εφαρμόζονται αυτούσια και στις ηλκετρικές ταλαντώσεις.
    Εφόσον ισχύουν αυτά που περιέχονται στο άρθρο σας τότε θα εφαρμόζονται και σε κύκλωμα πυκνωτή-πηνίου που εκτελεί αμείωτες ηλεκτρικές ταλαντώσεις.
    Αν λοιπόν σε κύκλωμα LC αυξάνουμε για παράδειγμα την απόσταση μεταξύ των οπλισμών ενός πυκνωτή [π.χ. L(t)=Lαρχ(1+0.5t)], τότς η ενέργεια του σyστήματος πρός την συχνότητα θα παραμένει σταθερή, ας πούμε ίση με h. Μπορούμε να λέμε ότι η ενέργεια του συστήματος μετά από χρόνο t υπολογίζεται από την εξίσωση
    Ε=hf(t);;;; [f(t) η συχνότητα μετά από χρόν t]

    • Πράγματι, η εξίσωση Ε(t) = (σταθερά) h(t) θα υπολογίζει την ενέργεια με πολύ καλή ακρίβεια.

      • οταν λετε με πολύ καλή ακρίβεια τι ενοείτε; 0,1%; 1%; 5%; 20%;

        • Αυτό εξαρτάται από το πόσο γρήγορα αυξάνεται η απόσταση των οπλισμών του πυκνωτή….
          Για την εξίσωση μεταβολής της απόστασης των οπλισμών, που δίνετε ως παράδειγμα, η απόκλιση ίσως να μην ξεπερνά ούτε το 5% (χωρίς να βάζω το χέρι μου στη φωτιά γιατί χρειάζεται λεπτομερής υπολογισμός….)

  2. Πως γίνεται ένας τέτοιος υπολογισμός; Πως μπορεί να λυθεί ένα τέτοιο πρβλημα;;;

  3. ζητώ συγνώμη γιατι γίνομαι κουραστικός αλλά μάλλον κάτι δεν καταλαβαίνω. αφου το σύστημα πυκνωτή πηνίου είναι μονωμένο η αρχή διατήρησης του φορτιου μας λέει ότι το φορτίο δεν χάνεται. Τότε πως είναι δυνατόν να μειώνεται το πλάτος του φορτίου;;;;;
    Και αφου δεν μειώνεται τότε είναι εύκολο να υπολογίσουμε τη (μέγιστη) ενε΄ργεια του πυκνωτή αφου το μόνο που μεταβάλεται είναι η χωρητικότητα:Qmax2/2C(t)

    • 1. Σχετικά με την αρχή διατήρησης του φορτίου:
      Έστω ένα κλασικό κύκλωμα R-L-C, που είναι κι αυτό «μονωμένο» (όπως και το κύκλωμα L-C) με την έννοια ότι δεν υπάρχει «διαρροή φορτίου» έξω απ’ αυτό. Την χρονική στιγμή t=0 το φορτίο του πυκνωτή είναι Q=Qmax. Καθώς το κύκλωμα αρχίζει να εκτελεί φθίνουσα ταλάντωση το πλάτος του φορτίου του πυκνωτή μειώνεται. Αυτό παραβιάζει την αρχή διατήρησης του φορτίου; 🙂
      2. Σύμφωνα με το παράδειγμα που περιέχεται στη διεύθυνση http://users.uoa.gr/~pjioannou/mech2/NOTES/adiabat3.pdf
      βλέπουμε ότι το πλάτος της απομάκρυνσης (αντίστοιχα πλάτος φορτίου στο κύκλωμα L-C) μειώνεται συναρτήσει του χρόνου, όπως επίσης και η χωρητικότητα του πυκνωτή. Αντικαθιστώντας στην εξίσωση της ολικής ενέργειας: Qmax(t)^2/2C(t) βρίσκουμε την σωστή σχέση αύξησης της ενέργειας του συστήματος.
      (Ενώ το πλάτος της απομάκρυνσης (αντίστοιχα φορτίου) μειώνεται βλέπουμε ότι ταυτόχρονα το πλάτος της ταχύτητας (αντίστοιχα έντασης ρεύματος) αυξάνεται….)
      3. Επιπλέον αν η απόσταση των οπλισμών του πυκνωτή μεταβάλλεται συναρτήσει του χρόνου σύμφωνα με τη σχέση που δώσατε προηγουμένως: l=lαρχ(1+0.5 t), τότε δεν είναι απαραίτητη η χρήση της προσέγγισης WKB. Η διαφορική εξίσωση που προκύπτει (εξίσωση Airy) έχει ακριβή λύση που εκφράζεται μέσω των αντίστοιχων συναρτήσεων Airy http://en.wikipedia.org/wiki/Airy_function

  4. Η δ.ε. Airy είναι
    ψ»-χ*ψ=0
    ενώ η δ.ε. της ταλάντωσης LC όταν αυξάνεται η απόσταση οπλισμών πυκνωτή είναι της μορφής
    ψ»+(1+0.5 χ)*ψ=0
    Καμία σχέση!

  5. Mπείτε στο site της Ένωσης Ελλήνων Φυσικών.
    Στο μενού που βρίσκεται στο πάνω μέρος πατήστε “ενημέρωση” και στη συνέχεια βρείτε το 15ο (;) άρθρο στη σειρά με τίτλο: «Περι της ταχύτητας του φωτός και της δομής του».
    Aνοίξτε το αρχείο word και διαβάστε το άρθρο. Αξίζει τον κόπο.

  6. Αγαπητέ Ανώνημε το αρχείο που λες υπάρχει σαν σύνδεσμος απο το Google, αλλά όταν πας στην ιστοσελίδα της Ένωσης δίνει 404 Error.
    Εδώ θα έπρεπε να είναι , αλλά δεν…υπάρχει.
    http://eef.gr/images/stories/anakoinoseis/taxitita%20fotos.doc
    Αν το έχεις , μας λες να το δούμε.

Σχολιάστε

Εισάγετε τα παρακάτω στοιχεία ή επιλέξτε ένα εικονίδιο για να συνδεθείτε:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

Φωτογραφία Google

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Google. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

Σύνδεση με %s

Ο ιστότοπος χρησιμοποιεί το Akismet για την εξάλειψη των ανεπιθύμητων σχολίων. Μάθετε πως επεξεργάζονται τα δεδομένα των σχολίων σας.

Αρέσει σε %d bloggers: