Η εντροπία μιας μαύρης τρύπας

Posted on 12/03/2014

1


Πως ο Bekenstein προσέγγισε την εντροπία μιας μαύρης τρύπας

(νεώτερη ενημέρωση 17-8-2015)

Στις αρχές της δεκαετίας του 1970 ο Jacob D. Bekenstein ήταν ένας από τους μεταπτυχιακούς φοιτητές του John Archibald Wheeler.
Εκείνη την εποχή ένα από τα ερευνητικά ενδιαφέροντα του Wheeler και των συνεργατών του ήταν οι μαύρες τρύπες. Έτσι δεν εκπλήσσει το γεγονός ότι το 1973 ο Bekenstein δημοσίευσε μια «ιστορική» εργασία με τίτλο «Black Holes and the Second Law» (σε PDF ΕΔΩ), στην οποία για πρώτη φορά συνδέεται το εμβαδόν του ορίζοντα μιας μαύρης τρύπας με το μέτρο της εντροπίας της.

Για να φτάσει στο συμπέρασμα αυτό ο Bekenstein στηρίχθηκε σε ιδέες του Δημήτρη Χριστοδούλου – στην δημοσίευσή του o Bekenstein αναφέρεται σε τρεις προηγούμενες εργασίες του Δ. Χριστοδούλου και η μία από αυτές είναι το διδακτορικό του που ολοκλήρωσε σε ηλικία 20 ετών !

Διαβάστε επίσης: «Η γέννηση της θερμοδυναμικής των μαύρων τρυπών»

Ο Bekenstein για να αποδείξει ότι το μέτρο της εντροπίας μιας μαύρης είναι ανάλογο με το εμβαδόν του ορίζοντα των γεγονότων, ακολούθησε την παρακάτω συλλογιστική ξεκινώντας από το εξής ερώτημα:
Φανταστείτε ότι κινείστε σε τροχιά γύρω από μια μαύρη τρύπα και έχετε μαζί σας ένα δοχείο με θερμό αέριο (!) – αέριο με μεγάλη εντροπία. Αφήνετε το δοχείο να πέσει στη μαύρη τρύπα. Ως γνωστόν, το δοχείο θα εξαφανιστεί πίσω από τον ορίζοντα και μαζί μ’ αυτό θα εξαφανιστεί δια παντός και η εντροπία του από το παρατηρήσιμο Σύμπαν. Σύμφωνα με τις επικρατούσες αντιλήψεις, ο λείος, χωρίς χαρακτηριστικά ορίζοντας δεν είναι δυνατόν να κρύβει καμιά πληροφορία. Άρα, φαίνεται πως η εντροπία του κόσμου έχει μειωθεί, γεγονός που αντιβαίνει στον Δεύτερο Νόμο της θερμοδυναμικής.

Ο ορίζοντας των γεγονότων μιας μαύρης τρύπας είναι μια φανταστική σφαίρα με κέντρο το σημείο της  χωροχρονικής ανωμαλίας (σημείο απειρισμού της πυκνότητας). Οτιδήποτε περάσει το σύνορο  αυτής της σφαίρας – του ορίζοντα των γεγονότων – είναι καταδικασμένο να καταρρεύσει στην χωροχρονική ανωμαλία, δεν μπορεί πλέον να διαφύγει από το βαρυτικό πεδίο της μαύρης τρύπας. Η ακτίνα του ορίζοντα ονομάζεται  ακτίνα Schwarzschild και είναι ανάλογη της μάζας της μαύρης τρύπας. Υπολογίζεται από την εξίσωση: R_{S} = 2MG/c^{2}
Αν ο ήλιος μας γινόταν κάποτε μαύρη τρύπα τότε η ακτίνα του ορίζοντά του θα ήταν περίπου 3 χιλιόμετρα.

Είναι δυνατόν να παραβιάζεται τόσο εύκολα μια τόσο θεμελιώδης αρχή όσο ο Δεύτερος Νόμος;
Ο Bekenstein πίστευε ότι ο Δεύτερος Νόμος της θερμοδυναμικής είναι πολύ βαθιά ριζωμένος στους κανόνες της φυσικής για να παραβιάζεται τόσο εύκολα. Και γι αυτό διατύπωσε μια νέα πρόταση: οι ίδιες οι μαύρες τρύπες πρέπει να διαθέτουν εντροπία.

