Δύο ιδανικά αέρια Α και Β περιέχονται σε ένα δοχείο διαχωρισμένα μεταξύ τους με ένα διάφραγμα. Τα αέρια έχουν την ίδια πίεση και θερμοκρασία και αρχικά καταλαμβάνουν όγκους V_A και V_B​. Αφαιρώντας το διάφραγμα τα αέρια αναμειγνύονται. Όταν ολοκληρωθεί η ανάμειξη, ο όγκος που καταλαμβάνει το κάθε αέριο είναι (V_Α + V_B). Δεδομένου ότι το σύστημα δεν ανταλλάσει θερμότητα ή έργο με το περιβάλλον του (το δοχείο έχει ακλόνητα αδιαβατικά τοιχώματα), η θερμοκρασία παραμένει η ίδια. Έτσι, αν n_A και n_B είναι τα moles των αερίων Α και Β, αντίστοιχα, η συνολική μεταβολή της εντροπίας^(*) θα είναι:
Παρατηρούμε ότι έχουμε αύξηση της εντροπίας, ή ισοδύναμα αύξηση της αταξίας του συστήματος.

Ας υποθέσουμε τώρα ότι τα δυο αέρια είναι όμοια. Τότε είναι προφανές ότι η εξίσωση (1) δεν είναι σωστή, αφού κατά την ανάμειξη των δυο αερίων η κατάσταση δεν αλλάζει – η ανάμειξη τώρα είναι μια αντιστρεπτή διαδικασία. Επομένως, η μεταβολή της εντροπίας πρέπει να είναι μηδέν, κάτι που δεν προκύπτει από την παραπάνω εξίσωση. Το περίεργο αυτό αποτέλεσμα είναι γνωστό ως παράδοξο Gibbs.

Όμως δεν υπάρχει κανένα παράδοξο. Όταν τα αέρια είναι όμοια, η εξ. (1) δεν ισχύει! Το λάθος προκύπτει από την διακρισιμότητα ή μη των σωματιδίων, μια θεμελιώδης ιδιότητα που έχει την ρίζα της στην κβαντική φυσική. Η ανάλυση της στατιστικης μηχανικής εξαρτάται από το αν τα σωματίδια ενός συστήματος είναι διακρίσιμα ή όχι.

To παράδοξο εξαφανίζεται εύκολα, αρκεί να χρησιμοποιήσουμε την σωστή σχέση για την εντροπία. Ένας εύκολος τρόπος να κάνουμε τη δουλειά μας είναι να χρησιμοποιήσουμε την σχέση για την εντροπία ιδανικού μονοατομικού αερίου: ^(**), που προκύπτει εύκολα από την εξίσωση Sackur-Tetrode.

Για δυο διαφορετικά αέρια (Α≠Β)
Η αρχική εντροπία (με το διαχωριστικό διάφραγμα) είναι: , ενώ η τελική εντροπία μετά την αφαίρεση του διαφράγματος θα είναι:
και η μεταβολή της εντροπίας:
, αυξάνεται, ακριβώς όπως βρήκαμε και προηγουμένως.

Για ίδιο αέριο (A≡B)

και
Επομένως
.
Δεδομένου ότι η θερμοκρασία και η πίεση παραμένουν οι ίδιες, θα έχουμε . Οπότε, αν τα Α και Β είναι το ίδιο αέριο προκύπτει: , κάτι πολύ λογικό αφού στην ουσία δεν άλλαξε κάτι.

Ο πρώτος που εντόπισε, διατύπωσε και έδωσε μια λύση σ’ αυτό που σήμερα ονομάζουμε παράδοξο Gibbs, ήταν ο θεμελιωτής της στατιστικής μηχανικής, ο Josiah Willard Gibbs. Ο Gibbs θεώρησε πως όταν τα αέρια Α και Β είναι ίδια, τότε η «ανάμειξη» των μορίων τους στην ουσία δεν αλλάζει τίποτα. Και το λάθος προκύπτει όταν κάνουμε διπλό μέτρημα των μικροκαταστάσεων του συστήματος.

Το παράδοξο Gibbs μελετά διεξοδικά ο E. T. Jaynes στην εργασία του με τίτλο «THE GIBBS PARADOX» . Σύμφωνα με τον Jaynes, η εντροπία εξαρτάται από τη γνώση του παρατηρητή για το σύστημα. Όταν τα δύο αέρια μπορούν να διακριθούν – δηλαδή μπορούν να μετρηθούν διαφορές – τότε το άνοιγμα του διαχωριστικού διαφράγματος οδηγεί σε αύξηση εντροπίας. Αν αντίθετα δεν υπάρχει δυνατότητα διάκρισης, πρακτικά δεν αλλαζει τίποτα. Επομένως ούτε και η εντροπία του συστήματος. Ο Jaynes αναφέρει πως δεν χρειάζεται να αναφερόμαστε στην διακρισιμότητα ή μη των σωματιδίων της κβαντικής φυσικής (όπου τα σωματίδια υπακούουν σε Bose–Einstein ή Fermi–Dirac και δεν εμφανίζεται κανένα παράδοξο). Το ζήτημα αφορά γενικότερα το πλαίσιο της γνώσης μας: αν θεωρούμε τα σωματίδια «μη διακριτά» επειδή δεν έχουμε πληροφορίες που να τα διαχωρίζουν, τότε η έννοια της εντροπίας προσαρμόζεται αναλόγως. Αν δεν μπορούμε να διακρίνουμε τα σωματίδια, τότε δεν χάνεται πληροφορία κατά την ανάμειξη, επομένως δεν έχουμε αύξηση εντροπίας. Η «λύση» του παραδόξου μπορεί να διατυπωθεί σε κλασικό πλαίσιο, όπως έγινε παραπάνω, με σωστή μέτρηση των μικροκαταστάσεων.

