Στις αρχές της δεκαετίας του 1970, ένας νεαρός και εσωστρεφής υποψήφιος διδάκτορας φυσικής ονόματι Jacob Bekenstein ανακάλυψε μια σύνδεση μεταξύ της βαρύτητας, της κβαντικής θεωρίας και της θερμοδυναμικής, που αποτέλεσε μία από τις μεγαλύτερες επιστημονικές επαναστάσεις του δεύτερου μισού του 20ού αιώνα. Αυτό που ανακάλυψε ο Bekenstein ήταν ότι οι μαύρες τρύπες έχουν εντροπία, γεγονός που δείχνει ότι διαθέτουν έναν μεγάλο αριθμό εσωτερικών διαμορφώσεων που τις καθιστούν εξαιρετικά πολύπλοκες, σε αντίθεση με την επικρατούσα επιστημονική άποψη της δεκαετίας του 1970, που θεωρούσε ότι αυτά τα αντικείμενα είναι απλά, αφού μπορούν να περιγραφούν μόνο από τρεις κλασικές, εξωτερικά παρατηρήσιμες παραμέτρους: την μάζα, την στροφορμή και το ηλεκτρικό φορτίο. Λίγο αργότερα, τα αποτελέσματα του Bekenstein έγιναν το σημείο εκκίνησης για τον Stephen Hawking ώστε να αποδείξει ότι οι μαύρες τρύπες δεν είναι και τόσο μαύρες, αφού έχουν θερμοκρασία, εκπέμπουν θερμική ακτινοβολία και σταδιακά εξατμίζονται.

Στη συνέχεια παρουσιάζεται μια απλή εξαγωγή, κατά το ήμισυ ευρετική και κατά το ήμισυ γεωμετρική, της εξίσωσης για την εντροπία μιας μαύρης τρύπας, την οποία πλέον γνωρίζουμε ως εντροπία Bekenstein-Hawking (BH). Διερευνώνται επίσης και οι φυσικές επιπτώσεις αυτής της εξίσωσης και η σχέση της με το πρωτοποριακό έργο του Hawking.

Εντροπία Bekenstein-Hawking
Το πρωτοποριακό έργο των Bekenstein και Hawking εφαρμόζεται στον απλούστερο τύπο μαύρης τρύπας, γνωστό ως μαύρη τρύπα Schwarzschild. Μια μαύρη τρύπα Schwarzschild χαρακτηρίζεται πλήρως από μία μόνο φυσική παράμετρο: τη μάζα της.

Το παραπάνω σχήμα απεικονίζει την δομή ενός τέτοιου αντικειμένου. Όλη η μάζα του συγκεντρώνεται σε μια κεντρική ιδιομορφία (singularity) που περιβάλλεται από έναν σφαιρικό ορίζοντα γεγονότων, μέσω από τον οποίο καμία μορφή ύλης ή ενέργειας δεν μπορεί να περάσει προς τα έξω, ούτε καν το φως. Για μια μαύρη τρύπα Schwarzschild μάζας M, η ακτίνα του ορίζοντα της ή η ακτίνα Schwarzschild υπολογίζεται ως R_S = 2GM/c², όπου στο Διεθνές Σύστημα Μονάδων (SI), G=6,67×10⁻¹¹N·m²·kg⁻² είναι η βαρυτική σταθερά και c=3×10⁸m/s είναι η ταχύτητα του φωτός στο κενό.

Το 1972, ο Hawking απέδειξε ένα αποτέλεσμα γνωστό ως θεώρημα εμβαδού, το οποίο δηλώνει ότι το εμβαδόν του ορίζοντα γεγονότων μπορεί μόνο ή να παραμείνει σταθερό ή να αυξηθεί. Η αύξηση συμβαίνει για παράδειγμα, όταν η μαύρη τρύπα απορροφά υλικό από το περιβάλλον της. Για να κατανοήσουμε αυτό το αποτέλεσμα, ας σημειώσουμε ότι, σύμφωνα με την εξίσωση για την ακτίνα Schwarzschild, το εμβαδόν του ορίζοντα γεγονότων δίνεται από την

A = 4πR_S²=16πG²M²/c⁴ (1)