Η εντροπία συνοδεύει πάντοτε την ενέργεια. Η εντροπία αφορά τον αριθμό των διατάξεων από κάτι, και αυτό το κάτι σε όλες τις περιπτώσεις περικλείει ενέργεια. Ακόμη και το μελάνι από μια σελίδα βιβλίου αποτελείται από άτομα με μάζα, τα οποία, σύμφωνα με τον Einstein έχουν ενέργεια – καθότι η μάζα ισοδυναμεί με μια μορφή ενέργειας. Συνεπώς, μπορούμε να πούμε ότι η εντροπία αποτελεί το μέτρο των δυνατών τρόπων διάταξης των μπιτ ενέργειας.

Ο Bekenstein, όταν φαντάζεται ότι ρίχνει ένα δοχείο με θερμό αέριο μέσα σε μια μαύρη τρύπα, δέχεται ότι αυτό αυξάνει την ενέργειά της. Αλλά τότε αυξάνεται και η μάζα και το μέγεθος της μαύρης τρύπας. Αν, όπως υπέθετε ο Bekenstein, οι μαύρες τρύπες έχουν εντροπία που αυξάνεται με τη μάζα τους, τότε υπάρχει περίπτωση να διασωθεί ο Δεύτερος Νόμος. Η αύξηση της εντροπίας της μαύρης τρύπας θα είναι υπεραρκετή για να αντισταθμίσει εκείνη που χάνεται.

Εκτός από το όνομά τους οι μαύρες τρύπες οφείλουν στον John Wheeler και το ρητό που λέει: ότι «οι μαύρες τρύπες δεν έχουν τρίχες!», (για την ακρίβεια η εικασία no-hair διατυπώθηκε για πρώτη φορά από τους John Wheeler και Remo Ruffini to 1971 στο Physics Today)
nohair0202Αυτό που ήθελε να πει o Wheeler με το ότι « δεν έχουν τρίχες» ήταν ότι οι οι μαύρες τρύπες δεν έχουν κάποια παρατηρήσιμα χαρακτηριστικά, όπως εξογκώματα, ανομοιομορφίες κ.λπ. Όταν μια μαύρη τρύπα σχηματίζεται από την κατάρρευση ενός άστρου, ο ορίζοντας καταλήγει σε ένα τέλειο σφαιρικό σχήμα χωρίς κανένα χαρακτηριστικό. Οι μαύρες τρύπες χαρακτηρίζονται από την μάζα, την στροφορμή και το ηλεκτρικό φορτίο τους.

Η εντροπία αποτελεί μέτρο των διαφορετικών διατάξεων, αλλά διατάξεων τίνος πράγματος; Αν ο ορίζοντας μιας μαύρης τρύπας στερείται παντελώς χαρακτηριστικών – όσο και η πιο λεία δυνατή φαλάκρα – τι είναι εκείνο το οποίο πρέπει να μετρηθεί;

black holes

Μια μαύρη τρύπα σε δράση. Όλα τα χαρακτηριστικά και οι λεπτομέρειες των αντικειμένων που «καταπίνονται» από την μαύρη τρύπα εξαφανίζονται και η τελική της διαμόρφωση προσδιορίζεται από την μάζα, την στροφορμή και το ηλεκτρικό φορτίο της.  Η εικόνα είναι από το άρθρο των R. Ruffini and J. A. Wheeler, Physics Today 24 (1971), 30

Σύμφωνα με αυτή τη λογική, μια μαύρη τρύπα πρέπει να έχει μηδενική εντροπία. Ο ισχυρισμός του John Wheeler ότι «οι μαύρες τρύπες δεν έχουν τρίχες» φαινόταν να έρχεται σε ευθεία αντίθεση με τη θεωρία του Jacob Bekenstein.

Εντροπία και εμβαδόν ορίζοντα μιας μαύρης τρύπας

Η παρατήρηση του Bekenstein ότι οι μαύρες τρύπες πρέπει να έχουν εντροπία – με άλλα λόγια, ότι αν και είναι φαινομενικά φαλακρές, περικλείουν κρυμμένη πληροφορία – αποτελεί μια από εκείνες τις απλές αλλά βαθυστόχαστες παρατηρήσεις οι οποίες, διαμιάς, αλλάζουν την πορεία της φυσικής.