Αυτό που κατέστησε σαφές ο Jaynes είναι ότι «η oργάνωση ή η τάξη» ενός συστήματος – και επομένως η δυνατότητα εξαγωγής ωφέλιμης ενέργειας από αυτό – εξαρτάται από τη σχετική γνώση και τις πληροφορίες ενός παρατηρητή. Αν ένας πειραματιστής δεν μπορεί να διακρίνει τα αέρια Α και Β, στην πραγματικότητα πρόκειται για το ίδιο αέριο. Μόλις οι επιστήμονες αποκτήσουν τα μέσα ώστε να τα ξεχωρίσουν, τότε θα μπορούν να αξιοποιήσουν το ωφέλιμο έργο εκμεταλλευόμενοι την τάση των αερίων να αναμειγνύονται. Η εντροπία δεν εξαρτάται από τη διαφορά μεταξύ των αερίων, αλλά από τη διάκρισή τους. Η αταξία είναι στο μάτι του θεατή. Έτσι, η ποσότητα της ωφέλιμης ενέργειας που μπορούμε να εξαγάγουμε από οποιοδήποτε σύστημα εξαρτάται αναγκαστικά από το πόσες «υποκειμενικές» πληροφορίες έχουμε για τις μικροκαταταστάσεις του». Κατά τας γραφάς του Jaynes, το παράδοξο Gibbs τονίζει την ανάγκη η εντροπία να θεωρείται ως μια υποκειμενική ιδιότητα και όχι ως μια εγγενή ιδιότητα ενός συστήματος.

Κι όμως, την υποκειμενική εικόνα της εντροπίας ήταν δύσκολο να την καταπιούν οι φυσικοί. Όπως λέει ο φιλόσοφος Kenneth Denbigh, «μια τέτοια άποψη, αν είναι σωστή, θα δημιουργούσε κάποια βαθιά φιλοσοφικά προβλήματα και θα έτεινε να υπονομεύσει την αντικειμενικότητα του επιστημονικού εγχειρήματος».

Η αποδοχή αυτού του υπό όρους ορισμού της εντροπίας απαίτησε μια επανεξέταση του θεμελιώδους σκοπού της επιστήμης. Υπονοεί ότι η φυσική περιγράφει με μεγαλύτερη ακρίβεια την ατομική εμπειρία παρά κάποια αντικειμενική πραγματικότητα. Με αυτόν τον τρόπο, η εντροπία έχει σαρωθεί στη μεγαλύτερη τάση των επιστημόνων που συνειδητοποιούν ότι πολλά φυσικά μεγέθη έχουν νόημα μόνο σε σχέση με έναν παρατηρητή.

Παρότι ακόμη και ο ίδιος ο χρόνος αποδείχθηκε σχετικός από τη θεωρία της σχετικότητας του Αϊνστάιν, στους φυσικούς δεν αρέσει η υποκειμενικότητα – είναι αλλεργικοί σε αυτήν, λέει ο Anthony Aguirre. Αλλά απόλυτο δεν υπάρχει – αυτό ήταν πάντα μια ψευδαίσθηση. Γι αυτό ο Aguirre και οι συνεργάτες του διερευνούν τρόπους ώστε να εμπλουτίσουν την υποκειμενικότητα στους μαθηματικούς ορισμούς της εντροπίας, επινοώντας την παρατηρησιακή εντροπία (observational entropy). Κι αυτό είναι θέμα για μια άλλη ανάρτηση.

(*) την απόδειξη της σχέσης μπορεί να βρει κανείς σε σχολικά βιβλία
(**) όπου

πηγές:
1. Στατιστική Φυσική, Ι. Δ. Βέργαδος, Η. Σ. Τριανταφυλλόπουλος, εκδόσεις Συμεών, 1991
2. A brief introduction to observational entropy – https://arxiv.org/abs/2008.04409
3. What Is Entropy? A Measure of Just How Little We Really Know – https://www.quantamagazine.org/what-is-entropy-a-measure-of-just-how-little-we-really-know-20241213/

Κατηγορίες:ΘΕΡΜΟΔΥΝΑΜΙΚΗ, ΚΟΣΜΟΛΟΓΙΑ, ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ

Ετικέτες: Gibbs, Hugo Tetrode, ΕΝΤΡΟΠΙΑ, Η ΑΣΚΗΣΗ ΤΗΣ ΕΒΔΟΜΑΔΑΣ, Josiah Willard Gibbs, Otto Sackur, PHYSICS