Βλέπουμε λοιπόν ότι όταν η ύλη ή η ενέργεια διασχίζει τον ορίζοντα προς το εσωτερικό, υπάρχει αύξηση στην μάζα M και, κατά συνέπεια, στο εμβαδόν A. Ο Hawking συνειδητοποίησε ότι το θεώρημά του είχε μια αξιοσημείωτη ομοιότητα με τον δεύτερο νόμο της θερμοδυναμικής, καθώς ο ρόλος του A είναι ανάλογος με αυτόν της εντροπίας, η οποία σε ένα απομονωμένο φυσικό σύστημα μπορεί μόνο να αυξηθεί ή να παραμείνει σταθερή. Ωστόσο, ενώ ο Hawking πίστευε ότι ήταν μόνο μια τυπική αναλογία μεταξύ εμβαδού και εντροπίας, ο Bekenstein πήρε το θεώρημα στα σοβαρά, προτείνοντας ότι μια μαύρη τρύπα Schwarzschild έχει εντροπία η οποία είναι απευθείας ανάλογη με το εμβαδόν του ορίζοντα των γεγονότων A. Σύμφωνα με τον Bekenstein, η εντροπία της ύλης που εισέρχεται στον ορίζοντα, αντί να εξαφανίζεται, αυξάνει το A, αυξάνοντας την εντροπία της μαύρης τρύπας και μειώνοντας την εντροπία του σύμπαντος στην ακριβή αναλογία για να διατηρηθεί ο δεύτερος νόμος της θερμοδυναμικής. Για να φτάσει στο συμπέρασμα αυτό ο Bekenstein στηρίχθηκε σε ιδέες του Δημήτρη Χριστοδούλου. Στην δημοσίευσή του με τίτλο «Black Holes and Entropy» o Bekenstein αναφέρεται σε τρεις προηγούμενες εργασίες του Δ. Χριστοδούλου και η μία από αυτές είναι το διδακτορικό του που ολοκλήρωσε σε ηλικία 20 ετών ! (Διαβάστε σχετικά: «Η εντροπία μιας μαύρης τρύπας» και «Η γέννηση της θερμοδυναμικής των μαύρων τρυπών»)

Το παραπάνω σχήμα απεικονίζει την ιδέα του Bekenstein, όπου το A έχει διαιρεθεί σε ένα σύνολο στοιχειωδών κελιών εμβαδού ℓ_P², όπου ℓ_P είναι το μήκος Planck, το οποίο είναι η μικρότερη απόσταση στην οποία μπορεί να αποδοθεί μια φυσική σημασία. Το μήκος Planck ορίζεται ως ℓ_P=(ℏG/c³)^1/2=1,62×10⁻³⁵m, όπου ℏ=1,05 × 10⁻³⁴J·s είναι η σταθερά Planck δια 2π. Ορίζοντας κάθε στοιχειώδη περιοχή να έχει μέγεθος ℓ_P², ο Bekenstein διασφάλισε ότι είχε την μικρότερη δυνατή τιμή. Αυτό σημαίνει ότι ο συνολικός αριθμός των περιοχών Planck που περιέχονται στον ορίζοντα είναι, γενικά, ένας τεράστιος αριθμός και υπολογίζεται ως:

N=A/ℓ_P² (2)

Για να υπολογίσουμε την εντροπία της μαύρης τρύπας από αυτές τις ιδέες, ας θυμηθούμε ότι, στη μικροσκοπική της διατύπωση, η εντροπία S ενός φυσικού συστήματος καθορίζεται από τον αριθμό Ω των μικροσκοπικών διαμορφώσεων ή μικροκαταστάσεων που είναι συμβατές με μια δεδομένη μακροκατάσταση:

S = k lnΩ (3)

όπου k=1.38×10⁻²³J/K η σταθερά του Boltzmann. Σύμφωνα με την πρόταση του Bekenstein που απεικονίζεται στο Σχήμα 2, η μακροκατάσταση της μαύρης τρύπας Schwarzschild είναι η μάζα της M, ενώ οι μικροκαταστάσεις είναι μπιτ πληροφοριών που αποθηκεύονται στα επιφανειακά κελιά εμβαδού ℓ_P², που το καθένα από τα οποία μπορεί να αντιπροσωπεύει μία από τις δύο διακριτές τιμές: 0 ή 1. Ο συνολικός αριθμός μικροκαταστάσεων που κωδικοποιούνται στην περιοχή του ορίζοντα είναι Ω = 2^N. Χρησιμοποιώντας την εξ. (2) παίρνουμε Ω = 2^A/ℓ_P2= 2^Ac3/ℏG, έτσι ώστε διαμέσου της εξ. (3) η εντροπία της μαύρης τρύπας να είναι:

Η τιμή που βρήκε ο Bekenstein χρησιμοποιώντας πολύ πιο σύνθετη συλλογιστική ήταν: . Αυτή η έκφραση διαφέρει από την εξ. (4) μόνο κατά μια αριθμητική σταθερά. Η ακριβής έκφραση που βρήκε ο Hawking για την εντροπία μιας μαύρης τρύπας Schwarzschild είναι πολύ κοντά στο αποτέλεσμα του Bekenstein: . Αν στην τελευταία εξίσωση αντικαταστήσουμε το Α από την εξ. (1) παίρνουμε:

Από τον τον γενικό ορισμό της εντροπίας, εξ. (3), παίρνουμε Ω = e^S_BH/k. Οι μαύρες τρύπες με τη μικρότερη μάζα που παρατηρούνται είναι οι αστρικές, των οποίων οι μάζες είναι της τάξης των ~ 10³⁰kg. Αυτός ο αριθμός μας επιτρέπει να υπολογίσουμε ένα κάτω όριο για τα S_BH και Ω: S_BH∼10⁷⁷k, έτσι ώστε Ω∼e¹⁰⁷⁷. Κανένα αντικείμενο με την ίδια μάζα M που περιορίζεται σε μια περιοχή σταθερού μεγέθους δεν έχει εντροπία μεγαλύτερη από αυτήν. Με άλλα λόγια, για μια δεδομένη συνολική μάζα-ενέργεια, η φυσική κατάσταση με την μέγιστη δυνατή εντροπία στο σύμπαν είναι μια μαύρη τρύπα. Έχουμε φτάσει στα όρια της γνώσης, καθώς η φυσική σημασία του Ω είναι άγνωστη, ούτε υπάρχει τρόπος να εξηγηθεί η κολοσσιαία τιμή του, η οποία έρχεται σε αντίθεση με την κλασική άποψη ότι η μαύρη τρύπα είναι ένα πολύ απλό αντικείμενο. Η πρόκληση της διαλεύκανσης αυτών των αινιγμάτων παραμένει στα χέρια των μελλοντικών γενεών φυσικών.

Θερμοκρασία Hawking και Εντροπία Bekenstein-Hawking
Η πιο σημαντική συνέπεια της εντροπίας Hawking είναι ότι οι μαύρες τρύπες έχουν μια θερμοκρασία. Ας δούμε πώς αυτό το αποτέλεσμα προκύπτει από την εντροπία της μαύρης τρύπας με απλό τρόπο. Σύμφωνα με τον πρώτο νόμο της θερμοδυναμικής, η σχέση μεταξύ της εσωτερικής ενέργειας E, της πίεσης P, του όγκου V, της απόλυτης θερμοκρασίας T και της εντροπίας S ενός συστήματος είναι dE = T·dS−P·dV. Ο ορίζοντας των γεγονότων, ωστόσο, δεν έχει υλική ύπαρξη. απλώς αντιπροσωπεύει ένα όριο μη επιστροφής για την ύλη και την ακτινοβολία που τον διασχίζει προς τα μέσα. Αυτό σημαίνει ότι μια μαύρη τρύπα Schwarzschild δεν ασκεί πίεση στο περιβάλλον της, επομένως P = 0 και ο πρώτος νόμος εκφράζεται από την εξίσωση dE = T·dS.
Από την άλλη πλευρά, δεδομένου ότι η μόνη παράμετρος που ορίζει μια μαύρη τρύπα Schwarzschild είναι η μάζα της, με την ισοδυναμία μάζας-ενέργειας του Einstein, μια μαύρη τρύπα μάζας M έχει συνολική εσωτερική ενέργεια E=Mc². Συνεπώς, η απόλυτη θερμοκρασία του σχετίζεται με την εντροπία της, S=S_BH, είναι: .
Αν στην εξίσωση αυτή αντικαταστήσουμε την εντροπία χρησιμοποιώντας την εξ. (5), παίρνουμε: . Επομένως, η θερμοκρασία T=T_H της μαύρης τρύπας είναι: . Αυτή η εξίσωση είναι γνωστή ως θερμοκρασία Hawking και προέκυψε από τον Hawking λίγο μετά την ανακάλυψη του Bekenstein. Ωστόσο, ο Hawking χρησιμοποίησε μια πολύ πιο σύνθετη και λεπτομερή συλλογιστική, η οποία λαμβάνει υπόψη τα κβαντικά φαινόμενα κοντά στον ορίζοντα γεγονότων.

Βλέπουμε λοιπόν ότι η ανακάλυψη του Bekenstein όχι μόνο αμφισβητεί την κλασική άποψη για μια μαύρη τρύπα ως ένα πολύ απλό αντικείμενο, αλλά αντιφάσκει και με τον ίδιο τον ορισμό της μαύρης τρύπας. Όπως συμβαίνει συχνά με πολλούς επαναστάτες, ο Bekenstein δεν είχε πλήρη επίγνωση των συνεπειών του έργου του και χρειάστηκε η παρέμβαση του Hawking και άλλων για να προκληθεί μια πραγματική επιστημονική επανάσταση. Πρόκειται για το πρώτο βήμα προς τον πιο φιλόδοξο στόχο στη φυσική: την ανάπτυξη μιας θεωρίας της κβαντικής βαρύτητας που να συμφιλιώνει την κβαντομηχανική και τη γενική σχετικότητα. Ο Bekenstein πέθανε το 2015, σε ηλικία 68 ετών και παρέμενε ιδιαίτερα δραστήριος, διεξάγοντας έρευνα σε διάφορα θέματα και διαδίδοντας τις ιδέες του. Όμως θα μείνει στην ιστορία για την σημαντική συνεισφορά του στην θερμοδυναμική των μαύρων τρυπών.

Διαβάστε περισσότερες λεπτομέρειες: Black holes and bits: A simple path to Bekenstein-Hawking entropy – https://arxiv.org/abs/2602.22245

Κατηγορίες:ΘΕΡΜΟΔΥΝΑΜΙΚΗ, ΚΟΣΜΟΛΟΓΙΑ, ΜΑΥΡΕΣ ΤΡΥΠΕΣ, ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ, ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ

Ετικέτες: Bekenstein, Hawking, ΕΝΤΡΟΠΙΑ, ΧΡΙΣΤΟΔΟΥΛΟΥ, PHYSICS