Αρχική › ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ › Το εμβαδόν κάτω από το τόξο της κυκλοειδούς καμπύλης

Το εμβαδόν κάτω από το τόξο της κυκλοειδούς καμπύλης

By on • ( 2 )

Η κυκλοειδής καμπύλη εμφανίστηκε το 1696 σε ένα πρόβλημα του Johann Bernoulli που ζητούσε να προσδιοριστεί το είδος της καμπύλης την οποία πρέπει να διαγράψει ένα υλικό σημείο που κινείται χωρίς τριβές υπό την επίδραση του βάρους του, έτσι ώστε, ξεκινώντας από το σημείο Α, να φτάσει στο Γ στον ελάχιστο χρόνο:

Αποδείχθηκε ότι αυτό συνέβαινε όταν το σώμα ακολουθούσε μια κυκλοειδή καμπύλη που διερχόταν από τα σημεία Α και Γ. Και γι αυτό αρχικά η κυκλοειδής ονομάστηκε «βραχυστόχρονη» καμπύλη.  Στη συνέχεια αποδείχθηκε ότι ήταν και «ισόχρονη». Δηλαδή από όποιο σημείο της κυκλοειδούς κι αν ξεκινήσει ένα σωματίδιο να ολισθαίνει χωρίς τριβές υπό την επίδραση του βάρους του, το σωματίδιο φτάνει στο κατώτερο σημείο στον ίδιο χρόνο, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα:

Η εμφάνιση αυτών των εντυπωσιακών ιδιοτήτων της κυκλοειδούς καμπύλης δημιούργησε έναν ενθουσιασμό στον κύκλο των φυσικών (των παλαιοτέρων εποχών), ότι πρόκειται για το «εργαλείο» που θα έδινε απαντήσεις και σ’ άλλα θεμελιώδη προβλήματα της Φυσικής. Όμως, παρότι κάνει την εμφάνισή της αραιά και που σε κάποια προβλήματα φυσικής, η «απαξίωση» της κυκλοειδούς καμπύλης σήμερα είναι γεγονός, αφού όλο και πιο σπάνια την συναντάει κανείς σε βιβλία φυσικής.

Η κυκλοειδής καμπύλη είναι η τροχιά που διαγράφει κάποιο συγκεκριμένο σημείο ενός κύκλου που κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει, πάνω σε μια ευθεία γραμμή.

Ένα καθαρά γεωμετρικό πρόβλημα, σχετικό με την κυκλοειδή της παραπάνω κινούμενης εικόνας (προκύπτει από την κύλιση ενός κύκλου ακτίνας r σε οριζόντιο επίπεδο), είναι το εξής:
Να υπολογιστεί το εμβαδόν κάτω από το τόξο της κυκλοειδούς καμπύλης:

Το γνωστό αυτό πρόβλημα επανεμφανίστηκε πριν από μερικές ημέρες στο tik-tok.
O «εύκολος» τρόπος είναι να υπολογίσουμε το εμβαδόν διαμέσου του ολοκληρώματος \int ydx, χρησιμοποιώντας τις παραμετρικές εξισώσεις της κυκλοειδούς καμπύλης x=r(\theta - \sin \theta) και y=r(1- \cos \theta).
Mε τον τρόπο αυτό προκύπτει \int_{0}^{2 \pi} r^{2}(1-\cos \theta)d(\theta- \sin \theta)=r^{2} \int_{0}^{2 \pi} (1- \cos \theta)^{2} d \theta =3 \pi r^{2}.

H απάντηση στο βίντεο του tik-tok είναι «γραφική»:

πηγή: https://www.tiktok.com/@reason4math

Παρόμοιες λύσεις βρίσκει κανείς σε παλαιότερα βίντεο στο youtube, όπως αυτό που ακολουθεί:

‹
›

Κατηγορίες:ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

Ετικέτες: , ,

2 replies

  1. Γιάννης Κυριακόπουλος
    13/04/2024 • 11:13 πμ

    Στο παρακάτω βιβλίο, στο κεφάλαιο 2 βρίσκουμε και άλλον υπολογισμό:

    https://yliko16.files.wordpress.com/2024/04/new-horizons-in-geometry.pdf

    Reply ↓

Σχολιάστε

Ο ιστότοπος χρησιμοποιεί το Akismet για την εξάλειψη των ανεπιθύμητων σχολίων. Μάθετε πως επεξεργάζονται τα δεδομένα των σχολίων σας.