H σύνδεση μεταξύ εντροπίας και πληροφορίας έγινε για πρώτη φορά από τον ShannonH εντροπία ενός συστήματος μετρά την έλλειψη πληροφορίας σχετικά με την εσωτερική διάταξη του συστήματος ή η εντροπία είναι το μέτρο της ποσότητας της πληροφορίας που κρύβεται στις λεπτομέρειες – λεπτομέρειες οι οποίες για τον έναν ή άλλον λόγο παρατηρούνται πολύ δύσκολα.
Εντροπία λοιπόν είναι η κρυμμένη πληροφορία. Στις περισσότερες περιπτώσεις, η πληροφορία είναι κρυμμένη επειδή αφορά πράγματα πολύ μικρά για να μπορούμε να τα δούμε και πολυάριθμα για να μπορούμε να τα παρακολουθήσουμε.
Ο Wheeler πίστευε πως κάθε υλικό αντικείμενο αποτελείται από μπιτ πληροφορίας δηλώνοντας ότι «Its from bits». Φανταζόταν ότι το θεμελιώδες μπιτ είναι τόσο μικρό όσο η ελάχιστη δυνατή απόσταση που εκφράζει το μήκος Planck.

Ο Bekenstein δεν διατύπωσε ευθέως το ερώτημα πόσα μπιτ μπορούν να κρύβονται μέσα σε μια μαύρη τρύπα δεδομένου μεγέθους. Αντιθέτως, αναρωτήθηκε πως θα άλλαζε το μέγεθος μιας μαύρης τρύπας αν ένα μοναδικό μπιτ πληροφορίας έπεφτε στο εσωτερικό της. Αυτό ισοδυναμεί με το ερώτημα πόσο θα ανυψωθεί η επιφάνεια του νερού σε μια μπανιέρα αν προστεθεί μία μοναδική σταγόνα. Ακόμα καλύτερα, πόσο θα ανυψωθεί το νερό αν προστεθεί ένα μοναδικό άτομο.

Αυτό έθετε ένα άλλο ερώτημα: πως μπορεί να προστεθεί ένα μοναδικό μπιτ; Μήπως ο Bekenstein έπρεπε να ρίξει μέσα στη μαύρη τρύπα μία μοναδική τελεία, τυπωμένη σε ένα κομμάτι χαρτί; Προφανώς όχι. Μια τέτοια τελεία αποτελείται από έναν πελώριο αριθμό ατόμων, όπως και το χαρτί. Σε αυτή την τελεία υπάρχει περισσότερη πληροφορία από ένα μπιτ. Η καλύτερη στρατηγική θα ήταν να ρίξει στη μαύρη τρύπα ένα στοιχειώδες σωματίδιο.

Ας υποθέσουμε, για παράδειγμα, ότι ένα μοναδικό φωτόνιο πέφτει μέσα σε μια μαύρη τρύπα. Ακόμη και ένα φωτόνιο μπορεί να φέρει περισσότερα από ένα μπιτ πληροφορίας. Ειδικότερα, υπάρχει μεγάλη ποσότητα πληροφορίας στη γνώση του ακριβούς σημείου στο οποίο το φωτόνιο διαπερνά τον ορίζοντα. Εδώ ο Bekenstein χρησιμοποίησε έξυπνα την έννοια της αβεβαιότητας του Heisenberg. Θεώρησε ότι η θέση του φωτονίου πρέπει να είναι όσο το δυνατόν περισσότερη αβέβαιη, αρκεί μόνο να εισχωρήσει στη μαύρη τρύπα. Η ύπαρξη ενός τέτοιου «αβέβαιου φωτονίου» θα παρείχε ένα μοναδικό μπιτ πληροφορίας – δηλαδή, βρίσκεται εκεί, κάπου μέσα στη μαύρη τρύπα.

Η διακριτική ικανότητα μιας δέσμης φωτός δεν υπερβαίνει το μήκος κύματος. Σε αυτή την ειδική περίπτωση τώρα, ο Bekenstein δεν ήθελε να διακρίνει ένα συγκεκριμένο σημείο στον ορίζοντα. Ήθελε να είναι όσο το δυνατόν περισσότερο ασαφές. Κατέφυγε στο τέχνασμα να χρησιμοποιήσει ένα φωτόνιο με τόσο μεγάλο μήκος κύματος, που θα απλωνόταν σε ολόκληρο τον ορίζοντα. Με άλλα λόγια, αν η ακτίνα Schwarzschild του ορίζοντα είναι RS, το φωτόνιο πρέπει να έχει περίπου το ίδιο μήκος κύματος. Είναι δυνατόν να χρησιμοποιηθούν φωτόνια με ακόμη μεγαλύτερο μήκος κύματος, αλλά τότε απλώς θα ανακλώνται από τη μαύρη τρύπα χωρίς να παγιδευτούν.

