Η ενέργεια του φωτονίου και το απλό εκκρεμές

Posted on 05/02/2011

12


Τα φωτόνια (ή κβάντα φωτός) είναι τα «σωματίδια» από τα οποία συνίσταται το φως. Ο Planck ήταν ο πρώτος που προέβλεψε θεωρητικά την ύπαρξή τους το 1900, στην προσπάθειά του να εξηγήσει την ακτινοβολία θερμών σωμάτων (ακτινοβολία του μέλανος σώματος).
Αναγκάστηκε να δεχθεί ότι η ηλεκτρομαγνητική ακτινοβολία εκπέμπεται και απορροφάται από την ύλη σε διακριτά πακέτα ενέργειας και όχι κατά συνεχή ροή.
Μετά από πέντε χρόνια ο Einstein ερμήνευσε το φωτοηλεκτρικό φαινόμενο (την εκπομπή ηλεκτρονίων από μέταλλα όταν προσπίπτει πάνω σ’ αυτά ηλεκτρομαγνητική ακτινοβολία – φως), χρησιμοποιώντας την ιδέα του Planck.
Η ενέργεια του φωτονίου – ενός κβάντου φωτός – υπολογίζεται από την εξίσωση

Ε = h f

όπου
h μια σταθερά – η σταθερά του Planck – και
f η συχνότητα του ηλεκτρομαγνητικού κύματος.
Έτσι άρχισε η κβαντική φυσική…
Πίσω από τις μεγάλες θεωρίες πολλές φορές κρύβονται ιδέες και προβλήματα απλής φυσικής. Πολλοί φυσικοί στις αρχές του αιώνα στην προσπάθειά τους να κατανοήσουν τα κβαντικά φαινόμενα αναζητούσαν σανίδα σωτηρίας σε έννοιες και φαινόμενα της κλασικής φυσικής.
Έτσι ο Lorentz πρότεινε στον Einstein κατά τη διάρκεια του Solvay Conference το 1911, το παρακάτω πρόβλημα κλασσικής μηχανικής:
Να μελετηθεί η κίνηση ενός απλού εκκρεμούς το οποίο εκτελεί ελεύθερες ταλαντώσεις και ταυτόχρονα το μήκος του μεταβάλλεται αργά σε σχέση με την περίοδο του εκκρεμούς.

Καθώς το εκκρεμές ταλαντώνεται όταν μειώνουμε με αργό ρυθμό το μήκος του παρατηρούμε ότι η συχνότητα ταλάντωσής του αυξάνεται. Η μείωση του μήκους του εκκρεμούς ισοδυναμεί με ανύψωση του σφαιριδίου, άρα με αύξηση της ολικής ενέργειάς του. Αντίστοιχα, Η αύξηση του μήκους του εκκρεμούς (μείωση ενέργειας) προκαλεί, μείωση της συχνότητας.
Ο Einstein – προφανώς έλυσε το πρόβλημα, δεν είναι δύσκολο! – και απέδειξε ότι το πηλίκο της ενέργειας του εκκρεμούς προς την συχνότητα ταλάντωσής του παραμένει σταθερό ή που είναι το ίδιο ότι η ενέργεια είναι ανάλογη της συχνότητας:

Ε = (σταθερά) f
Η εξίσωση αυτή είναι ίδια με την εξίσωση της ενέργειας των κβάντων φωτός, αν στη θέση της σταθεράς βάλουμε την σταθερά του Planck !

Τα μεγέθη, όπως το πηλίκο της ενέργειας προς την συχνότητα του απλού εκκρεμούς, τα οποία διατηρούνται σταθερά κάτω από πολύ αργές μεταβολές κάποιων παραμέτρων ονομάζονται αδιαβατικά αναλλοίωτα (adiabatic invariant).
Το όνομα προκύπτει από το γεγονός ότι η έκφραση αδιαβατική μεταβολή παραπέμπει σε συνεχείς αργές μεταβολές κάποιων χαρακτηριστικών του συστήματος, αργές σε σχέση με την περίοδο του συστήματος.
Για τέτοιου είδους καταστάσεις αναπτύχθηκε μια θεωρία που έχει τις ρίζες της στον Boltzmann και ο Bohr ονόμασε αρχή της μηχανικής μετασχηματιστικότητας (mechanical transformability), ενώ αργότερα σύμφωνα με τον Ehrenfest ονομάστηκε αδιαβατικό θεώρημα.
Το θεώρημα εφαρμόστηκε στα πρώτα βήματα της κβαντικής μηχανικής από τους Bohr και Sommerfeld.
Τα αδιαβατικά αναλλοίωτα βρίσκουν εφαρμογή εκτός από την κβαντομηχανική, στην κίνηση φορτισμένων σωματιδίων σε ηλεκτρομαγνητικό πεδίο (στους επιταχυντές φορτισμένων σωματιδίων), στην μελέτη διαφορικών εξισώσεων με χρονικά εξαρτώμενους συντελεστές και σε άλλους τομείς της σύγχρονης έρευνας.