O Bekenstein υποψιαζόταν ότι η προσθήκη ενός επιπλέον μπιτ στη μαύρη τρύπα θα προκαλούσε μια απειροελάχιστη αύξηση του μεγέθους της, με τον ίδιο τρόπο που η προσθήκη ενός επιπλέον μορίου καουτσούκ σε ένα μπαλόνι αυξάνει το μέγεθός του.

Ο υπολογισμός, όμως, της εν λόγω αύξησης απαιτεί τα παρακάτω ενδιάμεσα βήματα.

Αρχικά πρέπει να υπολογίσουμε κατά πόσον αυξάνεται η μάζα μιας μαύρης τρύπας όταν προστίθεται ένα μπιτ πληροφορίας. Η αύξηση αυτή θα ισούται με την μάζα του φωτονίου που φέρει το μπιτ.

H μάζα ενός φωτονίου υπολογίζεται από την εξίσωση:
E=m_{\phi \omega \tau} c^{2} = h c/\lambda \Rightarrow m_{\phi \omega \tau} = h/c \lambda
και η αύξηση μάζας της μαύρης τρύπας θα είναι
\Delta M = m_{\phi \omega \tau} \sim h/c R_{S} \, \, \, \, (1)
όπου \lambda \sim R_{S} δεδομένου ότι το φωτόνιο, όπως αναφέρθηκε προηγουμένως, θα έχει μήκος κύματος ίσο με την ακτίνα Schwarzschild.

Γνωρίζοντας τώρα την μεταβολή της μάζας, μπορούμε να υπολογίσουμε τη μεταβολή της ακτίνας Schwarzschild
\Delta R_{S} \sim 2 \, \Delta M \, G/c^{2}
Έτσι, χρησιμοποιώντας την εξ. (1) παίρνουμε:
\Delta R_{S} \sim 2 h G / c^{3}R_{S} \, \, \, \, (2)
To εμβαδόν του ορίζοντα είναι:
A \sim R_{S}^{2}
και η αύξησή του χρησιμοποιώντας την εξ. (2) θα υπολογίζεται από την εξίσωση
\Delta A \sim 2 R_{S} \, \Delta R_{S} \sim 4 h G/ c^{3} \sim \ell_{Planck}^{2} \sim 10^{-70} m^{2}
όπου \ell_{Planck} \sim 10^{-35} m το μήκος Planck και \ell_{Planck}^{2} \sim 10^{-70} m^{2} το εμβαδόν Planck.

Φανταστείτε τώρα ότι δημιουργείτε μια μαύρη τρύπα προσθέτοντας το ένα μπιτ μετά το άλλο, ακριβώς όπως θα γεμίζατε μια μπανιέρα προσθέτοντας το ένα μόριο νερού μετά το άλλο. Με κάθε προσθήκη ενός μπιτ πληροφορίας, το εμβαδόν του ορίζοντα αυξάνεται κατά μια τετραγωνική μονάδα Planck. Όταν ολοκληρωθεί η μαύρη τρύπα, το εμβαδόν του ορίζοντα θα ισούται με τον συνολικό αριθμό των μπιτ πληροφορίας που κρύβονται στη μαύρη τρύπα.

Αυτό υπήρξε το μεγάλο επίτευγμα του Bekenstein, που συνοψίζεται ως εξής:
Η εντροπία μιας μαύρης τρύπας, όταν μετράται σε μπιτ πληροφορίας είναι ανάλογη του εμβαδού του ορίζοντά της, μετρούμενου σε μονάδες Planck
ή εν συντομία
Η πληροφορία ισούται με το εμβαδόν.

Μολονότι ο Bekenstein σχημάτισε την ορθή ιδέα η επιχειρηματολογία του δεν ήταν εντελώς ακριβής και αυτό το γνώριζε. Δεν ισχυρίστηκε ότι η εντροπία της μαύρης τρύπας ισούται ακριβώς με το εμβαδόν σε μονάδες Planck, αλλά ότι είναι περίπου ίση με το εμβαδόν του ορίζοντά της.

Την ακριβή σχέση μεταξύ εντροπίας μαύρης τρύπας και εμβαδού του ορίζοντά της υπολόγισε ο Stephen Hawking στην εργασία του με τίτλο «Particle Creation by Black Holes». Εκεί αποδεικνύεται επιπλέον ότι οι μαύρες τρύπες έχουν θερμοκρασία και ακτινοβολούν (ακτινοβολία Hawking), καθώς επίσης ότι μπορούν να εξατμιστούν!

Black_Hole_Entropy_(reduced)
ΠΗΓΗ: Leonard Susskind – «Ο πόλεμος της μαύρης τρύπας», εκδόσεις κάτοπτρο.

Ετικέτα: ,